墻體內熱濕耦合過程的時域遞歸展開算法

墻體內熱濕耦合過程的時域遞歸展開算法

張景欣1，郭興國1，陳友明2，陳國杰2,3

(1. 南昌大學 建筑工程學院，南昌 330031；2. 湖南大學 土木工程學院，長沙 410082；

3. 南華大學 城市建設學院，湖南 衡陽 421001)

摘要：利用時域遞歸展開算法對墻體內熱濕耦合傳遞方程進行求解。以木板為例，應用該算法進行了熱濕耦合傳遞的分析計算，在時間域和空間域上分別運用遞歸展開法和控制容積法進行離散，從而得到遞歸形式的線性方程組，運用MATLAB軟件對這一過程進行求解。計算結果與有限差分算法、解析解計算結果以及實驗數據吻合良好，表明該算法能夠用于求解多孔介質熱濕耦合傳遞模型。時間步長的改變對計算結果影響較小，可通過增加時間步長方法來減少工作量。

關鍵詞：熱濕耦合傳遞；時域分析；時間步長

Received:2015-07-18

Foundation item： National Natural Science Foundation of China (No. 51208247, 51408294, 51078127)

Author brief：Zhang Jingxin (1990-), main research interests:building energy consumption evaluation and simulation research, (E-mail) zhangjingxin_90@163.com.

在熱濕氣候地區，墻體的熱濕遷移對圍護結構的熱工性能、建筑能耗和室內環境有著十分重要的影響[1-2]。因此，研究多孔材料的熱濕遷移，預測材料內部溫度和濕度的分布對改善圍護結構的熱工性能、抑制霉菌生長、提高圍護結構的耐久性具有重大意義。而建立多孔材料熱濕傳遞模型和采用高精度的算法是研究這些問題的基本前提。

許多學者采用的熱濕耦合傳遞模型為Luikov模型[3]。該模型可以就建筑材料和建筑結構在真實外界條件下長期變化的特性做出模擬，奠定了液態水和水蒸氣同時傳遞模型的理論基礎。一些學者對Luikov方程進行了改進和完善[4-5]，得到了一維瞬態熱濕耦合傳遞方程的解析解。對于熱濕耦合傳遞模型的數值解法，被廣泛采用的主要是有限元法和有限差分法[6-8]。Kerget等[9]采用基于邊界元法的數值模型對多孔介質非線性熱濕耦合傳遞進行了模擬，此方法減少了問題的維數，但應用范圍以存在相應微分算子的基本解為前提。郭興國等[10]運用有限容積法對多層墻體熱濕耦合模型進行了求解，此類方法時間步長選擇受到一定的限制。Mendes等[11]運用有限差分方法對方程進行離散，并用MTDMA(Multitridiagonal-Matrix Algorithm)對離散后的方程進行求解。李鳳志等[12]利用時域遞歸展開算法求解了織物熱濕耦合方程，該方法的主要優點是時間步長的選取幾乎不受限制。

筆者建立了多孔介質一維熱濕傳遞控制方程，在時域上采用了遞歸展開算法，有效克服了有限差分法對時間步長的限制問題，在空間域上采用有限容積法對方程進行離散，并且用MATLAB編程進行求解。計算結果與有限差分方法的計算結果以及文獻[5]中的解析解、實驗數據進行比較，證明了此解法的正確性。研究結果表明，該方法能夠用于墻體熱濕耦合遷移方程的求解。

1熱濕耦合模型的建立

1.1　控制微分方程

在多孔建筑墻體內熱濕耦合過程中，根據質量和能量守恒方程可得多孔建筑墻體的內熱濕耦合微分方程[13]

(1)

(2)

式中：T為溫度，K；t為時間，s；Cp為材料的比熱，J/(kg·K)；Cm為材料的比濕，kg/(kg·°M)；k為導熱系數，W/(m·K)；Dm為材料的質擴散系數，kg/(m·s·°M)；ρ為干材料的密度，kg/m3；ε為相變因子，m3/m3；γ為吸附或解吸附熱，kJ/kg；δ為熱梯度系數，°M/K；hlv為蒸發潛熱，J/kg；m為濕度勢，°M，在吸濕材料中，傳熱傳質具有相似性，定義m為濕度勢，是材料含濕量U的函數[13]

U=Cmm

(3)

