欠驅(qū)動水面機器人的有限時間鎮(zhèn)定控制

（廣東海洋大學寸金學院，廣東 湛江 524094）

水面機器人也叫水面無人艇（unmaned surface vessel,USV），是一種在海洋或湖泊中能自主航行，并能完成指定任務(wù)的小型水面船舶。由于無人水面機器人在情報搜集、偵查、氣象探測、搜救等方面具有突出的優(yōu)勢，成為各國競向發(fā)展的新裝備。

由于水面機器人在橫向上不具有驅(qū)動機構(gòu)，故被稱為欠驅(qū)動船舶，這種特性再加上海洋環(huán)境不確定性的影響，使得這種機構(gòu)的動力學系統(tǒng)具有強非線性、耦合性和各不確定性的動態(tài)特性，從而造成控制器的設(shè)計和分析更為復(fù)雜。針對水面機器人的控制問題，許多學者做了大量研究，如Ghommam J等人[1]提出了一種非連續(xù)反饋控制方法解決了無人艇的控制問題，而廖煜雷等人[2]則提出了一種時變光滑的鎮(zhèn)定控制律。Ma Baoli等人[3]設(shè)計了一種指數(shù)穩(wěn)定的變切換控制律。劉楊等人[4]提出了一種非連續(xù)變參數(shù)鎮(zhèn)定控制器。Frdric M等人[5]實現(xiàn)了全局一致性漸近鎮(zhèn)定控制。孟威等人[6]利用滑模變結(jié)構(gòu)理論，提出了一種非線性的滑模軌跡跟蹤控制策略。最近，萬磊等人[7]針對非完全對稱欠驅(qū)動的無人艇，設(shè)計了一種全局漸近鎮(zhèn)定的控制器。這些研究成果均保證了系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，但是，至今未見到有限時間穩(wěn)定的水面機器人控制器的研究成果。

有限時間穩(wěn)定[8]是指系統(tǒng)的狀態(tài)能在有限的時間內(nèi)到達平衡點，具有比傳統(tǒng)的漸近收斂更好的動態(tài)特性和更強的魯棒性，因而，有限時間鎮(zhèn)定控制作為一種新的非線性控制方法得到學者的廣泛關(guān)注，從而取得了一系列的研究成果，如文獻[9-11]等。本文針對欠驅(qū)動水面機器人的復(fù)雜性特點，研究提出了一種有限時間收斂的控制器，從而獲得了更好的控制性能。

1 非完全對稱水面機器人模型

1.1 運動學與動力學模型

考慮水面機器人在縱蕩、橫蕩和艏搖三個方向上運動的運動學模型[7]

式中：η = [x，y，φ]T，x為縱蕩位移，y為橫蕩位移，φ為艏搖角度，參考方向為正北，R（φ）為艏搖的旋轉(zhuǎn)矩陣，定義為

ν=[u，ν，r]T，u為縱蕩速度，ν為橫蕩速度，r為艏搖角速度。水面機器人水平面非線性動力學模型[5]為

式中，τ為控制力，由于該水面機器人為無欠驅(qū)動系統(tǒng)，因此只考慮縱蕩方向和艏搖方向兩個控制輸入，即 τ＝ [τu，0，τr]T，M（ν）為慣性系統(tǒng)矩陣，且

C（ν）為科氏力和向心力矩陣，且

其中，c13=-c31＝ -m22ν- （m23+m32）r/2；c23=-c32=m11u；D（ν）為阻尼系數(shù)矩陣，且

實際上，由于水面機器人系統(tǒng)的非對角線元素不全為零，使得對系統(tǒng)的分析和控制器設(shè)計變得異常困難，為此，本文利用文獻[7]中的兩次全局微分同胚變換，得到如下形式的級聯(lián)系統(tǒng)：

1.2 有限時間穩(wěn)定性定理

判別系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性的有限時間Lyapunov穩(wěn)定性理論及相關(guān)概念如下：

定義1有限時間控制：考慮非線性系統(tǒng)

其中，f：Rn×m→Rn是連續(xù)的。如果存在一個連續(xù)反饋控制律u＝ 準（x），其中 準（0）=0，使得閉環(huán)系統(tǒng)的原點x=0是（局部）有限時間穩(wěn)定的平衡點，則閉環(huán)系統(tǒng)x觶＝f（x，準（x））是有限時間穩(wěn)定的，此反饋控制律u＝準（x）被稱為有限時間穩(wěn)定性控制器。

引理1[8]針對非線性系統(tǒng)（4），如果存在一個定義在原點鄰域U奐Rn上的函數(shù)V（x），并且V（x）是C1光滑的，且存在實數(shù)0<μ<1和d>0，使得下列條件成立：

