濾棒圓周估計及控制方法探討

衷志剛,李興緒,孫泉利

（1.云南財經大學a.統計與數學學院；b.經濟研究院，昆明 650221）

0 引言

卷煙濾棒是一種柔軟、易變形的物體，對其直徑進行精確測量具有相當的難度。接觸式測量由于受測力的影響，卷煙濾棒易變形、易磨損、測量精度不高。另一種測量方法采用CCD非接觸技術獲取圖象[1]，但在邊緣檢測過程中采用傳統的二值化方法，該方法對數據的處理較粗糙，同樣具有精度較低的缺點。但是，隨著科學技術的高速發展，圖象處理技術[2]可以精準地算出濾棒的直徑，為卷煙的質量控制提供技術幫助。目前，檢驗濾棒圓周的一般方法是離線測量法，此方法的缺點是時間長、速度慢和程序復雜，其滯后性使濾棒質量控制效果變差。區間假設檢驗方法是一種實用的統計方法,目前在實際產品質量控制的應用很稀少，然而，它可以有效應用于濾棒圓周檢驗方面，只要配備相應的設備就可以實現“在線控制”的目標。

1 濾棒圓周估計方法

1.1 數據描述

本文介紹的區間假設檢驗方法基于兩組樣本數據，這兩組樣本數據來自于曲靖紅云紅河煙廠的技術人員抽樣所得，分別記為：Ⅰ樣本數據和Ⅱ樣本數據。

Ⅰ樣本由77支煙組成，分別取自77條生產線。利用激光感應器對這77支卷煙濾棒從180個角度（順序是1，2，3，……，180度）進行直徑的測量，得到一張77行180列的數據。值得注意的是，由2-1-5機臺生產的卷煙濾棒的直徑為7.7088mm，超出標準值很多，屬于異常值。由于它會使總體的方差估計值過大，降低假設檢驗的精度，應該把它從樣本中刪除。消除異常值之后，Ⅰ樣本數據變為一張76行180列的數據表。

Ⅱ樣本由20技煙組成，取自同一條生產線。利用上述測量方法得到一張20行180列的數據表。

1.2 濾棒圓周估計方法

得到Ⅰ樣本數據后，用l=πd公式算出Ⅰ樣本的濾棒圓周。由于生產的卷煙具有不規則性，為了盡量減小入射角差異帶來的測量誤差，降低樣本方差，對數據進行預處理：取1～180度每間隔45度的四個值的平均值，例如：取1、46、91和136度的四個觀測值，并對這四個觀測值取平均值，得到一組平均值，依此類摔推，每支煙分別得到45組平均值數據，用k=1,2,……,45分別表示45組角度的平均值數據。經過處理后，Ⅰ樣本數據變為76行45列的數據表。Ⅱ樣本數據經過同樣處理后，得到一張20行45列的數據表。

事實上，經過此方法總共得到4410個濾棒圓周估計值，減去對應的濾棒真實值得到4410個誤差值，誤差范圍分布如表1所示：

表1 誤差范圍比例表 （單位：mm）

如表1所示，81.22%的誤差值在[-0.04，0.04]范圍內波動，67.55%的誤差值在[-0.03，0.03]內波動，這意味著總體誤差值在很小的范圍內波動，這樣的結果還是令人滿意的。因此，這種估計方法效果是比較優良的。

1.3 方法合理性分析

事實上，估計濾棒圓周可以取1～180度每間隔60度的3個值的平均值，也可取1～180度每間隔45度的4個值的平均值，還可以取1～180度每間隔30度的6個值的平均值。理論上，所取間隔的角度越小，所得濾棒圓周估計值越接近真實值。

基于Ⅰ樣本數據，比較上述三種方法的優良程度。使用上述三種方法，通過計算，得到表2和表3。表2是濾棒圓周估計值表，表3是濾棒圓周誤差表。由于相同編號的濾棒圓周均值是相同的，通過比較三種方法的相同編號的濾棒圓周的誤差方差便可以得出結論。