式(1)代表了控制體內能量平衡方程，方程中的最后一部分代表了由于相變和吸附或解吸附產生的熱源或者熱匯。同理，式(2)為控制體內質量平衡方程，方程的最后一項代表了與溫度梯度有關的濕源或者濕匯。為了計算方便，方程(1)、(2)還可以簡化為

(4)

(5)

1.2　邊界條件和初始條件

模型為一維多孔介質熱濕耦合模型。圖1所示為模型的邊界條件，即：在x=0時，溫度和濕度勢分別為Ti、mi；當x=l時，溫度和濕度勢分別為To、mo。初始條件為

(6)

(7)

圖1　建筑墻體示意圖Fig.1　Schematic diagram of

2微分方程的求解方法

2.1　在時域上的離散

為了求解建筑構件熱濕耦合微分方程，采用時域遞歸展開算法[15]，將時域劃分為若干時段，在每個離散的時段內將變量展開，因此，T、m可以展開為

(8)

(9)

(10)

式中：t0為時段起點，s；ts為時間步長，s；Tj，mj分別為T、m的j階展開系數。

由導數轉換的關系

(11)

可計算得到T和m的一階時間導數項

(12)

(13)

把式(8)~(13)代入到式(4)、(5)中，比較s的冪次，可得

(14)

(15)

2.2　在空間域上的離散

采用有限容積法建立離散方程，將守恒方程在任一控制容積對空間做積分，圖2為控制容積示意圖，i為建筑材料內部節點，豎實線表示控制體分界面。在控制體上對式(14)、(15)積分

圖2　控制體積示意圖Fig.2　Schematic diagram of control

(16)

(17)

積分后，可得

(18)

(19)

2.3　算法的實現

給定原始數據、初始和邊界條件。對于n個節點可以列出2n個方程，在求解方程前，先求出每個節點的系數，之后求解方程。對每一次迭代的系數以及方程的解進行儲存，當連續3次滿足收斂條件時，進入到下一個時間步長t=t+ts，使用式(8)、(9)計算t時刻變量T、m的值，如果t

在計算過程中，也可預先設置展開階數的上限為max，改變max的大小，可以控制求解精度以及程序運行的時間。

3分析與討論

將上述求解方法應用到求解建筑材料熱濕耦合過程中，模型計算采用的材料為木板，邊界條件及初始條件按照文獻[5]中設置，模型其他計算參數主要根據文獻[13]選取，如表1所示。計算結果與有限差分方法、文獻[5]中解析解進行了對比，經過有限差分離散后的方程分別用直接解法和MTDMA算法進行求解。

表1　模型參數

圖3為木質建筑構件的中點溫度隨時間變化的曲線，對比可以看出，時域遞歸算法預測材料溫度的變化與文獻[5]中的解析解計算的結果具有高度一致性，平均相對誤差為0.1%。有限差分算法中的直接解法及MTDMA算法計算的結果是一致的，與時域遞歸算法相比，平均相對誤差均為1.4%。在大約1 500 s后，溫度均穩定在83.5 ℃。圖4為建筑構件中點濕度勢隨時間變化曲線，對比可知：采用時域遞歸算法和有限差分算法得到的曲線幾乎重合，平均相對誤差僅為0.074%，經過計算，在大約48 h后，濕度勢穩定在了24.5 °M。與文獻[5]中的結果對比，平均相對誤差為2.4%，數值較與有限差分算法對比時的誤差增加。分析原因，可能是由于解析解對模型做了一定的假設和簡化導致的[5]。

圖3　建筑材料中點溫度隨時間變化曲線(x=0.012)Fig.3　Change curve in temperature with time at the center of the wall

如圖5、6所示為該方法與Qin等[16]實驗結果的對比，計算條件與實驗條件相同，實驗天數為5周，材料屬性見文獻[16]。圖5給出了墻體溫度分布，計算結果與實驗結果吻合較好，相對誤差小于10%。圖6為墻體水蒸氣含量分布，從圖中可以看出計算結果與實驗結果吻合良好，相對誤差小于7%。

