信號(hào)交叉口交通流的數(shù)值仿真

吳 中，馬 樂(lè)，徐 琴，蘇治北

(河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇南京210098)*

0 引言

隨著汽車(chē)數(shù)量迅速增長(zhǎng)，城市路網(wǎng)受到越來(lái)越越大的挑戰(zhàn).交叉口作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，在路網(wǎng)中起著使交通流四通八達(dá)、交流互通的重要作用.城市交叉口大多受信號(hào)燈控制，綠燈相位內(nèi)，交叉口相應(yīng)方向的車(chē)流可順利通過(guò);黃燈開(kāi)始時(shí)，車(chē)輛禁止進(jìn)入交叉口(已越過(guò)停車(chē)線的車(chē)輛可以繼續(xù)前進(jìn));在其后的紅燈時(shí)間內(nèi)，到達(dá)的車(chē)輛只能在交叉口前排隊(duì)等候.平面交叉口是各方向車(chē)流分時(shí)共用空間的通道，因此交叉口也有制約、中斷連續(xù)交通流的作用.信號(hào)燈周期性運(yùn)行，各種相位或狀態(tài)重復(fù)出現(xiàn)，城市道路車(chē)流狀態(tài)的周期性表現(xiàn)出不同于高速公路和鄉(xiāng)村公路的特征.

目前，城市交通流的準(zhǔn)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)與推算、車(chē)輛排放的估計(jì)受到高度關(guān)注，交叉口交通流的計(jì)算方法不可或缺.只考慮連續(xù)特性的交通流方程，一般不涉及交通信號(hào)對(duì)交通流的影響，也難以較好描述車(chē)輛在交叉口附近減速、怠速、起動(dòng)等行為.單純的類流體宏觀交通流方程很難全面刻畫(huà)城市交叉口交通流特性.

1 交通流理論的選擇

交通流理論發(fā)展迅速，公認(rèn)的原創(chuàng)代表性成果有 Lighthill、Whitham［1］以及 Richards［2］提出的LWR 模型，Daganzo［3］對(duì)簡(jiǎn)單仿照流體動(dòng)力學(xué)的密度梯度模型進(jìn)行批判，提出的速度梯度模型，以及多人從微觀角度提出的描述車(chē)隊(duì)中車(chē)輛跟馳行為理論.1997年，嚴(yán)寶杰［4］利用前后車(chē)的相關(guān)關(guān)系確定車(chē)輛坐標(biāo)位置，編制了信號(hào)交叉口車(chē)流運(yùn)行模擬程序，模擬實(shí)現(xiàn)了信號(hào)交叉口交通流運(yùn)行全過(guò)程在計(jì)算機(jī)屏幕上的再現(xiàn)，其交通理論基礎(chǔ)是跟馳模型理論.2012年，陳玉峰［5］基于類流體的動(dòng)力學(xué)方程和守恒定律，采用離散網(wǎng)格法用C++在Linux平臺(tái)上編寫(xiě)交通流微觀仿真程序，建立了交通流數(shù)值計(jì)算仿真平臺(tái).他們?cè)诮徊婵诮煌饔?jì)算上進(jìn)行了有益的探索，促進(jìn)了交叉口交通流仿真的發(fā)展.若考慮城市交通網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜(交叉口多)、交叉口信號(hào)相位多、交通流周期性中斷、車(chē)流速度受多種條件約束，交叉口交通流數(shù)值模型應(yīng)滿足計(jì)算量小、計(jì)算速度快且易表達(dá)路況及外界條件改變對(duì)交通流影響的要求.一般而言，包括元胞自動(dòng)機(jī)和多智能體模型方法，基于跟馳理論的交叉口模型，無(wú)論是采用等時(shí)推進(jìn)或事件驅(qū)動(dòng)的離散仿真方法，當(dāng)車(chē)輛和網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大時(shí)，計(jì)算量明顯過(guò)大，并且還要考慮車(chē)輛換道行為.道路狀況對(duì)車(chē)流速度的影響只能融入跟馳模型或計(jì)算推理規(guī)則中，不同外界條件要有不同的模型與規(guī)則;基于速度梯度的動(dòng)力模型可以用差分方法求解，動(dòng)力方程描述了車(chē)流的速度與加速度類似流體的變化規(guī)律(車(chē)流加速度被認(rèn)為由速度梯度驅(qū)動(dòng)，水流加速度由壓強(qiáng)梯度驅(qū)動(dòng)).理論上，交通流體加速度改變除主要與速度的空間梯度有關(guān)外，還與平衡速度和反應(yīng)滯后時(shí)間有關(guān)，外界與路況影響速度的因素主要反映在速度梯度項(xiàng)的系數(shù)上，也與平衡速度和滯后時(shí)間相關(guān)，有的類似方程還給出附加項(xiàng);與速度梯度方程相比，LWR模型更加簡(jiǎn)單，只需列出車(chē)輛守恒(也稱流體對(duì)流)方程.城市道路交通流特征、道路交通控制、路況影響因素等都可由交通流基本圖表達(dá).基本圖包含的信息量多于動(dòng)力方程中的平衡速度與滯后時(shí)間.雖然LWR不是嚴(yán)格意義上的動(dòng)態(tài)模型，但空間與時(shí)間上的差分求解方法可以賦予它足夠精度的動(dòng)態(tài)特性.

