武器系統預防性維修間隔期的多目標決策研究

都業宏，郁浩，趙靜，張揚，楊春來

(1. 中國白城兵器試驗中心，吉林 白城137001;2. 北京理工大學 機電學院，北京100081)

0 引言

某型武器系統是典型的輕型復雜武器裝備，包括火力系統、計算機系統、光電系統、通信系統等多個模塊。相比于大型裝備，它的集成度更高，在戰斗使用過程中面臨著多種故障和失效模式。這一特點使得它的維修保障成為該武器系統高可靠性和高安全性的保證。對于目前維修保障一個復雜裝備系統所需的費用，文獻［1 -2］認為其通常要占到裝備全壽命周期費用的60%以上，部分裝備高達70% ～80%，極大地影響著全系統的總體運行費用。因此，進行武器系統維修方式的研究，制定合理的武器系統維修制度，對于有效預防故障發生，提高維修保障效率，進而提高裝備系統的使用可用度和防止過度維修具有重要的意義。

通常武器系統的維修分為預防性維修和修復性維修［3］。由于預防性維修可以盡量安排在非戰斗時間或非戰備值班時間內進行，能使裝備系統停機造成的損失減到最小，所以到目前為止，在機械系統中還是廣泛采用這種維修方式［4-6］。美國國防部分別于20 世紀60年代和90年代提出了以可靠性為中心的維修RCM 和RCM-Ⅱ. 至今，RCM-Ⅱ廣泛應用于軍事和民用領域。RCM 綜合考慮武器系統的可靠性、維修保障的可行性和費用，按照以最少的維修資源消耗保持武器系統固有可靠性的原則，應用邏輯決斷的方法確定武器裝備預防性維修要求［7］。

目前，預防性維修系統多以平均故障間隔時間(MTBF)為輸入，輸出為預防性維修間隔時間［6，8-12］。最佳預防性維修間隔多以故障率模型為基礎，通過威布爾分布擬合參數，進而進行最佳預防性維修間隔的確定。如申桂香等在文獻［6］中，利用這種思路很好地解決了數控機床最佳預防性維修間隔時間的確定問題。文獻［12 -13］利用這種思路解決了相應武器系統的預防性維修問題。但如果武器系統均照搬此法，將得到與現實不相符合的結果。與連續運轉的工業機器的MTBF 不同，武器系統的MTBF 受人為因素影響很大，如庫存期間長時間不使用等，而且，目前武器系統的MTBF 實時獲取是非常困難的。但武器系統的故障與射彈量密切相關，而且武器系統發生故障時的間隔射彈量數據易于統計，以間隔射彈量確定預防性維修的時機在實際中更易于操作。但是，用射彈量表征武器裝備的故障率，將面臨著使用可用度和維修費用難以解析表達的問題。因此，本文在利用現場采集故障數據的基礎上，建立一種在維修狀態下最佳預防性維修間隔射彈量的數學模型，針對使用可用度和維修費用這兩個重要目標的實際含義，用該模型對這兩個重要目標進行了解析表達。為確定武器系統的最佳預防性維修間隔射彈量，本文采用較為成熟的多目標粒子群算法針對使用可用度和維修費用這兩個目標進行了優化決策，得到了符合要求的滿意解。

1 故障率模型

故障率模型有多種，如威布爾分布、指數分布和對數正態分布等。不論故障率模型呈現何種分布形式，均需進行分布模型擬合、線性相關性檢驗等計算，以獲得準確的故障率模型。本文中主要應用到了二參數威布爾分布模型。

1.1 二參數威布爾故障率函數擬合

對于復雜系統，威布爾分布物理意義明確，并為實踐證明其具有廣泛的適應性，以它為基礎所形成的復雜可靠性模型已受到較為廣泛的應用［6］。

假設武器系統的故障間隔射彈量服從二參數威布爾分布，其概率密度函數、分布函數和故障率函數分別為

式中:s 為故障間隔射彈量;采用MATLAB(2014b 版本)中的wblfit 函數，根據已知故障數據進行二參數威布爾分布參數估計可得到相應的β 和α 值。假設β=β0，α=α0，則故障率函數可表示為

