基于粒子群算法的電帆軌跡優化設計

王昱魏延明李永于洋邊炳秀，2（北京控制工程研究所，北京 00080） （2中國空間技術研究院通信衛星事業部，北京 00094）

基于粒子群算法的電帆軌跡優化設計

王昱1魏延明1李永1于洋1邊炳秀1，2
（1北京控制工程研究所，北京 100080） （2中國空間技術研究院通信衛星事業部，北京 100094）

電帆是一種利用太陽風動量的新穎的無工質空間推進系統，文章研究了以電帆為對象的行星際轉移軌跡優化問題。以地球軌道轉移到火星、金星軌道為任務對象，采用連續推力模型，研究極坐標系下最小時間轉移軌跡優化設計問題。提出了兩種基于粒子群算法（PSO）的直接優化方法，避免對協態變量初值敏感的兩點邊值問題（TPBVP）求解。方法一是通過打靶法直接離散化控制量輸入，將最優控制問題轉化為非線性規劃參數優化問題，采用PSO算法尋優，獲得近似最優的轉移軌跡。方法二是針對任何連續控制律曲線都能以一定精度的多項式函數進行曲線擬合的特性，設計逼近最優轉移軌跡控制律的多項式函數，通過PSO算法優化多項式函數參數獲得逼近最優解的轉移軌跡。仿真結果表明采用上述兩種方法進行轉移軌跡優化設計，具有隨機猜測初值、全局收斂、魯棒性強的特點。

電帆；軌跡優化；粒子群算法；星際探測

1 引言

電帆是近年來提出的一種全新的無工質推進技術［1－2］；系統主要由一定數量的細長導線離心展開構成。電帆中心的離子槍向外發射電子，使導線保持較高的電勢，從而在導線周圍產生很強的電勢結構，形成一個虛擬帆面。使太陽風中的質子發生偏轉，通過動量交換的方式使航天器獲得推力，具體組成原理如圖1所示。電帆能以無推進劑損耗的方式進行空間旅行，因此，它能實現目前所有的空間行星際軌道轉移，甚至飛出太陽系進行全新的科學探測。相比另一種無工質推進方式——太陽帆［3］，兩者表現方式十分類似，但是電帆由于其虛擬帆面的結構組成特性，能極大地減少系統質量，增大電帆航天器的加速度。同時，由于工作機理的不同，電帆產生的推力隨著距離太陽的增加以的速度衰減，而太陽帆推力以減小。因此，在深空探測和星際航行等航天領域，電帆將具有廣闊的應用前景。

目前，國內外針對電帆的研究工作開展較少。文獻［4］首先研究了使用電帆逃離太陽系的任務，通過使電帆先向太陽系內部轉移獲取較大的速度，然后以雙曲線軌道逃離太陽系。在上述基礎上，文獻［5］研究了利用電帆實現兩個日心圓軌道之間的最小時間轉移問題，文獻［6］研究了利用電帆向太陽系內危險小行星轉移軌跡問題。

圖1 電帆組成原理Fig.1 Conceptual sketch of an electric sail

針對電帆轉移軌跡優化問題，現有文獻［4－7］多采用間接法，通過Pontryagin極大值原理，獲得一階必要條件，合理猜測協態變量初值，求解兩點邊值問題來獲得最優軌跡。該方法對初值具有很強的依賴性與敏感性，不合理的初值猜測往往收斂不到最優解。目前，國內少有關于電帆軌跡優化方面的研究，文獻［8］中采用高斯偽譜法和序列二次規劃（SQP）法求解電帆最優軌跡，克服了對協態變量初值敏感的問題。但是，偽譜法同時離散控制變量與狀態變量，為獲得滿足高精度動力學方程約束時需選取大量配點，設計變量將變得十分龐大，且不當的初值選取會使問題收斂不到可行解。本文提出了兩種基于粒子群算法的直接求解最優軌跡方法，采用直接打靶法僅離散控制變量。該方法不僅避免對初值敏感的協態變量的猜測，而且設計變量數目較少，具有隨機猜測初值、全局收斂和魯棒性強的特點。

方法一：本文通過打靶法直接離散控制變量，將連續的最優控制問題轉化為非線性規劃的參數優化問題，為保證控制量的連續性，在離散后的控制量節點間采用線性插值，通過粒子群算法（PSO）優化各節點處的離散控制量，獲得近優轉移軌跡。方法二：任何連續的最優控制律都能在一定精度下，采用多項式函數進行曲線擬合。針對上述特性，如果在軌跡設計時具有一定的先驗知識，能夠得到大致的控制律曲線，就能選用合適的算法優化該控制律參數，使其逼近最優控制律曲線。而實際中，對于一個未知的任務對象，通常具有較少的先驗知識，很難直接獲得控制律的多項式函數。本文在方法一獲得的近優控制律的基礎上結合理論分析，設計待優化的控制律多項式函數，通過約束處理，采用PSO算法對多項式函數參數進行優化，最終獲取逼近全局最優的控制律曲線。

