Kriging插值和有限元插值在工程問題中的對(duì)比

摘要：文章首先給出了Kriging插值和有限元插值的原理，然后用兩種方法分別對(duì)三維體電阻率進(jìn)行插值，并將插值結(jié)果進(jìn)行三維成像，比較兩種插值算法的效果，其結(jié)果是有限元插值效果優(yōu)于普通Kriging插值，且算法復(fù)雜度和計(jì)算量相對(duì)較小，最后探討了兩種插值算法在工程上的推廣。

關(guān)鍵詞：空間插值；有限元插值；Kriging插值；電阻率插值；數(shù)據(jù)三維成像 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類號(hào)：O241 文章編號(hào)：1009-2374（2015）36-0057-03 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.36.027

在工程實(shí)踐中，考慮到成本和測(cè)量技術(shù)等原因，通常無法對(duì)一個(gè)物體進(jìn)行密集測(cè)量，只能獲得部分測(cè)量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)往往不能滿足研究的需求。因此，需要用科學(xué)、合理的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充。數(shù)據(jù)擴(kuò)充可以通過補(bǔ)充測(cè)量和插值來完成。前者需要投入大量的時(shí)間和金錢；后者雖然存在一定誤差，但可以節(jié)省大量人力物力，并能滿足一般工程問題的精度要求。由于工程中研究的對(duì)象大多是三維實(shí)體，需要擴(kuò)充的數(shù)據(jù)也是空間數(shù)據(jù)，因而研究空間數(shù)據(jù)插值方法對(duì)實(shí)踐具有重要指導(dǎo)作用。本文介紹了地統(tǒng)計(jì)學(xué)中應(yīng)用較多的Kriging插值和力學(xué)分析中廣泛使用的有限元插值，并用兩種方法分別對(duì)空間電阻率進(jìn)行插值，將插值結(jié)果進(jìn)行三維成像，從而對(duì)比其在工程問題中的效果，分析其在其他領(lǐng)域的推廣可行性。

1 空間插值的概念及分類

空間數(shù)據(jù)插值是用已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)來估算、預(yù)測(cè)未知點(diǎn)數(shù)據(jù)的過程。按插值范圍可分為空間內(nèi)插和空間外推。內(nèi)插是通過已測(cè)量點(diǎn)的數(shù)據(jù)推求區(qū)域內(nèi)未測(cè)量點(diǎn)的數(shù)據(jù)，外推則是推求區(qū)域外的數(shù)據(jù)。本文分析的Kriging插值和有限元插值是兩種典型的內(nèi)插算法。

2 有限元插值方法概述

有限元插值的核心在于單元和插值函數(shù)的構(gòu)造，即選擇合適的單元結(jié)構(gòu)，并構(gòu)造待插區(qū)域的插值多項(xiàng)式，然后利用節(jié)點(diǎn)條件，將插值多項(xiàng)式的待定參數(shù)表示成節(jié)點(diǎn)值和單元幾何參數(shù)的函數(shù)，即得到形函數(shù)，然后構(gòu)造出插值函數(shù)。下面以六面體單元為例介紹有限元插值函數(shù)的構(gòu)造方法：

2.1 建立局部坐標(biāo)系

設(shè)局部坐標(biāo)系為（ξ，η，ξ），任意六面體的頂點(diǎn)為

（i=1，2…，8），如圖1。首先利用雙向距離坐標(biāo)，把四邊形變換成坐標(biāo)面上的單位正方形，把變換成坐標(biāo)面上的單位正方形。然后把兩個(gè)單位四邊形中具有相同局部坐標(biāo)的點(diǎn)連成線段，最后沿線段方向從下到上定義距離坐標(biāo)，和上的單位正方形上的點(diǎn)的分別為0和1。于是六面體上任意一點(diǎn)的局部坐標(biāo)可表示為（ξ，η，ξ）。至此，坐標(biāo)系中任意六面體單元與局部坐標(biāo)系中的單位立方體之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.3 寫出插值函數(shù)

3 克里金（Kriging）插值方法概述

Kriging插值又叫空間自由協(xié)方差最佳內(nèi)插，其原理是根據(jù)已測(cè)量數(shù)據(jù)的空間位置和相關(guān)程度的不同，將不同的權(quán)賦給每個(gè)數(shù)據(jù)，并進(jìn)行滑動(dòng)加權(quán)平均，從而估計(jì)未測(cè)量區(qū)域的數(shù)據(jù)。其基本假設(shè)建立在空間相關(guān)先驗(yàn)?zāi)Ｐ蜕希罂臻g數(shù)據(jù)（區(qū)域化變量）滿足二階平穩(wěn)假設(shè)或本征假設(shè)。下面介紹普通Kriging插值方法的基本步驟：

3.1 計(jì)算半方差

3.2 繪制半方差圖

在半方差圖中，橫軸表示距離，縱軸表示半方差。圖中有三個(gè)參數(shù)：nugget、sill和range。其中，nugget是塊金值，表示距離為零時(shí)的半方差；sill是基臺(tái)，表示基本達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的半方差；range是變程，在變程內(nèi)數(shù)據(jù)具有相關(guān)性（即半方差隨距離增加而增大），變程外的數(shù)據(jù)之間互不相關(guān)（即半方差趨于恒定）。

3.3 選擇模型并求得相應(yīng)參數(shù)

做出半方差曲線后需要尋找與之?dāng)M合最好的理論變異函數(shù)模型，常用的模型有高斯模型、球狀模型、線性模型和指數(shù)模型等。

4 兩種插值方法在實(shí)際應(yīng)用中的比較

以空間中某三維體電阻率數(shù)據(jù)為例，通過插值將數(shù)據(jù)加密10倍。在MATLAB中編程，使用有限元插值和Kriging插值建立其數(shù)學(xué)模型。為了直觀地比對(duì)插值后的效果，采用不同的顏色來表示電阻率的大小，并做出某一截面電阻率的顏色圖。

