對2013年高考數學中一道幾何題的探究

張少華，潘永會

（遵義師范學院數學與計算科學學院，貴州遵義563002）

對2013年高考數學中一道幾何題的探究

張少華，潘永會

（遵義師范學院數學與計算科學學院，貴州遵義563002）

對2013年全國高考（理科）數學卷（新課標Ⅱ卷）第三題（22）小題從作題意圖、解法探索、變式探究等方面進行了研究，獲得了此題的幾個證明方法及一些變式。

高考；數學試題；探究

2013年高考全國理科數學卷（新課標Ⅱ卷）第（22）題是高中數學選修4-1幾何證明選講的內容。如圖1所示，CD為∠ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC AE＝DC AF，B、E、F、C四點共圓。（1）證明：CA是外接圓的直徑；（2）若DB＝BE＝EA，求過B、E、F、C四點的圓的面積與外接圓面積的比值。

現對這道題從如何作出滿足條件的題意圖、證法探索、變式探究等方面展開研究。

1 作題意圖

滿足第一問條件的題意圖很容易作出，而滿足第二問條件的題意圖，除滿足第一問的條件外，還要滿足DB＝BE＝EA。

分析：假設滿足條件的題意圖（如圖1所示）已經作出。由于DB＝BE＝EA，因此，以DA為直徑的圓交垂線BC于點C點，而ABC的外接圓也過C點。這樣，滿足條件的題意圖就能正確作出。

作法：（1）作線段DA，使DB＝BE=EA，分點為B、E；（2）過B作線段DA的垂線l；（3）以線段DA的中點為圓心，1/2DA長為半徑畫弧交直線l于C點，連接CD、CA；（4）作ABC的外接圓；（5）過E點作CA的垂線CA交于F，連接CE，擦去輔助線，則所作圖形（見圖2）滿足題設條件。（證明略）

2 解法探究

解法一[2]：

分析：

（2）由（1）易知，CA是ABC外接圓的直徑，CE是過B、E、F、C四點的圓的直徑。考慮到DB=BE= EA，立即可解。

圖1 證法一示意圖

圖2 解法一示意圖

解題過程：

（1）證明：因為CD為ABC外接圓的切線，則∠DCB＝∠DAC，又BC·AE=DC·AF，則

所以，∠DBC=∠EFA。

又B、E、F、C四點共圓，則

∠EFA=∠CBE。

因此，∠ABC=90°，

所以，CA是ABC外接圓的直徑。

（2）連接CE，由（1）知，CA是ABC外接圓直徑，CE是過B、E、F、C四點的圓的直徑。又DB＝BE＝EA，則

CA2＝AB AD＝6DB2,

CE2＝CD2＝DB DA＝3DB2。

因此，SBEFC:SABC＝1:2。

解法二：

分析：

（1）由證法一，CD為ABC外接圓的切線，BC AE＝DC AF，可得，BCD∽FAE，進而可得∠CDB＝∠AEF，因而，DC//EF，這樣，∠EFA＝∠DCA＝90°。考慮到B、E、F、C四點共圓，則可得∠EFA＝∠CBE，因而∠ABC＝90°，故可證。

（2）由于DB＝BE＝EA，DA與BC垂直，因此，考慮以DA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立如圖3所示的平面直角坐標系來解此題。

解題過程：

（2）DA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立如圖3所示的平面直角坐標系，設a＞0，b＞0，由已知DB=BE=EA，因此可設D(-a,0)，B(0,0)，E(a,0)，A(2a,0)，C(0,b)。

圖3 解法二示意圖

解法三：

分析：

由法二知，∠CDB=∠AEF。考慮到B、E、F、C四點共圓，則可得∠AEF=∠ACB。這樣，在與中，有∠ACB=∠ADC，∠BAC=∠CAD，則立即可得∠ABC=∠ACD=90°。

解題過程：

證明：由法二知，∠CDB=∠AEF。又B、E、F、C四點共圓，則∠AEF=∠ACB。在中，有∠ACB=∠ADC，∠BAC=∠CAD，則因此，∠ABC=∠ACD=90°。所以，CA是ABC外接圓的直徑。

解法四：

分析：由前法知，∠ACB=∠ADC。從而，

證明：略。

3 變式探究

變式[3]1：減少條件。

變式1.1：最少條件。

如圖4，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D。（1）證明：DC2=DB DA；（2）若CB是∠DCA的平分線，證明：BC=BA；（3）若CB是∠DCA的平分線，且B為AD中點，證明：CA是外接圓的直徑。