圖5　建筑材料溫度分布Fig.5　 Distribution of temperature in building

圖6　建筑材料水蒸氣含量分布Fig.6　Distribution of vapor content in building

通過與數值解、解析解以及實驗對比，該算法誤差較小且誤差均在可以接受的范圍內，證明了該算法的正確性，可以用來求解墻體內熱濕耦合傳遞模型。

為了研究采用該算法時間步長的選取對計算精度的影響，將時域遞歸展開算法與有限差分的隱式格式進行了對比，結果如圖7、8所示。計算時室外溫度35 ℃，相對濕度80%，室內溫度25 ℃，相對濕度60%，材料的厚度為0.1 m，其余計算參數見表1，總時間設定為240 h。材料的含濕量與相對濕度的函數關系參考文獻[17]。

圖7　不同時間步長下材料中點溫度隨時間變化曲線(x=0.05)Fig.7　Change curve in temperature with time at the center of the wall under different sizes of time step

圖8　不同時間步長下材料中點相對濕度隨時間變化曲線(x=0.05)Fig.8　Change curve in moisture content with time at the center of the wall under different sizes of time step

圖7(a)為采用時域展開算法預測材料中點溫度隨時間變化曲線。從圖中可以看出，隨著運行時間的增加，溫度變化較快。在2×104s時，溫度穩定在30.06 ℃，所以在圖中僅顯示20 h內溫度隨時間變化曲線。對比圖5(a)和(b)可以看出，有限差分格式在取不同的時間步長時，曲線波動較大，而圖5(a)的時域遞歸展開算法對結果幾乎沒有影響。

圖8(a)為采用時域展開算法預測的相對濕度隨時間變化曲線。從圖中可以看出隨著運行時間的增加，相對濕度逐漸增加，并且有趨于穩定的趨勢。延長計算的總時間，相對濕度穩定在了70%。對比圖8中的(a)和(b)，可以得出：用時域遞歸展開算法計算得到的相對濕度幾乎不受時間步長的影響，圖線基本重合。而有限差分算法對時間步長的選擇具有一定的依賴性。綜合圖3~8可以得出：溫度比含濕量能夠較快進入穩定的狀態，材料的熱擴散系數大于濕擴散系數。

4結論

利用時域遞歸展開算法對熱濕耦合傳遞模型進行了求解，在時域上采用了遞歸展開算法進行離散，在空間域上采用控制容積法，用MATLAB編程計算。通過與有限差分算法進行對比、分析可以得到：

1)材料中點溫度和濕度勢隨時間變化曲線的大致走勢是一致的，驗證了算法的正確性。

2)增加展開階數可提高計算結果的精度，減少展開階數可減少工作量。

3)時域遞歸展開算法的計算精度幾乎不受時間步長的影響。因此，可以適當的增加時間步長來減少工作量，節約計算所需時間。

4)可以將自適應的精細算法與有限差分方法結合起來，解決計算精度要求高的物理問題。

參考文獻：

[1] 孔凡紅, 王懷柱. 圍護結構熱質耦合傳遞對室內環境的影響[J]. 熱科學與技術, 2010, 9(3): 212-217.

Kong F H, Wang H Z. Effect of envelope heat and mass coupled transfer on indoor environment [J]. Journal of Thermal Science and Technology, 2010, 9(3): 212-217. (in Chinese)

[2] 孔凡紅, 鄭茂余, 韓宗偉, 等. 新建建筑圍護結構熱質傳遞對室內溫濕度環境的影響[J]. 建筑科學, 2008,24(8): 94-97.

Kong F H, Zheng M Y, Han Z W, et al. Influences of envelope heat and moisture transfer of new building on indoor temperature and humidity [J]. Building Science, 2008, 24(8): 94-97. (in Chinese)

[3 ] Luikov A W. Heat and mass transfer in Capillary-Porous bodies [M]. Pergamon Press, Oxford, 1966.

[4 ] Qin M H, Belarbi R, A?t-Mokhtar A, et al. An analytical method to calculate the coupled heat and moisture transfer in building materials [J]. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2006, 33(1):39-48.

[5 ] Abahri K, Belarbi R, Trabelsi A. Contribution to analytical and numerical study of combined heat and moisture transfers in porous building materials [J]. Building and Environment, 2011, (46): 1354-1360.

[6 ] Qin M H, Belarbi R, A?t-Mokhtar A. Coupled heat and moisture transfer in multi-layer building materials [J]. Construction and Building Materials, 2009, 23: 967-975.