為驗證上述算法的有效性和魯棒性，本文以從地球軌道出發向太陽系外部和內部飛行到火星、金星軌道為例設計最小時間轉移軌跡。

2 轉移軌跡優化問題描述

2.1 動力學模型

圖2 極坐標系和推力方向Fig.2 Reference frame and thrust angle

本文以空間共面圓軌道之間的轉移軌跡為例，在極坐標系下建立電帆航天器的轉移軌道模型（見圖2）［7］。為了提高數值計算效率和精度，引入參考距離和參考時間對電帆動力學方程進行量綱為1化處理。參考距離為一個天文單位（AU），參考時間為，式中rs為地球到太陽的距離，μs為太陽引力常數，歸一化后的動力學方程如方程組（1）所示：式中為電帆相對太陽的量綱為1距離；為電帆在極坐標系中的極角，逆時針為正，角度本身量綱為1；為電帆量綱為1的徑向速度；為電帆量綱為1的切向速度；α為推進角，即推力方向與太陽－電帆連線夾角；a為電帆特征加速度，即相對太陽距離為1AU時的加速度；τ為電帆推力開關切換函數。

2.2 性能指標選取

由于電帆是一種無工質推進系統，軌跡轉移過程中不消耗推進劑的質量，因此選取優化的性能指標為電帆航天器軌道轉移過程中的時間最小，表示為

式中 tf為軌跡轉移末端時刻；J為優化性能指標。

2.3 約束條件

（1）終端約束

為保證電帆航天器順利完成與目標軌道的交會任務，必須滿足以下終端約束條件：式中 rp為目標軌道相對太陽的距離。

（2）控制變量約束

由于電帆工作機理的特殊性，使得電帆在調整推力角的同時能改變推力的大小，即推力矢量的大小與方向是解耦的［9］。因此，本文選取推力角與推力大小作為控制變量。

在軌道轉移過程中，受帆面穩定性限制，推力角絕對值應小于αmax，Mengali通過理論分析，估計αmax在20°～35°之間，本文假設αmax＝30°。電帆推力產生的加速度大小受導線數量、長度與航天器自身質量等因素影響，根據現有技術，電帆特征加速度a能達到2mm／s2，為方便與文獻［8］中的結果進行比較，本文選取最大特征加速度為0.5mm／s2。綜上所述，電帆在軌道轉移過程中，控制變量受約束如下：

顯然，當特征加速度為0時，相當于電帆停止工作，即開關函數τ＝0；當特征加速度為0.5mm／s2時，相當于電帆以最大推力工作，即開關函數τ＝1。因此，針對電帆特殊的作用機理，選取連續推力模型比選取固定推力模型更加精確。

3 基于打靶法＋PSO算法的軌跡優化策略

本文采用直接打靶法離散控制變量將最優控制問題的求解轉化為非線性規劃的參數尋優問題，優化算法選用PSO算法。理論上，只要選取的節點足夠多，就能無限逼近連續最優控制律。而實際中，當選定的節點數較多時，給定的設計變量會變得非常多，不僅降低優化算法的計算效率，且可能收斂到局部最優解。

3.1 直接打靶法

打靶法［10］是一種僅離散控制變量的直接法，將連續的控制量參數化，把最優控制問題轉化為非線性規劃問題進行求解。本文以離散時間節點上的控制變量作為優化變量，時間節點之間的控制變量值采用分段線性插值的方式來近似，以獲得較高的精度。上述過程的數學表達為

由于打靶法只離散控制變量，電帆動力學方程采用數值積分的方式進行計算，雖然積分過程會消耗大量時間，但是更能保證所獲得結果的正確性與精度。

3.2 PSO算法

PSO［11］算法是一種基于群智能理論發展成的智能優化算法，將群體中的成員描述為空間內的一個質點，所有個體通過適配度函數來描述其與目標位置的距離。通過適配度函數選取種群中最優的粒子和每個粒子最優的位置，進而更新粒子的位置與速度信息，最終實現適配度函數收斂，智能優化目的。該算法是一種隨機搜索，全局收斂的智能算法，原理簡單，易于實現。數學描述為

