人字齒行星齒輪傳動系統振動特性研究

沈稼耕，陸鳳霞，鮑和云，劉歡，張霖霖

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京，210016)

?

人字齒行星齒輪傳動系統振動特性研究

沈稼耕，陸鳳霞，鮑和云，劉歡，張霖霖

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京，210016)

摘要：通過對人字齒行星齒輪傳動系統多重嚙合間相位關系的分析，給出了考慮嚙合相位的時變嚙合剛度計算公式。考慮誤差激勵和時變嚙合剛度激勵，在行星架隨動坐標系中建立了人字齒行星齒輪傳動系統的平移-扭轉耦合動力學模型。針對兩組不同嚙合相位的行星齒輪傳動系統，采用傅里葉級數法求解其動力學模型，得到頻域解和時域解，且分析嚙合相位對人字齒行星齒輪系統振動特性的影響。

關鍵詞：嚙合相位； 行星齒輪； 人字齒； 振動特性

0前言

行星齒輪傳動與普通定軸齒輪傳動相比，具有結構緊湊、傳遞功率大和承載能力強等優點，廣泛應用于航空、航天、艦船以及其他領域。由于行星齒輪結構復雜，振動與噪聲問題突出，對以減振降噪為主要目的行星齒輪動力學進行深入研究十分必要。

相位調諧理論是一種有效的行星齒輪減振方法，即在設計行星齒輪傳動系統時，通過合理選擇行星輪個數和位置分布、中心構件的齒數，使行星齒輪的多重嚙合間具有特定的相位關系，減小中心構件所受激勵，達到減小振動的目的。Schlegel和Mard[1]以及Seager[2]在行星齒輪系統中通過合適的相位調整來消除扭轉或平移振動。Palmer和Fuehrer[3]，Hidaka等[4]以及最近的Platt和Leopold[5]用實驗結果證明了在行星齒輪傳動中通過對齒數進行適當選擇來減小噪聲和振動的有效性。Kahraman[6]以及Kahraman和Blankenship[7]研究了均布式斜齒行星齒輪系統動力學中相位調諧的作用。Parker[8]基于動態嚙合力研究了相位調諧對抑制平移和扭轉振動模式上某階諧波的作用。Parker和Lin[9]給出了多重嚙合間相位的描述。

文中以人字齒行星齒輪傳動系統為研究對象，建立考慮嚙合相位的人字齒行星齒輪系統動力學模型，分析嚙合相位對人字齒行星齒輪傳動系統振動特性的影響。

1考慮嚙合相位的時變嚙合剛度

1.1　嚙合相位定義

人字齒齒輪是由兩對螺旋角方向相反的斜齒輪組成。對人字齒齒輪嚙合相位的研究可以等效地由斜齒輪嚙合相位的研究來得到。輪齒嚙合剛度是周期為Tm的時變函數，雖然所有時變嚙合剛度變化形式相同，但相位不相同。

(1)

圖1　內、外嚙合副的嚙合相位關系

行星輪逆時針旋轉：

(2)

圖2　人字齒行星齒輪端面上的嚙合位置變化

圖2所示為人字齒行星齒輪端面上的嚙合變化圖，各點或線定義如下：A—輪齒前端面齒廓開始嚙合；P—節點；E—輪齒的前端面齒廓退出嚙合；MN為理論嚙合線。當嚙合線M1N1在行星輪基圓上滾動時，F1是與A1對應的點。因為太陽輪-行星輪嚙合和行星輪-內齒圈嚙合發生在行星輪相對的工作齒面上，所以F2點距F1距離為弧長sb，sb是行星輪基圓上的齒厚。F3是行星輪-內齒圈接觸區域A2E2中與F2距離為整數倍端面基圓節距的第一個點。

(3)

(4)

1.2　計入嚙合相位的時變嚙合剛度

一般認為，人字齒齒輪的時變嚙合剛度是組成人字齒齒輪的斜齒輪嚙合剛度的兩倍。對于斜齒輪，理想精度情況下，一對嚙合齒輪副的時變嚙合剛度與齒輪副總接觸線長度成正比。當單位接觸線長度的嚙合剛度k0為常數時，人字齒齒輪嚙合副的嚙合剛度為：

k(t)=2·k0·L(t)

(5)

式中:k0為單位接觸線長度的嚙合剛度；L(t)為組成人字齒輪的斜齒輪副瞬時總接觸線長度，L(t)是周期為Tm的函數，可將其表示為傅里葉級數：

(6)