圖4 變式1.1(1)示意圖

圖5 變式1.1(2)示意圖

分析：

（1）由于CD為ABC外接圓的切線，則∠DCB=∠DAC，從而可推得BCD∽CAD，因此可證。（2）若CB是∠DCA的平分線，則∠DCB=∠BCA=∠BAC，則立即得證。（3）若CB是∠DCA的平分線，且B為AD中點，則有BD=BC=BA，因而，∠BCD+∠BCA=90°，故可證。

解題過程：

（1）證明：因為CD為ABC外接圓的切線，則∠DCB=∠DAC，又∠BDC=∠CDA，因此，BCD∽CAD，所以

（2）證明：因為CD為ABC外接圓的切線，則∠DCB=∠DAC，又CB是∠DCA的平分線，則∠DCB=∠BCA，因此，∠BAC=∠BCA，則BC=BA。

（3）由（2）有BC=BA，又B為AD中點，則DB=BA，因此，BD=BC=BA，所以，∠D=∠BCD=∠BCA=∠BAC=45°，因此，∠ABC=90°，故CA是ABC外接圓的直徑(如圖6所示)。

圖6 變式1.2(3)示意圖

變式1.2：較少條件。

如圖7，CD為外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC AE=DC AF。證明：DC//EF。

圖7 變式1.2示意圖

分析：由于CD為外接圓的切線，則∠DCB=∠DAC。由BC AE=DC AF，可變為從而可得進一步可得，∠BDC=∠FEA，這樣，立即得DC//EF。

證明：因為CD為外接圓的切線，則∠DCB=∠DAC。

又BC AE=DC AF，則

所以，∠BDC=∠FEA，

故DC//EF。

變式2：證明新結論。

如圖1，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC AE=DC AF，B、E、F、C四點共圓。證明：

（1）DC2=DB DA；

（2）CA2=AB AD；

（3）BC2=DB BA。

證明略。

變式3：變化條件。

變式3.1如圖8，CD為外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，∠ACB的平分線CE交DA于E，求證：過C點且與DA切于點E的圓（小圓）也與CD相切[4]。

圖8 變式3.1示意圖

分析：只要證過點C、E的圓（小圓）與CD相切即可。

證明：設小圓BC交于F，連接EF。因為DA是小圓的切線，則∠BEF=∠1。又因CE是∠ACB的平分線，則∠1=∠2。又∠BEF+∠3=∠2+∠DAC，則∠DAC=∠3。因為CD為ABC外接圓的切線，則∠DCB=∠DAC。所以，∠DCF=∠DCB，∠DAC=∠3，即∠DCF=∠3，因此，過C點且與DA切于點E的圓（小圓）也與CD相切。

變式3.2如圖9，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，∠ADC的平分線分別交BC、AC交于E、F，求證：CE=CF[4]。

圖9 變式3.2示意圖

分析：要證CE=CF，只需證明它們對應的的兩個角相等即可。

證明：∠CEF=∠BCD+∠EDC，∠CFE=∠FDA+∠DAC。因為CD為ABC外接圓的切線，則∠DCB=∠DAC。又DF是∠ADC的平分線，則∠EDC=∠FDA。因此，∠CEF=∠CFE，所以，CE= CF。

變式4：增加條件。

如圖10，CD為外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC AE=DC AF，B、E、F、C四點共圓，過B作外接圓的切線BG交CD于G。證明：CG=GD。

圖10 變式4示意圖

[1]張少華.對雙圓四邊形的性質的探討[J].遵義師范學院學報, 2002,4(4):64-66．

[2]學科網.2013年高考數學試題及答案（新課標全國卷Ⅱ）[DB/OL].(2015-03-12)http://www.zxxk.com/Feature/2013gk/ showinfo.aspx?Page=5&InfoID=248457．

[3]張少華,王思聰.常微分方程教學中探究式教學法初探[J].遵義師范學院學報,2007,9(6):72-74．

[4]唐秀穎,夏明德.數學題解辭典平面幾何[M].上海:上海辭書出版社,1993.575,420-421．

（責任編輯：朱彬）

A Study of One Geometrical Problem in the 2013 National Entrance Examination

ZHANG Shao-hua，PAN Yong-hui
(College of mathematics and computing science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China)

This paper makes an investigation into the twenty-second problem of the math paper(science part)in the 2013 national entrance exam(the II Volume of new curriculum standard)in terms of intent,solution exploration and variation study,and some solutions to this problem as well as some variants are obtained.

national entrance exam;math problem;exploration

G424.79

A

1009-3583（2015）-0134-04

2013-06-27

貴州省基礎教育科研項目（2012B280）

張少華，男，貴州遵義人，遵義師范學院數學與計算科學學院教授，碩士。研究方向：應用數學、數學教育。