式中 x表示空間粒子的位置；v表示粒子的速度，本文粒子中的參數為各離散時刻控制變量；w為慣性權重，用來調節粒子速度大小；δ1，δ2為兩個學習因子；rand1，rand2為兩個0～1之間的隨機數，用來描述種群內部信息交換的學習程度；pi表示該粒子迄今為止最優的位置；pg表示該粒子群迄今為止最優的位置；下標i表示粒子編號，下標j表示粒子維度，即指粒子向量的長度。

將PSO算法應用到軌跡優化中需要合理地把終端約束條件反應到適配度函數中。本文采用靜態罰函數法對終端約束進行處理，則適配度函數可表示成如下形式：式中 σ1，σ2，σ3，σ4為懲罰因子；rp，vp為電帆到達目標軌道時相對太陽的距離和速度。

對于轉移軌跡過程中控制量的約束，采用投影法，在PSO算法中將超出飛行區域的粒子隨機投影到限定范圍內，滿足控制量的約束。

3.3 仿真計算及結果分析

基于上述直接打靶法＋PSO算法的優化策略對電帆轉移軌跡進行仿真計算。控制量離散化參數n＝10，即待優化的參數為10個推力角α，10個特征加速度a和一個終端時刻tf，共21個參數。PSO算法中粒子個數為40，迭代次數200次，學習因子δ1＝δ2＝2.1，慣性權重為w＝1－0.003t，懲罰因子σ1＝σ2＝σ3＝1 000，σ4＝2。

圖3 地球至火星近優最小時間轉移軌道Fig.3 Near time－optimal trajectory for an Earth－Mars transfer

（1）地球到火星轉移軌跡優化

電帆從地球至火星共面圓軌道轉移軌跡量綱為1化后的初始條件為（0）＝1，（0）＝0，（0）＝0，（0）＝1。末端量綱為1化的約束條件為（tf）＝1.523 6，（tf）＝0，（tf）＝0.810 1。

根據以上參數對電帆從地球至火星最優轉移軌跡進行仿真計算，轉移軌跡精度如表1所示，結果表明本文數據較好地滿足了終端約束條件，到達預定軌道時剩余速度約為3.6m／s，總的軌道轉移時間為505.22天，相比文獻［7］中只增加了3天。電帆從地球至火星的近優最小時間轉移軌跡如圖3所示。轉移軌跡過程中，相對太陽的距離、速度、特征加速度和推力角隨時間變化曲線如圖4所示。

表1 （地球—火星）狀態量終端約束情況Tab.1 （Earth－Mars）values of state variables and terminal constraints

從圖4可以看出，電帆在軌跡轉移全程中都使用最大的推力進行工作，即特征加速度最大（數值為0.5mm／s2）。因為電帆是無工質推進系統，在不考慮能量最優的情況下，這一結論符合實際的工作原理。整個軌道轉移過程中的推進角變化平滑，易于控制操作，平均帆面姿態改變小于1（°）／d，對姿態控制要求較低，說明這個近優轉移軌跡是可實現的。另外，轉移軌跡過程中距離和速度兩個狀態量變化平滑，飛行過程中數值不發生突變，能很好地收斂到終端約束值，表明該電帆近優轉移軌跡能精確地從地球軌道轉移到火星軌道。

圖4 直接法＋PSO優化的地球－火星轉移軌跡中狀態及控制量變化曲線Fig.4 Time history of state variables and control using direct method plus PSO optimization

（2）地球到金星轉移軌跡優化

表2 （地球－金星）狀態量終端約束情況Tab.2 （Earth－Venus）values of state variables and terminal constraints

結果表明地球至金星最小轉移時間為279.65天，且滿足終端約束精度較高，到達金星軌道時航天器剩余速度小于10m／s。在整個轉移過程中距離及速度各狀態量變化平滑，表明該電帆近優轉移軌跡能精確地從地球軌道轉移到金星軌道。

圖5 直接法＋PSO優化的地球－金星轉移軌跡中狀態及控制量變化曲線Fig.5 Time history of state variables and control using direct method plus PSO optimization

4 控制律設計＋PSO算法的軌跡優化策略

通過對地球到火星的軌道轉移任務進行分析，可以知道當航天器遠離初始軌道，向外飛行時，一種最小時間控制方式為：首先使推力方向沿著航天器運動方向，最大程度地增大軌道半徑，同時使離心率增加，然后在某一時刻改變推力的方向，使軌道半徑和離心率滿足目標軌道要求。

然而通過上述簡單的理論分析，依舊無法得到具體的控制律函數。因此，本文對直接打靶法＋PSO算法優化策略所得結果進行分析，發現維持該最優軌跡的推力角控制律曲線大致可以用三段二階多項式函數來近似描述，而特征加速度為常值（0.5mm／s2）。因此，設計三段二階多項式函數來逼近該最優推力角控制律，其數學描述為