1.2 威布爾分布的線性相關性檢驗

采用相關系數法對威布爾分布的擬合效果進行檢驗。相關系數為

式中:x = s;y = λ(s);n 為故障數據個數。當＞ρ(n-2，α')時，認為x 與y 之間的線性相關性顯著。其中，ρ(n-2，α')為相關系數的臨界值，可查表求出，亦可用近似公式計算。選取顯著性水平α' =0.1，采用近似公式計算［13］，則

2 決策單目標表示

2.1 使用可用度

武器系統的預防性維修流程如圖1所示。假設預防性維修間隔射彈量為N0，在系統射擊N0發彈后進行預防性維修，平均預防性維修時間為(單位h)，維修后武器系統繼續工作，但未到工作射彈量N0，而是在射彈量為N1時刻發生故障，立即對武器系統進行修復性維修，平均修復性維修時間為，修復后工作到N2，則當N1+N2=N0后再次進行預防性維修。

圖1 武器系統的預防性維修流程Fig.1 Preventive maintenance process of a weapon system

從圖1可以看出，N0就是平均工作射彈量MUA.由于本文以射彈量為單位表征武器系統的故障率，與以往用時間為單位表征使用可用度有較大差別，因此本文根據使用可用度的實際物理含義，給出了用射彈量表征的用于描述武器系統的使用可用度的定義。

定義:使用可用度是指武器系統在期望工作射彈量內的平均工作效率。具體用(7)式進行計算:

式中:MDA 為平均不可工作射彈量。MDA 與武器系統的實際作戰需求相對應的，對于具體的某種武器系統來說，MDA 滿足以下關系:

式中:MDT 為平均故障時間;φ()為MDA 與MDT 之間的轉換關系，對于具體的武器系統而言，φ()為MDA 與MDT 之間的正比例關系。又

武器系統的使用可用度Ao 為

對(10)式求導并使d(Ao)/ds =0，可得武器系統在不考慮維修費用的條件下的最佳維修間隔射彈量滿足

故障率函數λ(s)對于不同分布，有不同的形式，所以通過(10)式和(11)式得到的結果也不盡相同。

對于早期故障期，武器系統性能隨著時間推進而改善，故障率函數λ(s)為減函數，則N0λ(N0)＜為負，N0無合理解。再此種情況下，預防性維修實際上有害無益，不可取。

對于偶然故障期，λ(s)為常數，即其故障率函數服從指數分布，此時=0，表明武器系統整個壽命期間，下一個時間增量的視效率保持不變，與它工作多長時間無關。說明在此情況下進行定期預防性維修時無效的。維修將不影響故障率。

圖2 預防性維修后故障率示意圖Fig.2 Schematic diagram of failure rate after preventive maintenance

對處于耗損期的系統，由(10)式和(11)式可以得到合理的最佳維修間隔射彈量為

如果系統故障率函數符合二參數威布爾分布，即故障率如(3)式所示，則系統的最佳預防性維修間隔射彈量N0可表示為

2.2 維修費用

為方便用符號的形式解析表達維修費用，現對有關參數進行符號設定。

壽命L，預期維修費用EMC，預防性維修費用PMC，修復性維修費用CMC，預防性維修單價PMUP，修復性維修單價CMUP，等間隔預防性維修第i 次預防性維修后故障率為λpi(s). 不同的維修等級條件下的預防性維修會使武器系統的故障率以不同的比例下降。針對本文研究的具體武器系統，設定故障率的降低比例為0.5，當i ×N0≤s≤(i +1)×N0時，

式中:PMC = floor (L/N0- 1)PMUP，CMC =為MATLAB 中取整運算函數。

3 多目標決策模型

某型武器系統鑒定試驗中獲得了大量的故障數據，部分數據見表1，其中s 表示故障間隔射彈量。該武器系統壽命L 為30 000 發，預防性維修單價PMUP 為600 元，修復性維修單價 CMUP 為1 500 元為2 h為0.2 h，φ(x)=120x 發/h.