式中：

(7)

(8)

一般情況下，未考慮多重嚙合間的相位關系，存在

(9)

因此，考慮嚙合相位的太陽輪-行星輪齒輪副嚙合剛度為：

(10)

同理，考慮嚙合相位的行星輪-內齒圈齒輪副嚙合剛度為：

(11)

值得注意的是，太陽輪-行星輪齒輪副嚙合剛度中的εα、εβ和εr分別為太陽輪-行星輪嚙合副的端面重合度、縱向重合度和總重合度，而行星輪-內齒圈齒輪副嚙合剛度中的εα、εβ和εr分別為行星輪-內齒圈嚙合副的端面重合度、縱向重合度和總重合度。

2人字齒行星齒輪系統動力學模型

人字齒行星齒輪傳動系統如圖3所示。人字齒是由兩個螺旋角旋向相反的斜齒輪相連而成，其軸向力相互抵消，所以不考慮軸向自由度。太陽輪、行星輪和行星架各有3個自由度，即2個平移自由度和1個扭轉自由度；內齒圈有1個扭轉自由度；輸入軸和輸出軸分別有1個扭轉自由度，總計有3N+9個自由度。輪齒的嚙合力和阻尼力是嚙合線方向上線位移的函數，而扭轉自由度是角位移。為了方便建模與計算，將各角位移轉化為等價線位移。

圖3　人字齒行星齒輪傳動系統結構簡圖

人字齒行星齒輪傳動系統平移-扭轉耦合動力學模型如圖4所示。建立3個坐標系：1)oxy是原點為行星架旋轉中心的絕對坐標系；2)oxy是原點為行星架旋轉中心，與行星架固連并隨行星架轉動的動坐標系；3)動坐標系onxnyn也與行星架固連并隨行星架一起等速旋轉，但其原點位于行星輪n的理論中心On，其坐標軸與動坐標系oxy的兩坐標軸分別平行。系統動力學模型建立在動坐標系中。

圖4　人字齒行星齒輪傳動系統動力學模型

對于內部激勵，本文主要考慮時變嚙合剛度激勵和誤差激勵。時變剛度激勵在前面已經詳述過了。齒輪誤差可分為安裝誤差、偏心誤差、基節誤差和齒形誤差。在建模過程中，將各種誤差投影到嚙合線方向等效為當量嚙合誤差，帶入到動力學方程中。

由牛頓第二運動定律，列出運動微分方程，將其整理成矩陣形式：

(12)

其中：M為廣義質量矩陣；Cb為支撐阻尼矩陣；Cm為嚙合阻尼矩陣；G、C1、C2為陀螺矩陣；Kb為支撐剛度矩陣；Km為嚙合剛度矩陣；Kω為離心剛度矩陣；Tk為誤差和嚙合剛度引起的激振列陣；Tc為誤差和嚙合阻尼引起的激振列陣；T為外激勵列陣；q為廣義坐標。

3人字齒行星齒輪傳動系統振動響應

為了分析嚙合相位對人字齒行星齒輪傳動系統振動特性的影響，求出表1中兩組行星齒輪傳動系統的動態響應，如圖5-圖7所示。行星齒輪系統Ⅰ和行星齒輪系統Ⅱ的傳動比大致相等，結構尺寸相近，但嚙合相位不同：當zs=34、zp=59、zr=152時，太陽輪和內齒圈的齒數都不能被行星輪個數(N=3)整除，行星齒輪Ⅰ存在嚙合相位差；當zs=36、zp=60、zr=156時，太陽輪和內齒圈的齒數都可以被行星輪個數(N=3)整除，行星齒輪Ⅱ沒有嚙合相位差。

表1　行星齒輪傳動的基本參數

圖5~圖7顯示了嚙合相位對中心構件振幅頻譜的影響。由圖5~圖7可知，行星齒輪Ⅱ(無嚙合相位差)的中心構件的扭轉振動遠大于行星齒輪Ⅰ(有嚙合相位差)的中心構件的扭轉振動，但行星齒輪Ⅱ的中心構件的平移振動要比行星齒輪Ⅰ的中心構件的平移振動小得多。