式中 ai，bi，ci（i＝1，2，3）分別為多項式參數。

4.1 約束處理

通過對多項式函數性質的分析、電帆推力角的限制及各段控制律曲線的連接條件，為保證電帆航天器順利完成與目標軌道的交會對接任務，本文選取的三段二階多項式函數應分別滿足如下約束條件，為使篇幅簡潔，此處只給出地球－火星轉移軌跡約束處理。

第一段多項式函數約束：

第二段多項式函數約束：

第三段多項式函數約束：

4.2 仿真計算與結果分析

對滿足上述約束條件的多項式函數用PSO算法進行參數優化，因此一共需要優化9個多項式系數及3個時間節點，共12個參數。選用式（7）作為適配度函數，適配度函數中的懲罰因子與PSO算法中的參數采用與前面仿真計算相同的參數。電帆航天器地球－火星的轉移軌跡精度如表1所示，地球－金星的轉移軌跡精度如表2所示。地球—火星最優轉移軌跡的距離、速度和推力角隨時間的變化曲線如圖6所示。

圖6 控制律設計＋PSO優化的地球－金星轉移軌跡中狀態及控制量變化曲線Fig.6 Time history of state variables and control using control law design plus PSO optimization

由仿真結果可以看出，采用控制律設計＋PSO算法優化策略設計的轉移軌道，地球至火星的最小轉移時間為502.86天，與文獻［7］中的結果相同。地球－金星最小轉移時間為278.6天。能更好地滿足終端約束條件，距離與速度狀態量的終端相對誤差均為10－6，表明該電帆最優軌跡能精確地從地球軌道轉移到火星、金星軌道，這種軌跡優化策略能極大程度上逼近最優控制律曲線。從圖6中可以看出，整個軌跡轉移過程中控制量及狀態量均變化平滑，數值無明顯突變，表明該最優軌跡具有良好的實現能力。

5 結束語

電帆航天器的轉移軌道優化設計對深空探測及星際航行具有重要的意義。本文針對上述問題提出了兩種原理簡單、隨機猜測初值、魯棒性強的最優軌跡設計策略。方法一是采用直接法離散控制變量，將最優控制問題轉化為非線性規劃參數優化問題，并通過PSO算法求解。方法二是一種新穎的軌跡優化設計思路，通過對任務對象進行分析，設計一種控制律函數，然后對該控制律函數的參數進行優化，獲得逼近實際最優的連續控制律函數。兩種算法均具有隨機猜測初值、全局收斂的特性，且針對不同任務對象具有良好的計算精度，魯棒性強。仿真結果表明，采用本文提出的兩種最優軌跡設計策略，能很好地滿足終端條件的約束，且最終軌跡轉移時間接近最小時間。

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Trajectory Optimization of Electric Sail Based on Particle Swarm Algorithm

WANG Yu1WEI Yanming1LI Yong1YU Yang1BIAN Bingxiu1，2
（1Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100080）
（2Institute of Telecommunication Satellite，China Academy of Space Technology，Beijing 100094）

The electric sail is an innovative non－propellant propulsion in space which takes advantage of the momentum of the solar wind.The minimum－time interplanetary transfer problem of the electric sail was studied.The mission scenarios about transferring from the Earth to the Mars and Venus were investigated，using a continuous steering law model，in a polar inertial frame.Two direct methods based on the particle swarm optimization（PSO）algorithm were proposed，which avoided solving the two point boundary value problem （TPBVP）which was sensitive to the initial value of the costate variables.The first method used the shooting method to discretized the control variables，transforming the optimal control problem into a parameter optimization problem of nonlinear propramming.Based on the PSO algorithm，the near optimal transfer trajectory was obtained.The second method focused on the characteristics that all the continuous control laws can be fitted using the polynomial function under certain precision.A control law was designed to approximate the optimal transfer trajectory based on the analysis of the results from the first method，and the PSO algorithm was used to optimize the parameters of the designed control law.The simulation results show that both methods have the advantages of the random initial variable selection，large convergence range and good robustness.

Electric sail；Trajectory optimization；Particle swarm algorithm；Interplanetary exploration

10.3780／j.issn.1000－758X.2015.03.004

王 昱 1986年生，2012年獲北京工業大學化學工程專業碩士學位，現為中國空間技術研究院控制理論與控制工程專業博士研究生。研究方向為航天器軌道設計及姿態控制。

（編輯：楊嬋）

2014－08－11。收修改稿日期：2015－01－20。