本文基于差分方法、利用LWR模型和基本圖進(jìn)行交叉口交通流計(jì)算仿真，不需考慮車(chē)輛換道、跟馳等微觀因素，也不必標(biāo)定方程速度梯度項(xiàng)系數(shù)與平衡速度等，具有計(jì)算快捷，基本圖描述交通流方便簡(jiǎn)單、易于標(biāo)定的特點(diǎn)［6］.

2 交通流模型建立

將交通流比擬為連續(xù)介質(zhì)，交通流滿足車(chē)輛數(shù)量守恒方程:

式(1)包含兩個(gè)未知量k與q，k表示密度，q表示流量，需要與交通流基本圖聯(lián)立求解.為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文采用適于城市道路交通流的三角形基本圖，如圖1.

圖1 交通流三角形基本圖

圖1表達(dá)了下列交通流基本規(guī)律:

若i表示道路空間坐標(biāo)，n表示時(shí)間坐標(biāo)，式

(1)空間中心差分、時(shí)間前差的離散方程為:

為確保方程計(jì)算的穩(wěn)定性，在空間上對(duì)kni進(jìn)行替代，n+1時(shí)間層kni+1表示為:

式(3)、(4)具有空間二階、時(shí)間一階精度，能夠滿足交通流計(jì)算的要求.n+1時(shí)間層的流量可依據(jù)式(2)給出離散式:

由基本關(guān)系求出速度:

離散方程(4)～(6)共同構(gòu)成交通流基本模型.

3 考慮信號(hào)燈的交叉口交通流模型

信號(hào)燈交叉口模型重點(diǎn)與難點(diǎn)在于信號(hào)燈相位變化與交叉口路權(quán)變換在模型中的表達(dá).不失一般性，以兩單行道A與B及其它們的交叉口為例進(jìn)行說(shuō)明.

A與B道路分別進(jìn)行網(wǎng)格等分剖分，重合的交叉口區(qū)域各自劃分.以A道路為例，車(chē)輛進(jìn)入端第一個(gè)單元即圖2中的a單元設(shè)為駛?cè)虢o定邊界，進(jìn)入A道路車(chē)輛數(shù)由外界依時(shí)給定.圖2中，b單元為駛?cè)脒吔缦掠蔚谝粋€(gè)單元，c、d單元為交叉口上游停車(chē)線前倒數(shù)第二第一單元，e單元為交叉口區(qū)域停車(chē)線后的第一個(gè)單元，f到g是交叉口區(qū)域其它單元，車(chē)輛離開(kāi)端最后一個(gè)單元i設(shè)為駛離邊界，可設(shè)定暢通式無(wú)反射波的開(kāi)邊界，也可根據(jù)實(shí)際情況設(shè)為駛離給定邊界.B路的網(wǎng)格劃分同A路.