表2 濾棒圓周估計值表

其中k為三種方法各組角度的序號，k=1，2，...，a ；序號表示濾棒的編號，從1到76；真實值為每只濾棒180個角度測量值的平均值，此表僅為方便讀者理解。

表3 濾棒圓周誤差表

其中k為三種方法各組角度的序號，k=1，2，...，a ；序號表示濾棒的編號，從1到76；方差為每一只濾棒a個估計值的方差此表，僅為方便讀者理解。

通過計算，得到三種方法的誤差方差表，畫出散點圖。

圖1 方差散點圖

其中橫軸表示濾棒編號，豎軸表示方差大小；間隔30度、間隔45度和間隔60度分別表示上述三種方法。

從圖1可以看出，方法1的誤差方差在區間（0，0.008）波動；方法2的誤差方差在區間（0，0.004）內波動，且多數在（0，0.002）內波動；方法3的誤差方差在區間（0，0.001）內波動。整體上，對于相同編號的濾棒，方法1的誤差方差明顯比方法2的大，方法2的誤差方差比方法3的大，由此可以得出結論：方法2明顯優于方法1，方法3優于方法2。

采用方法1只需在卷煙生產線安裝三臺激光感應器，但是方法1的估計效果一般；采用方法2需要安裝四臺激光感應器，僅僅增加一臺激光感應器便能使估計的效果提升一個層次，得到令人滿意的結果；采用方法3需要在卷煙生產線上安裝六臺激光感應器，不僅估計的效果增加不大，而且安裝成本大大提升。隨著間隔角度越小，濾棒圓周估計效果越好，但是增加的成本也越來越多。因此，在條件有限的情況下，采用方法2既能控制成本，又能達到令人滿意的結果。

2 方法介紹

2.1 構建原假設和備擇假設

檢驗一支新生產出來的煙的圓周是否在[24-0.1，24+0.1]內，需要用數理統計方法中的區間假設檢驗方法。

隨機從45組角度選取一組角度測量一支新生產出來的煙，經l=πd計算得到四個圓周觀測值，觀測值與實際值存在誤差，用下述公式表示：

其中y*表示一組角度四個觀測值的平均值，μ是濾棒圓周的實際值，ε*表示濾棒圓周觀測值與實際值的誤差。

做區間的假設檢驗，首先需要確定零假設和備擇假設，具體如下：

確定零假設和備擇假設之后，便可以構造統計量。

2.2 構造統計量

考慮雙邊假設檢驗問題：

我們得出檢驗的統計（當σ已知）：

我們得出區間假設檢驗的兩個t統計量，從上述內容可以看出，t統計量的自由度非常大，由數理統計知識可知：當自由度足夠大時，t分布非常接近正態分布。于是，我們可以近似的利用正態分布的統計量來進行檢驗。

其中C1、C2為正態分布的兩個分位點，C1＝-1.96，C2＝1.96。

常用的統計軟件，如SPSS、Eviews等，都不能直接進行“區間的假設檢驗”，需要用到數理統計理論及Matlab軟件進行計算。計算一支煙的圓周是否在這個范圍內，需要求出y*的估計值及y*的估計值的方差σ2。

2.3 估計樣本方差

2.4 構建功效函數

統計上，第一類錯誤是指當原假設成立時，卻落入了拒絕域，使原假設被錯誤地拒絕了；第二類錯誤是指當原假設不成立時，卻落入了接受域，使原假設被錯誤地接受了。

功效函數[4]是指：在統計意義上，犯第一類錯誤的概率，當原假設為真時，樣本觀測值落入拒絕域是一個小概率事件。根據實際推斷原理，在一次觀測中，小概率事件是幾乎不可能發生的，所以拒絕原假設的理由充足。在本文的假設檢驗中，原假設是受保護，即不能把合格品判為不合格品。因此，濾棒圓周的觀測值在合理范圍內，其功效函數值越小越好。下面是功效函數的推導過程：

在樣本 X1，X2...，Xni.i.d～F(θ)，給出拒絕域W ，即當(X1，X2...，Xn)∈W 時，拒絕原假設。得到功效函數：

β(θ)=Pθ((X1，X2...，Xn)∈ W)

當θ滿足H0，β(θ)表示犯第一類錯誤的概率；當θ不滿足H0，β(θ)表示正確地拒絕H0的概率。

在本文的假設檢驗中，原假設和備擇假設分別是：

H0:μ0∈[23.9，24.1] H1:μ0?[23.9，24.1]