應用1.1 節中的方法對表1中的數據進行故障率分布模型擬合，得到β =1.344 5，α =593.289 9，則故障率函數可表示為

表1 某型武器系統的故障數據Tab.1 Failure data of a weapon system

故障率函數如圖3所示，從中可以看出，該武器系統的故障率是隨射彈量逐漸增加的。

圖3 故障率曲線Fig.3 Failure rate curve

應用1.2 節中的方法對得到的模型進行線性相關性檢驗。由(5)式計算得，=0.975 8. 選取顯著性水平為0.1，由(6)式計算得，ρ(n-2，α')=0.343 0，因為＞ρ(n-2，α')，所以可認為該武器系統的故障間隔射彈量服從參數為β =1.344 5 和α =593.289 9 的二參數威布爾分布。

因此，該武器系統故障率函數為(16)式所示函數。將其帶入(14)式中，則

由(10)式和已知條件得

由(15)式、(17)式和已知條件得

3.2 目標函數

對于武器系統而言，總希望其使用可用度最大，而維修費用最少。這兩個目標在一定程度上存在著矛盾，希望能夠找到可同時兼顧兩個目標的方案。即，

4 多目標粒子群算法

實際工程優化問題中，很多問題是多目標優化問題。相對于單目標優化問題，多目標優化問題的顯著特點是優化各個目標使其同時達到綜合的最優值。然而，由于多目標優化問題的各個目標之間往往是相互沖突的，比如本文的研究對象，在滿足使用可用度最優的同時，維修費用可能會很高;或者維修費用最優時，使用可用度會很低。因此，一般適用于單目標問題［5］的方法難以用于多目標問題的求解。本文采用多目標粒子群算法對所研究問題進行決策，主要是基于3 點考慮:1)多目標粒子群算法的局部尋優能力較強，根據具體問題的求解范圍，通過合理地設置算法參數，能夠避免粒子群在局部點過早收斂;2)多目標粒子群算法應用較為成熟［14-19］，算法思想易于理解;3)算法實現相對容易。

多目標粒子群算法的流程如圖4所示。其中，種群初始化模塊隨機初始化粒子的位置和速度，適應度值計算是指根據適應度值計算公式計算個體適應度值，粒子最優更新模塊根據新的粒子位置更新個體最優例子。非劣解集更新模塊根據新粒子支配關系篩選非劣解。粒子速度和位置更新模塊根據個體最優例子位置和全局粒子位置更新粒子速度和位置。

圖4 多目標粒子群算法的流程圖Fig.4 Flow chart of multi-objective particle swarm optimization

4.1 適應度計算

令粒子適應值為min(-Ao(Ni0))和min(EMC(Ni0))，i 為粒子序號，則Pi= min(- Ao(Ni0))/(-Ao(Ni0))和Qi=min(EMC(Ni0))/EMC(Ni0)分別為第i 個粒子Ni0的使用可用度和維修費用適應度。

4.2 篩選非劣解集

篩選非劣解集主要分為初始篩選非劣解集和更新非劣解集。初始篩選非劣解集是指在粒子初始化后，當一個粒子不受其他粒子支配(即不存在其他粒子的min(-Ao(Ni0))和min(EMC(Ni0))均優于該粒子)時，把該粒子放入非劣解集中，并且在粒子更新前從非劣解集中隨機選擇一個粒子作為群體最優粒子。更新非劣解集是指當新粒子不受其他粒子以及當前非劣解集中粒子的支配時，把新粒子放入非劣解集中，并且每次粒子更新前都從非劣解集中隨機選擇一個粒子作為群體最優粒子。