圖2 道路網(wǎng)格劃分圖

數(shù)值模型中信號(hào)燈相位周期由特定交叉口相位數(shù)組指示，數(shù)組長(zhǎng)度為仿真時(shí)間步數(shù)，交叉口信號(hào)燈共有四種狀態(tài)如圖3，每個(gè)時(shí)間步都由數(shù)組指明信號(hào)燈狀態(tài).狀態(tài)值tpd=0，對(duì)應(yīng)A路的綠燈和B路的紅燈燈;tpd=1，對(duì)應(yīng)A路的黃燈和B路的紅燈;tpd=2，對(duì)應(yīng)B路的綠燈和A路的紅燈;tpd=3，對(duì)應(yīng)B路的黃燈和A路的紅燈.

圖3 交叉口相位示意圖

事實(shí)上，每條道路交叉口只有綠燈、黃燈與紅燈三種狀態(tài)，分別對(duì)三種狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算.

A路綠燈時(shí)將道路分為三個(gè)部分計(jì)算:第一部分是給定的駛?cè)脒吔缰担瑘D2中的a單元;第二部分是駛?cè)脒吔缦掠蔚谝粏卧榴傠x邊界上游一個(gè)單元，b到h之間的單元，按式(4)計(jì)算;第三部分是駛離邊界i單元，無(wú)反射開(kāi)邊界計(jì)算.

黃燈時(shí)將道路分為六個(gè)部分計(jì)算:第一部分是給定的駛?cè)脒吔缰?第二部分是駛?cè)脒吔缦掠蔚谝粏卧两徊婵谏嫌吻皟蓚€(gè)單元，即b到c之間的單元，按式(4)計(jì)算;第三部分是交叉口上游一個(gè)單元d，考慮停車(chē)線上游的車(chē)輛不能進(jìn)入交叉口區(qū)域，密度按黃紅燈前邊界條件式(8)計(jì)算.

第四部分是交叉口區(qū)域第一個(gè)單元e，考慮上一個(gè)單元格車(chē)輛不進(jìn)入交叉口，密度按黃紅燈后邊界條件式(9)計(jì)算.

第五部分是交叉口區(qū)域第二個(gè)單元到駛離邊界上游一個(gè)單元，即f到h之間的單元，按式(4)計(jì)算;最后一部分是駛離邊界i，按式(7)計(jì)算.

紅燈時(shí)將道路分為五個(gè)部分計(jì)算:第一部分、第二部分、第三部分和第五部分和黃燈時(shí)計(jì)算相同;第四部分從交叉口區(qū)域到駛離邊界上游一個(gè)單元，e到h之間的單元，按式(4)計(jì)算.

交叉口區(qū)域計(jì)算中暫未考慮上一相位交叉口發(fā)生擁堵、較多車(chē)輛滯留交叉口區(qū)域影響本相位車(chē)流前進(jìn)的情況.

B路計(jì)算原理與A路相同，A、B兩路只要根據(jù)交叉口紅綠燈變化在時(shí)間上組合即可完成考慮信號(hào)燈影響的交叉口交通流數(shù)值模型建立與計(jì)算，其算法流程如圖4所示.

圖4 算法流程圖

4 算例

以A和B單向道路為算例，A路取1 km，B路取1.2 km，兩條路每10 m一個(gè)等間距網(wǎng)格單元，選Δx=10 m，模擬時(shí)長(zhǎng)為3 960 s，時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=0.1 s，暢行速度為 50 km/h，阻塞密度取160pcu/km，臨界密度取60 pcu/km.信號(hào)周期如下:0～30 s，A路綠燈B路紅燈;31～33 s，A路黃燈B路紅燈;34～63 s，B路綠燈A路紅燈;64～66s，B路黃燈A路紅燈.

初始密度:kp0=40 pcu/km

時(shí)變給定駛?cè)脒吔纾側(cè)敕逯荡笥趒m:

A路40+22sin(πt/1600+π/2)

B路40+22sin(πt/1600+π/4)

駛出邊界:開(kāi)邊界沒(méi)有計(jì)算域外反射交通波傳入.

圖5是A路、B路停車(chē)線上游第一個(gè)單元d與d'密度時(shí)間圖.A、B路d與d'單元在遇到黃紅燈時(shí)密度增大到最大值;綠燈時(shí)間推移，單元格密度逐步減小，表達(dá)了交叉口中斷交通的特征.