已知y*ki.i.d～N(μ0，σ2)，犯第一類錯誤的函數可以表示為：

其中C1=-1.96，C2=1.96，n=1，μ為濾棒圓周觀測值

式（9）是以μ為變量的函數，當μ在一定范圍內，可以用軟件畫出功效函數的圖像，根據圖像可以知道當卷煙濾棒圓周估計值偏離標準范圍多少時，功效函數值會迅速變得很大。

3 結果分析

3.1 區間假設檢驗判斷效果分析

本文的區間假設檢驗方法構建基于處理后的Ⅰ樣本數據，從Ⅰ樣本抽取四個“超標”樣本數據，并與處理后的Ⅱ樣本數據一起作為測試集，對該方法進行測試，檢驗該方法的判斷效果。由于測試集中的所有煙支濾棒圓周的真實值均大于23.9，并且它們的TL統計量均大于-1.96，因此它們的圓周都被正確地判為大于23.9，在這里就不多加贅述。

其中k為45組角度的序號，k=1，2，...，45，表4抽取其中的9組角度進行說明（原因是數據過多）。

由表4可以看出，前面四支濾棒圓周均超過標準24.1mm，“2-1-5”的TU統計量值中有6個角度是大于1.96，即拒絕原假設，把它判為“不合格品”。其它三支濾棒的TU統計量值均小于1.96，事實上，其它36個角度的TU統計量值也小于1.96，即不拒絕原假設，把它們錯誤地判為“合格品”。Ⅱ樣本的20支濾棒圓周的真實值均小于24.1mm，并且它們的TU統計量值都小于1.96，沒有理由拒絕原假設，它們均被正確地判為“合格品”。在測試集中的24支濾棒圓周有21支被正確判斷，有3支被誤判。然而，前面四支煙比較特殊，真實的誤判率將更小。因此，區間假設檢驗方法的判斷效果是比較優良的。

3.2 功效函數圖像

表4 測試樣本TU統計量值表

根據式（9）在統計軟件中畫出如下功效函數曲線。

圖2 功效函數曲線

功效函數曲線呈對稱U型曲線，當μ＝24時，功效函數值最小，即 β(μ)＝0.000215。當 23.9≤μ≤24.1時，功效函數值范圍為：0.000215≤β(μ)≤0.02499，當 μ＜23.9或μ＞24.1時，功效函數值以非常快的速度增長，直到增長到β(μ)=1停止。功效函數曲線的意義顯而易見，它清晰地指出：當樣本煙支濾棒圓周的觀測值超過標準范圍0.025，會導致功效函數值迅速地增大，功效函數值增大的越快越好，說明構建的區間假設檢驗判斷效果是很好的。如圖2，當μ=23.8或 μ=24.2時，β(μ)=0.741005，它的含義是：樣本煙支濾棒圓周不合格，并且在23.7mm或24.2mm很小范圍內波動時，它被正確地判為不合格的概率為74.1%；當樣本煙支濾棒圓周合格時，并在[23.9，24.1]間波動時，它被錯誤地判斷為不合格的概率幾乎為零。樣本煙支濾棒圓周能夠在離23.9或24.1這么小的范圍內判斷精度達到這么高，說明構建的區間假設檢驗方法的判斷效果比較優良。

4 結論

通過上述的實證分析，可得出結論：通過區間假設檢驗方法，可以比較準確地判定新生產的卷煙濾棒圓周是否合格，利用四個特定角度取平均值很好地估計了濾棒圓周。區間假設檢驗方法的應用,進一步促進了檢驗方法的改進及質量問題的解決,提高了檢驗工作效率,從另一方面促進了產品質量水平的提高。

實際上，區間檢驗問題在煙草生產過中經常會遇到，如煙絲含水率的檢驗、卷煙濾棒圓周的檢驗等等，本文所用的區間假設檢驗方法能夠有效地解決相關區間檢驗問題。區間假設檢驗方法可操作性強、易理解，而且可以開發成軟件，實現電腦操作，如果在卷煙生產線上增加相關設備，便可以實現在線檢驗，達到“立刻控制質量”的目標。

[1]張小英，李敏.基于小波變換的濾棒直徑測量法[J].高校論壇，2006，（7）.

[3]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4]茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數理統計[M].北京：高等教育出版社，2009.