Park[8]基于中心構件的受力分析推導了行星齒輪的相位調諧規律。由相位調諧規律可知，針對表1中的兩組行星齒輪來說，若行星齒輪傳動系統無嚙合相位差，則嚙頻所有階諧波都會激勵中心構件的扭轉振動，抑制中心構件的平移振動；若行星齒輪傳動系統有嚙合相位差，嚙頻的3、6階諧波會激起中心構件的扭轉振動，1、2、4、5階諧波會激起中心構件的平移振動。由圖5~圖7可知，由動力學建模和求解得出的幅頻特性與Parker[8]得到的相位調諧規律大致相符。

圖5　太陽輪振幅頻譜圖

圖6　內齒圈扭轉振幅頻譜圖

圖7　行星架振幅頻譜圖

4結論

1) 一般情況下，行星齒輪傳動系統中各個太陽輪-行星輪嚙合副(或行星輪-內齒圈嚙合副)的嚙合剛度變化形式相同，但是相位卻并不相同。為了更準確的描述人字齒行星齒輪系統嚙合特性，在分析行星齒輪中多重嚙合間的相位關系的基礎上，得到了相位關系影響下的各嚙合副的時變嚙合剛度。嚙合剛度通過計算輪齒接觸線長度來得到。

2) 采用集中參數法在隨行星架轉動的坐標系中建立了人字齒行星齒輪系統動力學模型，考慮了時變嚙合剛度激勵和誤差激勵。運用傅里葉級數法求解了具有不同嚙合相位的兩組人字齒行星齒輪系統的動態響應，分析了嚙合相位關系對行星齒輪系統振動特性的影響。結果表明，對3行星輪系統來說，無嚙合相位差行星齒輪系統中心構件的平移振動比有嚙合相位差的小，而其扭轉振動比有嚙合相位差的大。

參考文獻:

[1] SCHLEGEL R G, MARD K C. Transmission noise control-approaches in helicopter design[C]// American Society of Mechanical Engineers Design Engineering Conference, 1967. New York: ASME, 1967: 67-DE-58.

[2] SEAGER D L. Conditions for neutralization of excitation by the teeth in epicyclic gearing[J]. Journal of Mechanical Engineering Science. 1975. 17: 293-298.

[3] PALMER W E, FUEHRER R R. Noise Control in planetary transmissions[C]// Earth Moving Industry Conference, 1977.Peoria: Paper No.770561.

[4] HIDAKA T, TERAUCHI Y, NAGAMURA K. Dynamic Behavior of Planetary Gear-6th Report, Influence of Meshing-Phase. Bulletin of JSME, 1979, 22: 1026-1033.

[5] PLATT R L, LEOPOLD R D. A study on helical gear planetary phasing effects on transmission noise, 1996. VDI-Ber, 1230, pp: 793-807.

[6] KAHRAMAN A. Planetary gear train dynamics[J]. Journal of Mechanical Design, 1994.116: 713-720.

[7] KAHRAMAN A, BLANKENSHIP G W. Planet mesh phasing in epicyclic Gear Sets[C]// Proceedings of International Gearing Conference, 1994.Newcastle, UK, pp: 99-104.

[8] PARKER R G. A physical explanation of the effectiveness of planet phasing to suppress planetary gear vibration[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000.236(4): 561-573.

[9] PARKER R G, LIN J. Mesh phasing relationships in planetary and epicyclic gear[J]. Journal of Mechanical Design, 2004.126: 365-370.

Research on Vibration Characteristics of Herringbone Planetary Gear Train

SHEN Jia-geng,LU Feng-xia,BAO He-yun,LIU Huan, ZHANG Lin-lin

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Abstract:PGT,The figure for the time-varying meshing stiffness is deduced from the analysis of the mesh phasing relation ships in the herringbone planetary gear train(PGT).The transverse-torsional modal of herringbone PGT is established in the rotating coordinate system, in consideration of the error and meshing stiffness excitation.By solving the modals of PGT systems with different meshing phasing relationships,time and frequency domain solution can be obtained;moreover,the effect of the mesh phasing relationships on the vibration characteristics of the herringbone PGT is analyzed.

Keywords:mesh phasing; planetary gear train; herringbone gear; vibration characteristics

中圖分類號：TH132.425

文獻標志碼：B

文章編號：1671-5276(2015)02-0021-04

作者簡介：沈稼耕(1990-)，男，安徽宣城人，碩士研究生，研究方向為機械CAD及自動化。

項目基金：國家自然科學基金資助(51305196)