凹槽凸輪的快速建模與變步長數控加工

吳新良

(廈門理工學院現代工程訓練中心，廈門 361024)

凹槽凸輪的快速建模與變步長數控加工

吳新良

(廈門理工學院現代工程訓練中心，廈門 361024)

基于解析法設計了盤形凹槽凸輪，并用Matlab進行相關計算輸出凸輪輪廓點，給出了具體編程實現。將凸輪輪廓點作為CAD樣條曲線的控制點進行凸輪輪廓線的快速建模，建模過程直觀且容易實現。最后采用變步長直線插補凸輪非圓輪廓線進行數控加工，提高了加工效率。該方法為盤形凸輪的建模和數控加工提供了參考。

凹槽凸輪;建模;數控加工;刀具路徑

凸輪機構可實現各種復雜的運動要求，且結構緊湊，因而廣泛應用于各種自動機械、儀器和操縱控制裝置。在凸輪機構中又以盤形凸輪應用較多，因此相關建模和數控加工得到了廣泛的重視［1-4］。本文利用Matlab強大的計算能力，結合CAD繪制樣條曲線的便利性，快速進行凸輪的數字化建模，并利用變步長直線快速插補對凸輪非圓輪廓進行加工。該方案在滿足精度要求的情況下具有程序段少、加工效率高、容易實現等特點。

1 基于解析法的凹形凸輪的快速CAD建模

根據凹槽凸輪解析法設計，其中心線理論表達式為［5-6］

帶滾子的凸輪內、外輪廓曲線為

其中:為凸輪轉角，凸輪順時針轉動取正值，逆時針轉動取負值;s為推桿位移方程，為轉角q的函數表達;r0為凸輪基圓半徑;e為偏向距，若凸輪從動件導路偏在y軸的右側則取正值，若偏在在y軸左側則取負值，若對心則取0;rr為從動件滾子半徑。

由上述公式可知:要進行凹槽凸輪的解析設計，必須要計算相關導數等信息。Matlab具有強大的數學運算功能，在工程計算中得到了廣泛的應用。現以應用在某重力驅動的避障小車中的凹槽凸輪［7］為例進行CAD快速建模，其推桿位移方程為:

式中:q1=1.55 rad;S1=12.19 mm。

相關Matlab代碼如下:

運行該Matlab程序即可在硬盤上得到凸輪理論輪廓點數據文件“cam_center.txt”。限于篇幅，上述程序末尾省略凸輪內、外輪廓點數據的寫入程序段，只需將程序末尾的數組x0、y0改成相應的x1、y1和x2、y2即可得到凸輪內、外輪廓點數據文件。應當指出的是，該Matlab程序有較強的通用性，對不同的平面凸輪，只需將其中的推桿位移表達稍作修改即可滿足使用要求。

利用平面CAD軟件，運行“樣條曲線“命令，并將上面得到的各凸輪輪廓數據點復制并粘貼到CAD程序命令框中作為樣條曲線的控制點，最后將樣曲線條閉合并指定切向即可得到凸輪各輪廓曲線的CAD格式圖形，如圖1所示。

圖1 CAD樣條曲線繪制凹形凸輪輪廓

在三維造型軟件Pro/E中進入“草繪“命令，從其中“文件系統”導入圖1中CAD繪制好的凸輪輪廓圖文件，即可進行凸輪的三維拉伸建模。凹形凸輪輪廓的三維建模如圖2所示。

圖2 凹形凸輪輪廓的三維建模

上述建模方法充分利用了Matlab較強的計算功能和二維CAD軟件的易用性，相比一些文獻直接利用三維軟件通過參數法建模的方法更直觀、更容易實現。

2 凹形凸輪變步長數控加工

凹形凸輪輪廓曲線由2段圓弧和連接圓弧的非圓曲線組成。因大多數控機床提供直線和圓弧插補功能，故須用直線或圓弧擬合非圓曲線。其中圓弧樣條利用多段相切圓弧插補非圓曲線［8］，使得加工表面比較光滑，但計算過程復雜費時，較適用于精密加工場合。在直線擬合時利用多段微小直線逼近非圓曲線，因線段連接沒有切向連續，不如圓弧擬合光滑，但計算相對簡單，速度較快，適用一般應用。該方法是大多數商用CAM軟件加工非圓曲線生成刀具路徑的常用方法。直線插補非圓曲線的核心在于能在滿足精度要求的情況下盡可能增大加工步長以提高加工效率。確定加工步長的方法主要有等參數法、等步長法和等弓高誤差法［9-11］。等參數法和等步長法均取誤差最極端的情況考慮加工步長增量，導致加工步長最為保守，加工效率較慢。