5 A、B路停車(chē)線上游第一個(gè)單元d與d'密度時(shí)間圖

圖6對(duì)應(yīng)圖5的流量，與密度有很好的對(duì)應(yīng)關(guān)系.綠燈中流量逐步增加和黃燈下流量突然減至為0的曲線，描述了真實(shí)的情況.

6 A、B路停車(chē)線上游第一個(gè)單元d與d'流量時(shí)間圖

圖7是A路、B路交叉口區(qū)域第一個(gè)單元e與e'密度時(shí)間圖.當(dāng)上游不再來(lái)車(chē)，則e與e'單元的密度減小;綠燈內(nèi)密度增大，反映特性合理可信.

圖7 A、B路交叉口區(qū)域第一個(gè)單元e與e'密度時(shí)間圖

圖8 A、B路交叉口區(qū)域第一個(gè)單元e與e'流量時(shí)間圖

圖8對(duì)應(yīng)圖7的流量，與密度有很好的對(duì)應(yīng)關(guān)系.上游不再來(lái)車(chē)時(shí)，下游流量減小，綠燈內(nèi)流量增大.

由于黃紅燈前后邊界條件所描述的周期性中斷交通流，交通流突然中止，使得其交通波產(chǎn)生截?cái)唷拔膊ā保@是由數(shù)據(jù)計(jì)算帶來(lái)的誤差.事實(shí)上，當(dāng)黃燈亮前3～5 s，上游趕不上綠燈相位，越過(guò)停車(chē)線的上游車(chē)流已經(jīng)開(kāi)始減速，其對(duì)應(yīng)的基本圖也受到速度與流量的限制，使真實(shí)交通流的“尾波”現(xiàn)象大為緩沖.通過(guò)在黃燈前短時(shí)間內(nèi)設(shè)定速度受限的基本圖可以清除“尾波”如圖9，A路停車(chē)線上游第一個(gè)單元d和交叉口區(qū)域第一個(gè)單元e的密度時(shí)間圖.

圖9 A路停車(chē)線上游第一個(gè)單元d和交叉口區(qū)域第一個(gè)單元e的流量時(shí)間圖

考慮修正黃紅燈上下游邊界黃燈前短時(shí)間交通流，計(jì)算得到算例的交通流時(shí)空?qǐng)D見(jiàn)下圖，縱坐標(biāo)是仿真時(shí)間，橫坐標(biāo)是仿真空間，圖10～13分別表達(dá)了在周期性車(chē)流輸入的條件下，A、B兩條道路各處在3 960 s內(nèi)的交通流參數(shù).

圖10 A路密度時(shí)空?qǐng)D

圖11 A路流量時(shí)空?qǐng)D

圖12 B路密度時(shí)空?qǐng)D

圖13 B路流量時(shí)空?qǐng)D

5 結(jié)論

通過(guò)本文算例表明，LWR結(jié)合基本圖模型完全可以仿真交叉口的間斷交通流，它可以表達(dá)出車(chē)輛在信號(hào)燈控制下周期性中斷的宏觀特性;所建立的交叉口模型的路段需要根據(jù)紅綠燈狀態(tài)分段計(jì)算，數(shù)值模型中除了要設(shè)定常規(guī)的駛?cè)脒吔绾婉傠x邊界外，還要在特定單元設(shè)立黃紅燈前邊界與黃紅燈后邊界，這是交叉口模型特有邊界條件，也是將連續(xù)交通流方程應(yīng)用到間斷交通流中的關(guān)鍵銜接技術(shù);在特定時(shí)段黃紅燈前后邊界可以改變基本圖去限制流速，模擬車(chē)輛在停車(chē)線前信號(hào)轉(zhuǎn)變前短時(shí)減速的現(xiàn)象，以緩解或消除交通流突然中斷所帶來(lái)的“尾波”，基于基本圖能夠匹配到每一個(gè)單元;LWR結(jié)合基本圖模型適應(yīng)性廣，基本圖可由現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查或經(jīng)驗(yàn)推斷獲得，與城市道路實(shí)時(shí)傳感網(wǎng)結(jié)合，可為城市實(shí)時(shí)或準(zhǔn)實(shí)時(shí)交通網(wǎng)絡(luò)流量推算與估計(jì)提供一種簡(jiǎn)單、快速、適應(yīng)力強(qiáng)的方法.

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