[7 ] Qin M H, A?t-Mokhtar A, Belarbi R. Two-dimensional hygrothermal transfer in porous building materials [J]. Applied Thermal Engineering, 2010, 30: 2555-2562.

[8 ] 郭興國. 熱濕氣候地區多層墻體熱濕耦合遷移特性研究[D]. 湖南:湖南大學, 2010: 32-34.

Guo X G. Research on coupled heat and moisture transfer characteristics of multilayer walls in hot and humid climate [D]. Changsha: Hunan University, 2010: 32-34. (in Chinese)

[9 ] Skerget L, Tadeu A. BEM numerical simulation of coupled heat and moisture flow through a porous solid [J]. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2014, 40: 154-161.

[10] 郭興國, 陳友明. 熱濕氣候地區墻體內部冷凝分析[J]. 土木建筑與環境工程, 2011, 33(5): 121-124.

Guo X G, Chen Y M. Aanlysis of condensation in porous wall exposed to hot humid climate [J]. Journal of Civil, Architectural and Environmental Engineering, 2011, 33(5): 121-124. (in Chinese)

[11] Mendes N, Philippi P C. Multitridiagonal-matrix algorithm for coupled heat transfer in porous media: stability analysis and computational performance [J]. Journal of Porous Media, 2004, 7(3): 193-211.

[12] 李鳳志, 李毅, 曹業玲. 求織物熱濕耦合方程的控制體-時域遞歸展開算法[J]. 南京航空航天大學學報, 2009, 41(3): 319-323.

Li F Z, Li Y, Cao Y L. Control volume-time domain recursive method for solving coupled equations of heat and moisture transfer in fabrics [J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2009, 41(3): 319-323. (in Chinese)

[13] Chang W J, Weng C I. An analytical solution to coupled heat and moisture diffusion transfer in porous materials [J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2000, 43: 3621-3632.

[14] Qin M H, Belarbi R. Development of an analytical method for simultaneous heat and moisture transfer in building materials utilising transfer function method [J]. Journal of Materials in Civil Engineering, 2005, 17(5): 492-497.

[15] Yang H T, Gao Q. A Precise time stepping scheme to solve hyperbolic and parabolic heat transfer problems with radiative boundary condition [J]. Heat and Mass Transfer, 2003, 39: 571-577.

[16] Qin M H, Belarbi R, A?t-Mokhtar A, et al. Nonisothermal moisture transport in hygrocopic building materials: modeling for the determination of moisture transport coefficients [J]. Transport Porous Media, 2008, 72(2): 255-271.

[17] Hameury S. Moisture buffering capacity of heavy timber structures directly exposed to an indoor climate: a numerical study [J]. Building and Environment, 2005, 40: 1400-1412.

(編輯胡英奎)

Guo Xingguo(corresponding author), PhD, (E-mail)guoxingguo20032003@aliyun.com.

A time domain recursive algorithm for solving the model of coupled heat and moisture transfer in building wall

Zhang Jingxin1，Guo Xingguo1，Chen Youming2, Chen Guojie2,3

(1.School of Civil Engineering and Architecture，Nanchang University，Nanchang 330031，P.R.China;

2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, P.R.China;

3. College of Urban Construction, University of South China, Hengyang 421001, Hunan, P.R.China)

Abstract:A time domain recursive algorithm was used to solve the model of coupled heat and moisture transfer equation through building wall. The calculation was carried out by using algorithm in wood.The recursive algorithm and the finite volume algorithm were separately used in the time and space domains respectively to obtain the linear equations of recursive form. The results were compared with that of finite difference algorithm and showed that the result of algorithm agreed with that of the finite difference algorithm, analytical solution and experimental data. The algorithm can be used to solve coupled heat and moisture transfer model in porous media. The change of the time step has slight effects on results and increasing time step would reduce the calculating time .

Key words:coupled heat and moisture transfer; time domain analysis; the sizes of time step

通信作者郭興國()，男，博士，(E-mail)guoxingguo20032003@aliyun.com。

作者簡介：張景欣(1990-)，女，主要從事建筑能耗評估及模擬研究，(E-mail)zhangjingxin90@163.com。

基金項目：國家自然科學基金(51208247、51408294、51078127)

收稿日期：2015-07-18

中圖分類號：TU111.19

文獻標志碼：A

文章編號：1674-4764(2015)06-0147-06

doi:10.11835/j.issn.1674-4764.2015.06.020