（1）V（x）在U上是正定的；

（2）V觶（x）+dVμ（x）≤0，坌x綴U坌坌0

則系統(tǒng)（4）是局部有時間穩(wěn)定的。在初始狀態(tài)x（0）=x0下的停息時間估計為：

式中，x0為原點某一開鄰域內(nèi)的任意一點。如果U=Rn并且V（x）是正則的，則系統(tǒng)（1）是全局有限時間穩(wěn)定的。

引理 2對于任意給定的實數(shù)ai,i=1，…，n，若0<μ1<1，0<μ2<2，則以下不等式成立:

定義如下的 Sig(·)α向量：

其中x=[x1，…，xn]T綴Rn，0< α <1,sgn(·)是標準的符號函數(shù)。

2 有限時間鎮(zhèn)定器設(shè)計

考慮系統(tǒng)（3）的兩個子系統(tǒng)

為設(shè)計輸入量f1，引入虛擬輸入σ，則系統(tǒng)（9）就化為：

選擇如下的Lyapunov函數(shù)

對上式求導(dǎo)，并結(jié)合式（11）可得

若選擇如下的控制律

將式（14）代入式（13），有

為保證z2的有限時間收斂，選擇如下的虛擬輸入量：

為設(shè)計控制輸入f2，定義誤差變量s=z6-σ，則，z6=s+σ將式（3）表示為如下形式：

選擇如下Lyapunov函數(shù)

對式（18）求導(dǎo)可得：

因此，設(shè)計控制律為

則有

實際上，V2≤-lV2≤0意味著V2是有界的，因此，z2,z3,z4和s是一致有界的。證畢。

3 仿真

為說明本文算法的有效性，對上述控制律進行機器人鎮(zhèn)定控制仿真實驗，模型參數(shù)[7]為：m11=1.127，m22=1.890 2，m33=0.127 8，m23=m32=-0.074，d11＝0.035 8，d22=0.118 3，d33=0.030 8，d23=-0.012 4，d32=-0.004，機器人初始狀態(tài)為：x(0)=-1m，y(0)=-1m，φ(0)=/2，u(0)=0，ν(0)=0，r(0)=0，可計算出對應(yīng)微分同胚變換的初始狀態(tài)為：z1(0)=-1.039 2，z2(0)=0.857 7，z3(0)=1.570 8，z4(0)=1.039 2，z5(0)=0，z6(0)=0。控制參數(shù)選擇為：k2=2，k3=1，k4=1.5，k6=1.5，λ=sin(t)，α=0.8。仿真結(jié)果如圖1、圖2所示，從圖中容易看出，原系統(tǒng)和變換后的系統(tǒng)狀態(tài)變量都是有限時間收斂的，從而說明了本文方法的有效性。

圖1變換后系統(tǒng)變量的收斂響應(yīng)曲線

圖2原系統(tǒng)變量的收斂響應(yīng)曲線

4 結(jié)束語

針對欠驅(qū)動水面機器人的特性，采用全局微分同胚變換方法和有限時間穩(wěn)定性定理設(shè)計的有限時間鎮(zhèn)定器，一方面提高了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，另一方面也確保了系統(tǒng)的有限時間收斂特性，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。理論分析和仿真實驗表明了該方法的有效性和可行性。

[1]Ghommam J，Mnif F，Benali A，et al.Asymptotic backstepping stabilization of an underactuated surface vessel[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2006，14(6):1150-1157.

[2]廖煜雷，龐永杰，張鐵棟．欠驅(qū)動自治水面船的全局k-指數(shù)鎮(zhèn)定控制方法[J]．哈爾濱工程大學學報，2011，32(4):417-422.

[3]Ma Baoli.Global k-exponential asymptotic stabilization of underactuated surface vessels[J].systems&Control Letters，2009，58:191-201.

[4]劉 楊，郭 晨，劉 雨.欠驅(qū)動船舶運動的非連續(xù)變參數(shù)鎮(zhèn)定控制[J].大連海事大學學報，2009，35(1):9-12.

[5]Frdric M，Kristin P，Henk N.Global uniform asymptotic stabilization of an underactuated surface vessel[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(10):1759-1762.

[6]孟 威，郭 晨，孫富春，劉 楊，等.欠驅(qū)動水面船舶的非線性滑模軌跡跟蹤控制[J].哈爾濱工程大學學報，2012，33(5):585-589.

[7]萬 磊，董早鵬，李岳明，何 斌，等.非完全對稱欠驅(qū)動無人艇全局漸近鎮(zhèn)定控制[J].華中科技大學學報：自然科學版，2014，42(8):48-53.

[8]Bhat SP，Bernstein D S.Finite-time stability of homogeneous systems [C]. Proceedings of the American Control Conference，1997:2513-2514.

[9 Bhat S P，Bernstein D S.Finite-time stability of continuous autonomous systems[J].SIAM Journal on Control and Optimization，2000，38(3):751-766.

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[11]Feng Y，Yu X，Man Z.Non-singular terminal slidingmode control of rigid manipulators[J].Automatica，2002，38(12):2159-2167.