高考函數定義域面面觀

（甘肅省定西市安定區內官營中學743000）

高考函數定義域面面觀

高尚軍

（甘肅省定西市安定區內官營中學743000）

函數作為高中數學的主線，貫穿于高中數學的始終，也是高考的熱點之一。在函數組成的三要素中，定義域是解決函數問題的首要考慮的先決條件，也就是說，解決函數問題必需樹立“定義域”優先的原則，特別是在解決函數解析式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題方面。

高考函數定義域

一、函數定義域的詮釋

設A，B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A－－B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域。

1.如果一個函數y=f(x)是具體的（即已知函數的函數解析式），則它的定義域我們不難理解，就是能使函數解析式有意義的自變量x的取值范圍組成的集合。

2.如果一個函數y=f(x)是抽象的，它的定義域就難以捉摸了。詮釋：如f(x)，x∈[1,2]與f (x－1）即復合函數f[g(x)]的定義域相同嗎？由于f(x）的定義域是[1,2]，就是說對1≤x≤2中的每一個數x都有函數值f(x），超出這個范圍內的任何一個數x都沒有函數值。當g(x)= x－1的取值超出了[1，2]這個范圍，g(x)也就沒有了函數值，所以f(x－1）的定義域就是1≤g (x)=x－1≤2這個不等式的解集[2，3]，也就是說f[g(x)]中g(x)=x－1的值域[1，2]是f(x）的定義域。因此，高中課程中函數f(x）中的x是一個抽象概念，x可以代替f（）括號中任意代數式，定義域都是指括號內x的取值范圍組成的集合。

二、求函數定義域的方法

（一）已知函數y=f(x)解析式,求函數的定義域

⑴依據：①如果解析式是整式，那么函數的定義域是實數集R；②如果解析式是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合；③如果解析式為f(x)0，那么函數的定義域是使f(x)不等于0的實數的集合；④如果解析式為偶次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合；⑤如果函數解析式是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，那么的定義域是使各部分都有意義的實數組成的集合（即求各部分集合的交集）；⑥對數式的真數必須大于零；⑦指數、對數式的底數必須大于零且不等于1；⑧正切函數中自變量x滿足x≠∏/2+k∏, K∈Z;⑨滿足實際問題有意義。

（2）應用舉例

答案：{x/x＞－2且x≠±1,x∈R}

小結：1.求函數的定義域，歸結為解不等式組；

2.定義域要寫成集合或區間的形式。

{x/－2≤x＜1或1＜x≤2}

小結：1.分式不等式可轉化為一元二次不等式，利用二次函數的圖像解；

2.絕對值不等式，利用去絕對值分區間解。

解：依題意有：2－log2x≥0,解得：0＜x≤4∴函數的定義域為：（0，4）。

小結：對數、指數不等式的解集，可利用函數的單調性解。

2.復合函數y=f[g(x)]的定義域

例：若函數f(x)的定義域為[1，4]，求函數f (x+2）的定義域。

解：∵f(x)的定義域為[1，4]，∴函數f(x+2）中的x+2應滿足：1≤x+2≤4，解得：－1≤x≤2.∴函數f(x+2）的定義域為[－1，2].

小結：若f[g(x)]的定義域為D，則g(x)在D上的取值范圍就是f(x)的定義域。

三、函數定義域的綜合應用

（一）定義域與函數的值域

例：設函數f(x)=x2+x－1/4的定義域為[－1，3],求f(x)的值域。

解：作出函數f(x)=x2+x－1/4的定義域為[－1，3]上的圖象,根據圖象得出f(x)的值域為[－1/ 2，47/4]。

（二）定義域與函數的奇偶性

例：判斷函數y=x3x∈(－1,3)的奇偶性。

解：∵2∈(－1,3)，但－2不屬于(－1,3)，∴定義域(－1,3)不關于原點對稱。所以函數y=x3在x∈(－1,3)是非奇非偶函數。

（三）定義域與函數解析式中字母的取值范圍

解：依據題意得：mx2+mx+1≥0恒成立，∴當m=0時，1＞0恒成立；當m≠0時，要使mx2+mx+1≥0恒成立，只需解得：得：0＜m≤4

綜上所述，實數m的取值范圍是[0，4]。

（四）定義域與函數的單調區間

例：函數y=log2(－x2+2x+3)的單調區間。

解：由－x2+2x+3＞0，即x2－2x＜0，解得－1＜x＜3。即函數y的定義域為（－1，3）。函數y=log2(－x2+2x+3)是由函數y=log2t，t=－x2+2x+3復合而成的。t=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，對稱軸x=1，由二次函數的單調性，可知t在區間(－∞，1）上是增函數；在區間（1，+∞）上是減函數，而y=log2t在其定義域上單調增。所以函數y=log2(－x2+ 2x+3)在區間(－1,1）上是增函數，在區間（1,3）上是減函數。

四、高考真題演練

1.(2014年甘肅)求下列函數的定義域（1）

2.(2013年陜西)求函數y=4+﹔2(x－1)的反函數的定義域。

3.(2013年北京)已知函數f(x)的定義域為[a，b],其中a+b＞0.求函數F（x）=f(x)+f(－x)的定義域。

總之，函數作為高中數學的主線，貫穿于高中數學的始終，也是高考的熱點之一。在函數組成的三要素中，定義域是解決函數問題的首要考慮的先決條件，也就是說，解決函數問題必需樹立“定義域”優先的原則，特別是在解決函數解析式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題方面。可以提高學生的質疑辨析能力，培養學生的思維品質，從而提高學生的思維能力，進而又利于培養學生思維的創造性。

[1]孫莉.優化數學課堂教學[N]中學信息報，2011.

[2]張發先.芻議初中數學教學的有效性策略.[J]教育教學論壇，2007（7）.

[3]孔凡哲.課程標準與教學大綱對比研究

[4]中學數學教學參考.2010（12）.

（責編 張景賢）