廣義中心三項式系數對數凸性研究

張治海，王善坤，李 陽

(大連理工大學 城市學院，遼寧 大連116024)

在組合學中，組合序列的對數凸性是基本的研究課題之一。設{an}n≥0是非負無限實數序列，若對于任意的n≥1 都有

成立，則稱該序列是凸的(凹的)。若對于任意的n≥1 都有

成立，則稱該序列是對數凸的(對數凹的)。許多著名的組合序列都是對數凸的。組合序列的對數凸性與組合序列的對數凹性、TP 矩陣、PF 序列等密切相關。本文研究帶有參數的組合序列廣義中心三項式系數的對數凸性。

1 廣義中心三項式系數及相關工具簡介

1.1 廣義中心三項式系數

中心三項式系數Tn定義為三項式(x2+x +1)n展開式中xn的系數［1］。由多項式定理可以得出它的顯式表達式為

中心三項式系數Tn在計數組合學中表示從點(0，0)到點(n，0)僅使用(1，0)，(1，1)，(1，-1)步的格路數。

Sun［2］在研究組合序列的同余性質時引入了廣義中心三項式系數Tn(b，c)，其定義為三項式(x2+bx+c)n中xn的系數，即

式中，b，c 為非負整數。由于

因此廣義中心三項式系數Tn(b，c)可以看成是中心三項式系數及中心二項式系數的一般化。Wilf［3］給出了廣義中心三項式系數Tn的發生函數

由此可以得到遞歸關系［4］

1.2 Riordan 矩陣

Riordan 矩陣是無限下三角矩陣，該矩陣可以用一對函數(g(x)，f(x))來表示。Riordan 矩陣第k 列元素的發生函數Ck(x)為

式中，g(0)=1，f(0)≠0。

設R=［rn，k］n，k≥0為Riordan 矩陣，且R=(g(x)，f(x))，則Riordan 矩陣R 可以通過序列A={an}n≥0和Z={zn}n≥0來刻畫，即

設A 序列的發生函數為A(x)，Z 序列的發生函數為Z(x)，則A(x)和Z(x)與g(x)和f(x)滿足關系

1.3 Aigner-Catalan-Riordan 矩陣

設矩陣

是無限下三角矩陣，其滿足遞歸關系

式中，zj，aj，k為非負整數，且當k ＞j≥0 時aj，k=0。無限下三角矩陣T=［tn，k］n，k≥0稱為Aigner -Catalan-Riordan 矩陣。

設矩陣T=［tn，k］n，k≥0為Aigner - Catalan -Riordan 矩陣，則稱矩陣

為Aigner-Catalan-Riordan 矩陣T=［tn，k］n，k≥0的系數矩陣。容易看出Aigner-Catalan-Riordan 矩陣是廣義的Riordan 矩陣。

2 廣義中心三項式系數的對數凸性

定義1 廣義中心三項式三角矩陣T(b，c)=［Tn，k(b，c)］n，k≥0是無限下三角矩陣，其遞歸定義為

式中，b，c 為非負整數。

定理1 廣義中心三項式系數Tn(b，c)是廣義中心三項式三角矩陣T(b，c)=［Tn，k(b，c)］n，k≥0的第0 列元素。

證明 由Riordan 矩陣的定義可得廣義中心三項式三角矩陣T(b，c)=［Tn，k(b，c)］n，k≥0是Riordan 矩陣的特例，且其A 序列與Z 序列分別為

其A 序列與Z 序列的發生函數分別為

設T(b，c)=(g(x)，f(x))，則由A(x)和Z(x)與g(x)和f(x)之間滿足的關系可得

由f(0)=c 可以解得

將式g(x)與廣義中心三項式系數的發生函數進行比較，可得廣義中心三項式系數Tn(b，c)是廣義中心三項式三角矩陣T(b，c)=［Tn，k(b，c)］n，k≥0的第0 列元素，即

證畢。

定理2［5］設矩陣T=［tn，k］n，k≥0為Aigner -Catalan-Riordan 矩陣，若該矩陣的系數矩陣［ζ，A］是TP2矩陣，則矩陣T 的第0 列元素構成對數凸序列。

證明 由廣義中心三項式三角矩陣T(b，c)=［Tn，k(b，c)］n，k≥0的定義可得矩陣T(b，c)是Aigner-Catalan-Riordan 矩陣的特例，其系數矩陣為

易見當b2≥2c 時系數矩陣［ζ，A］是TP2矩陣。最后由定理2 可得當b≥時，廣義中心三項式系數Tn(b，c)構成對數凸序列。

證畢。

Zhu［6］對廣義中心三項式系數的對數凸性進行過研究，并且得出過以下定理。

定理4［6］當b≥時，廣義中心三項式系數Tn(b，c)構成對數凸序列。

3 應 用

許多組合計數問題中都會出現中心Delannoy數Dn［7］，其定義為［8］

中心Delannoy 數Dn的組合解釋為從點(0，0)到點(n，n)僅使用步(1，0)，(0，1)及(1，1)的格路數。中心Delannoy 數Dn還滿足遞歸關系

可以看出，從中心Delannoy 數Dn的定義出發判定該數是否具有對數凸性不是一件容易的事。但是由中心Delannoy 數Dn及廣義中心三項式系數Tn(b，c)的定義可得Dn=Tn(3，2)。因此可以立即得到以下推論。

推論1 中心Delannoy 數構成對數凸序列。

在前文中簡介過中心二項式系數也是廣義中心三項式系數的特例，因此可以立即得到關于中心二項式系數對數凸性的推論。

推論2 中心二項式系數構成對數凸序列。

4 結 語

通過將廣義中心三項式系數內嵌于廣義中心三項式三角矩陣中，并借助TP 理論對廣義中心三項式系數進行研究，加強和推廣了Zhu 的結論。作為應用，統一的給出中心Delannoy 數和中心二項式系數各自都構成對數凸序列的結果。

廣義中心三項式系數可以表示以中心二項式系數、中心三項式系數及中心Delannoy 數為代表的一類組合序列。而Colored -Motzkin 數可以表示以Catalan 數、Motzkin 數、Hexagonal 數為代表的一類組合序列。或許可以模仿研究廣義中心三項式系數對數凸性的方法逆向構造三角矩陣來研究Colored-Motzkin 數的對數凸性。

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