本文采用等弓高誤差法對凸輪輪廓刀具中心線進行直線插補。定義相關弓高誤差如圖3所示。凸輪軌跡在微小段內其曲率半徑單調變化，凸輪軌跡與插補的微小線段最大實際誤差εmax在插補直線段的中間點附近，實際求解較為困難。如圖3所示，在凸輪輪廓微小段內，過凸輪軌跡上兩點且以ρi為半徑的圓弧代替實際輪廓線，相應圓割線中點的弓高誤差為δ，則有εmax≤δ。若以δ作為加工允許誤差代替實際誤差εmax，則依此插補的直線段必需符合加工精度要求，且該微小直線段隨著曲率半徑ρi的變化步長是不斷變動的，避免了等參數法和等步長法中步長取固定值導致加工效率不高的情況。

圖3 凸輪曲線微小直線逼近

當前點為p(qi)，現求下一點p(qi+1)，即求Δqi。由圖3可知:

凸輪曲線點p(qi)曲率半徑為

變步長凸輪輪廓數控編程算法流程如圖4所示，其中x(q)，y(q)為凸輪輪廓刀具中心線方程。若刀具直徑等于凸輪滾子直徑，則該方程為式(1);否則將式(2)中rr替換為偏置距離，大小為凸輪滾子直徑差與刀具直徑差，且相應地往外偏置取“+”，往內偏置取“-”。算法流程中Δq選取也如上所述。

圖4 變步長凸輪輪廓數控編程算法流程

該算法對凸輪遠休止角q1對應的輪廓段作圓弧插補;接著對凸輪回程角(q2-q1)所對應的非圓輪廓段進行變步長直線插補;然后對凸輪近休止角(q3-q2)所對應的輪廓段進行圓弧插補;最后對凸輪的推程角(2π-q3)所對應的非圓輪廓段進行變步長直線插補。這樣保證了誤差在要求范圍內，且插補步長依凸輪曲率半徑變化而變化，從而提高了加工效率。以本文的凸輪為例，采用直徑10 mm銑刀，取弓高誤差δ為0.01 mm，遵循圖4算法，利用Matlab輔助計算生成數控加工代碼，其非圓曲線直線插補的步長情況如圖5所示。圖5中每段非圓段直線插補數為66條，最大步長ΔL=3.21 mm，平均步長為1.40 mm。

在相同弓高誤差下，若采用等參數法，在凸輪最大曲率半徑為37 678.77 mm處的步長轉角增量最小，即Δq=0.001 5。以此等參數增量對每段非圓段進行直線插補，則插補線段數須為1 093條，顯然圖4算法變步長加工步數明顯較少。若用等步長法，非圓曲線的直線插補允許的最大步在最小曲率半徑為ρmin=34.46 mm處，ΔL為0.83 mm，顯然小于圖5的平均步長，即加工效率低于變步長法。

圖5 凸輪非圓曲線變步長直線插補步長

將算法生成的數控代碼輸入機床進行實際加工，得到的凸輪輪廓表面質量良好，與凸輪滾子滾動配合順利。加工結果如圖6所示。

圖6 示例凸輪變步長加工實物

3 結束語

采用解析法并用Matlab計算得到凹形凸輪各輪廓線軌跡點，將其輸入作為CAD樣條曲線控制點進行凸輪輪廓線的快速建模，方法較直觀簡便。建模后采用直線變步長插補凸輪非圓曲線，加工效率較高。

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(責任編輯劉 舸)

Fast Modeling and Variable Step Size Tootpath CNC Manufacturing of Concave Cam

WU Xin-liang
(Mordern Engineering Training Center，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China)

The groove cam was designed based on the analytical method，and the detail MATLAB programe was introduced and used to calculate and output cam sharp points，thus the programming realization was given.The sharp curve of cam was built up rapidly by treating CAM contour point as the control point of CAD，and the modeling method is intuitive and easy to implement.Then the variable step size linear was used to have the interpolation cam contour line for computer numeric control machine manufacturing cam，and machining efficiency is improved by using this method.This paper provides a reference for modeling and CNC machining of cam.

concave cam;modeling;computer numerical control machining;toolpath

TH164

A

1674-8425(2015)11-0073-05

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.11.012

2015-09-09

福建省教育廳科技項目(JB13158)

吳新良(1981—)，男，福建仙游人，碩士，實驗師，主要從事數字化設計與制造研究。

吳新良.凹槽凸輪的快速建模與變步長數控加工［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2015(11):73-77.

format:WU Xin-liang.Fast Modeling and Variable Step Size Tootpath CNC Manufacturing of Concave Cam［J］. Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2015(11):73-77.