具有飽和接觸率的SIQRS模型的穩定性研究

張宏宇， 葉志勇

(重慶理工大學 數學與統計學院， 重慶 400054)

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具有飽和接觸率的SIQRS模型的穩定性研究

張宏宇， 葉志勇

(重慶理工大學 數學與統計學院， 重慶 400054)

首先建立一個具有飽和接觸率的SIQRS模型，通過計算得到閾值R0的表達式；然后對閾值R0進行討論；接著利用穩定性定理和Dulac定理得到無病平衡點和地方病平衡點的存在性和全局穩定性；最后通過計算機仿真驗證了該結果的正確性。

SIQRS流行病模型； 閾值；飽和接觸率

流行病的傳播規律一直以來都受到人們的重視。近年來，一些新出現的流行病已嚴重威脅人類的生命健康，例如2014年發生在非洲地區的埃博拉疫情。有鑒于此，大量的數學模型被用于分析各種各樣的傳染病問題，并且已經取得大量的成果。在研究疾病的傳播過程中，人們比較常用的是SI、SIS以及SIR模型等，這些模型一般考慮的是流行病傳播的一般規律，而未考慮到疾病傳播中個體差異。目前，對傳染病的傳染率為雙線性傳染率[1]或是標準傳染率的傳染病模型已經有了較深入的研究,但對具有飽和接觸率[2-5]的模型研究還較少，而且根據傳染病傳播的實際情況，飽和接觸率在實際傳播過程中也是一種十分重要的傳播特點。本文主要談論了在具有飽和接觸率的情況下SIQRS傳染病模型地方病平衡點的全局穩定性。

1 模型的建立

由此建立模型：

(1)

2 模型分析

對于模型(1),為了計算方便進行變換，令ω+δ+d1+p1=m和τ+d+p2=n，這樣可以得到模型：

(2)

(3)

且可行域D是模型的正向不變集[7]。

模型的平衡點應滿足下列方程：

(4)

定理1 當R0<1時，無病平衡點E0是全局漸近穩定的。

證明 模型在E0處的雅可比矩陣[11-12]為

J0的特征方程為

由此可以得到特征值：λ1=-1,λ2=-c0,λ3=-(c0+α0),λ4=R0-1。所以，當R0<1時，λ1<0,λ2<0,λ3<0,λ4<0,E0是局部漸近穩定的；當R0>1時，可以得到當λ4>0,E0在可行域中是不穩定的。

下面證明 ：當R0<1，E0是全局漸近穩定的。

當t→+∞時，模型的極限方程為

(5)

引理1 Hurwitz判據

考慮多項式方程：λn+θ1λn-1+θ2λn-2+…+θn-1λ+θn=0所有的根具有負實部的充要條件是：

其中k=1,2,…,n。當j>n時，補充定義aj=0。

定理2 當R0>1時，E*是全局漸近穩定的。

證明 模型在E*處的雅可比矩陣為

與J0等價。

根據Hurwitz判據得：

由此判據得到特征方程的4個特征根均具有負實部，則當R0<1時E*是局部漸近穩定的。下面證明E*是全局漸近穩定的。

故系統在可行域內無閉軌線。又因為E*是局部漸近穩定的，所以地方病平衡點E*是全局漸近穩定的。

3 數值模擬

首先對系統中的一些參數賦值,從而驗證無病平衡點和地方病的全局穩定性。選取參數A0=0.1,c0=0.01,m0=0.2,δ0=0.2,ω0=0.1,τ0=0.25,α0=0.4,這樣可以計算出R0=30>1。顯然,此時系統存在一個地方病平衡點,且此平衡點是全局漸近穩定的。取初始值分別為S(0)=0.8,I(0)=0.5,Q(0)=0.7,R(0)=0.6;S(0)=0.7,I(0)=0.6,Q(0)=0.75,R(0)=0.6，應用Matlab軟件進行數值模擬,可以得到如圖1所示的結果。

從圖1中很容易看出，感染者在疾病開始流行的時候數量有顯著的增加，但是隨著時間的推移，數量上趨于一個穩定的數值，也就是說疾病最終形成地方病，并且是全局漸近穩定的。

接著來看另外一種情況。在系統中取參數，A0=1,c0=0.4,m0=0.8,δ0=0.1,ω0=0.1,τ0=0.25,α0=0.3并計算出R0=0.75<1。此時系統存在一個無病平衡點E0是全局漸近穩定的，初始值分別取S(0)=0.8,I(0)=0.4,Q(0)=0.6,R(0)=0.5;S(0)=0.7,I(0)=0.5,Q(0)=0.65,R(0)=0.6，應用Matlab軟件對系統進行數值模擬，得到結果如圖2所示。

圖1 R0>1時在不同的初始值下地方病平衡點的全局漸近穩定性

圖2 R0<1時，在不同的初始值下無病平衡點的全局穩定性

從圖2中可以看出，感染者隨著時間的推移，最終將趨于滅亡。

4 結束語

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(責任編輯 劉 舸)

Analysis of SIQRS Epidemic Model with Saturated Contact Rate

ZHANG Hong-yu, YE Zhi-yong

(College of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Technology,Chongqing 400054, China)

First, this paper constructed a SIQRS epidemic model with saturated contact rate. We got the thresholdR0bycalculating,inwhichthereexistsadisease-freeequilibriumpointandanendemicequilibriumpointbystabilitytheoremandDulacTheorem,atlast,thecomputernumericalvaluesimulationimpliesthattheconclusionisright.

SIQRSepidemic model; threshold; saturated contact rate

2014-10-15 基金項目：重慶市自然科學基金資助項目(2005BB8085)；重慶市教育委員會基金資助項目(KJ080622)

張宏宇(1990—)，男，河南信陽人，碩士研究生，主要從事微分方程與動力系統研究。

張宏宇， 葉志勇.具有飽和接觸率的SIQRS模型的穩定性研究[J].重慶理工大學學報：自然科學版，2015(3):141-145.

format：ZHANG Hong-yu, YE Zhi-yong.Analysis of SIQRS Epidemic Model with Saturated Contact Rate[J].Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science,2015(3):141-145.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.03.026

O175

A

1674-8425(2015)03-0141-05