數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的顏色圖，可以明顯看出，插值后電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果與插值前的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果形態(tài)基本一致，只是前者像素更高，顏色變化也更加平滑。Kriging插值后的平均值更接近于原始數(shù)據(jù)，而有限元插值后的標(biāo)準(zhǔn)差要小于Kriging插值。采用有限元插值得到的圖像比Kriging算法得到的圖像更平滑。

5 兩種算法復(fù)雜性和計(jì)算量評(píng)估

5.1 算法復(fù)雜性概述

所謂算法復(fù)雜性是指算法運(yùn)行時(shí)所需的計(jì)算機(jī)資源的量，其中所需的時(shí)間資源稱為時(shí)間復(fù)雜性，需要的存儲(chǔ)器資源稱為空間復(fù)雜性。這些所需的資源的量集中反映了算法所采用方法的效率，與運(yùn)行該算法的計(jì)算機(jī)無關(guān)。也就是說，所需的資源的量只依賴于算法本身的函數(shù)、算法要解決問題的規(guī)模和算法的輸入輸出。

5.2 算法復(fù)雜度和計(jì)算量評(píng)估

從空間復(fù)雜性上講，Kriging算法含有大量矩陣運(yùn)算，而有限元插值中的數(shù)據(jù)都是實(shí)數(shù)，顯然Kriging算法運(yùn)行時(shí)需要更多的存儲(chǔ)空間，具有更高的空間復(fù)雜性。從時(shí)間復(fù)雜性上講，Kriging算法含有大量矩陣運(yùn)算，而有限元插值只是進(jìn)行最基本的四則運(yùn)算，顯然Kriging算法具有更大的計(jì)算量，即更高的時(shí)間復(fù)雜性。

綜上，Kriging算法具有更高的復(fù)雜度和計(jì)算量。

6 結(jié)語

第一，在實(shí)際問題中，通常需要許多位置的數(shù)據(jù)來解決必要的問題，但是由于技術(shù)與測(cè)量成本等原因，我們只能等間隔地選取部分點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量或選取容易測(cè)量的部分進(jìn)行測(cè)量，因此必須對(duì)空間數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。本文以對(duì)三維體電阻率插值問題求解為例，建立的兩種空間數(shù)據(jù)的插值模型，就是很好的兩種算法，這兩個(gè)模型具有重要的實(shí)際意義。

第二，從平均值這一指標(biāo)來看，Kriging插值效果更好。從標(biāo)準(zhǔn)差這一指標(biāo)來看，有限元插值效果更好。采用有限元插值得到的圖像比Kriging算法得到的圖像更平滑。考慮到計(jì)算量和復(fù)雜度，有限元插值算法不僅相對(duì)簡(jiǎn)單，而且效果不錯(cuò)。此外，我們?cè)诮⒛Ｐ偷倪^程中用到的分析問題、解決問題的方法，對(duì)其他工程問題及數(shù)學(xué)模型仍可使用。

第三，本文中有限元插值采用8節(jié)點(diǎn)的六面體作為基本單元，實(shí)際上還有9節(jié)點(diǎn)和20節(jié)點(diǎn)的六面體單元和四面體單元等一系列基本單元可供選用，有限元方法還有很大的潛力。

第四，本文中采用的是普通Kriging插值，實(shí)際上針對(duì)不同的情況，還有泛Kriging、協(xié)同Kriging、貝葉斯Kriging和指示Kriging等多種變化，以更好地處理各類具體問題。

第五，有限元方法最早應(yīng)用于力學(xué)分析，在靜電場(chǎng)和電磁場(chǎng)的插值中也有應(yīng)用，其核心思想可以推廣到一般連續(xù)介質(zhì)的空間插值問題中，本文中用其對(duì)電阻率數(shù)據(jù)插值就是一個(gè)很好的例子。

第六，Kriging插值起源于地統(tǒng)計(jì)學(xué)，該方法不僅考慮待插點(diǎn)位置與已測(cè)量數(shù)據(jù)位置的相互關(guān)系，而且還考慮數(shù)據(jù)的空間相關(guān)性，在數(shù)學(xué)上提供了一種無偏最優(yōu)估計(jì)的方法。該方法依賴于數(shù)學(xué)模型和統(tǒng)計(jì)模型，在空間數(shù)據(jù)處理上具有一定的普適性，可以推廣到諸如氣象分析等其他數(shù)據(jù)的插值中。

參考文獻(xiàn)

[1]張雨霆.三維空間離散點(diǎn)數(shù)據(jù)場(chǎng)的插值方法[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2008，41（4）.

[2]王德玲，李春光，葛修潤(rùn).三維有限元位移場(chǎng)插值問題的研究和應(yīng)用[J].巖土力學(xué)，2004，25（2）.

[3]田紅.含復(fù)雜插值曲面實(shí)體六面體網(wǎng)格優(yōu)化方法[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2009，30（2）.

[4]李新，程國(guó)棟，盧玲.空間內(nèi)插方法比較[J].地球科學(xué)進(jìn)展，2000，15（3）.

[5]靳國(guó)棟，劉衍聰，牛文杰.距離加權(quán)反比插值法和克里金插值法的比較[J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，24（3）.

[6]吳健生.三維可視化環(huán)境下礦體空間數(shù)據(jù)插值[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，40（4）.

作者簡(jiǎn)介：陳澤淇（1993-），男，陜西西安人，西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院學(xué)生，研究方向：自動(dòng)化。

（責(zé)任編輯：陳 潔）