4.3 粒子速度和位置更新

粒子更新公式如下:

式中:ω 為慣性權重;r1和r2為分布于［0，1］區間的隨機數;k 是當前迭代次數;Pkid為個體最優粒子位置;Pkgd為全局最優粒子位置;c1和c2為常數;v 為粒子速度;Nk0為第k 個粒子位置。

4.4 粒子最優化

粒子最優包括個體最優粒子和群體最優粒子，其中個體最優粒子的更新方式是從當前新粒子和個體最有粒子中選擇支配粒子，當兩個粒子都不是支配粒子時，從中隨機選擇一個粒子作為個體最優粒子。群體最優粒子為從非劣解集中隨機選擇的一個粒子。

5 優化結果與討論

該問題是一個多目標單自變量問題，是一個預先設計過程，問題的主旨在于自變量在取值區間內尋找到該問題的滿意解，不要求計算過程的高效性，而是盡量尋找到全局的滿意解，避免早熟現象。這些條件易通過設置算法的相關參數得到滿足。針對本問題，采用第4 節中的優化算法，選取種群規模為100，迭代4 975 步，對3.2 節的目標函數進行計算得到如下結果，如表2和圖5所示。

圖5中圓圈處的點的集合即為多目標粒子群算法針對第3 節中建立的多目標優化問題模型所求得的支配解集。從計算結果可以看出，使用可用度Ao和維修費用EMC 之間存在著一定矛盾，隨著預防性維修間隔N0的增大，使用可用度Ao 逐漸增大，而EMC 也逐漸增大。實際進行維修決策時，具體的維修指標要求會縮小以上可行解集的范圍，得到令決策者滿意的若干滿意解或無解。如在維修費用EMC 約束為不大于135 440 元，使用可用度Ao 約束為不小于0.76%的條件下，預防性維修間隔N0滿足{N0|766 發≤N0≤794 發，N0∈Z}為滿意解集。同樣地，如在維修費用EMC 約束為不大于135 440 元，使用可用度Ao 約束為不小于0.77%的條件下，預防性維修間隔N0將無解，說明這是一個無法滿足的預防性維修決策要求。

表2 支配解集Tab.2 Dominated solutions

圖5 支配解集示意圖Fig.5 Schematic diagram of dominated solutions

此處獲得的結果僅是通過應用表1中的故障數據估計到的武器系統故障率模型和本文所述方法進行優化計算的結果，旨在展示以射彈量為單位進行預防性維修決策的方法。即使進行了預防性維修，隨著武器系統的使用，在到達壽命之前，仍可能發生故障。當發生新的故障時，應補充更新武器系統的故障數據，利用本文所述方法重新估計武器系統的故障率模型，并優化計算更新后的目標函數，動態地進行武器系統的預防性維修決策。

6 結論

本文在分析了典型的武器系統故障特點后，利用某型武器系統試驗中的故障數據建立了用射彈量表征武器系統的故障率模型。針對使用可用度和維修費用這兩個重要目標的實際含義，用該模型對這兩個重要目標進行了解析表達。利用多目標粒子群算法，以使用可用度和維修費用為優化目標，針對某型武器系統進行了維修決策，得到了可行解集。通過全文的研究，得出如下結論:

1)進行預防性維修決策時需要根據武器故障的特點建立故障率模型，不合理的模型將得到不切實際的決策建議。

2)用射彈量表征武器系統的故障率，物理意義較為明確，且試驗數據獲取容易。

3)本文給出了用射彈量表征的使用可用度定義，該定義根據使用可用度的實際物理含義給出，為維修的多目標決策提供了方便。

4)用粒子群算法進行預防性維修間隔的多目標決策得到的是一個可行解集，合理的決策指標要求將會得到若干個滿意解;不合理的決策指標要求將會無解。

5)預防性維修決策是一個動態的過程，應該隨著武器系統故障數據的更新而動態地進行決策。

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