卡爾曼濾波在精密機床裝配過程誤差狀態估計中的應用

周強,劉志剛,洪軍,郭俊康,劉鵬

(西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室, 710054, 西安)

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卡爾曼濾波在精密機床裝配過程誤差狀態估計中的應用

周強,劉志剛,洪軍,郭俊康,劉鵬

(西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室, 710054, 西安)

針對精密機床裝配偏差控制問題,在借鑒多工位裝配中薄壁件裝配偏差控制方法的基礎上,建立了精密機床裝配過程中偏差傳遞的狀態空間模型,并提出了一種利用卡爾曼濾波實現對裝配誤差進行最優估計的新方法。首先,根據機床結構建立基準傳遞鏈,將零件關鍵特征在基礎坐標系中位姿誤差定義為狀態變量,引入狀態空間方程描述裝配過程中的偏差傳遞,實現對裝配工藝過程的數學表達。然后,基于狀態空間模型,將當前裝入零件加工誤差作為系統輸入誤差,以當前裝配步的測量結果為觀測值,通過卡爾曼濾波計算裝配誤差最優估計值以及相應協方差矩陣,實現裝配過程中裝配誤差的估計。最后,應用該方法對精密坐標鏜床裝配過程進行計算,結果表明:與傳統公差分析計算方差相比,經過卡爾曼濾波計算得到最終裝配狀態估計誤差的方差減小了63%,說明該方法用于評價裝配過程中偏差累積是有效的,能為優化裝配工藝和機床裝配調整工藝提供有效指導。

卡爾曼濾波;機床裝配;偏差傳遞;狀態空間方程

為滿足航空、汽車、輪船、能源等工業部門的高速發展,現代機床的加工精度已經顯著提高。影響機床加工精度的因素主要包括:機床零部件在制造和裝配時造成的空間誤差、切削力引起的變形誤差、熱源引起的熱變形誤差、進給系統間隙與磨損造成的伺服跟隨誤差、數控系統的插補算法誤差等[1]。與其他誤差源相比,機床空間幾何誤差對加工精度的影響最大。精密機床空間幾何誤差主要是運動軸的運動誤差和運動軸之間相對角度誤差共同作用的結果。運動軸之間的角度誤差是由于零件關鍵特征偏差在裝配過程中傳遞和累積的結果。若能掌握裝配過程中偏差傳遞規律,就能定量描述零部件精度對于整機精度的影響,實現對整機精度的預測與控制,從而有效指導裝配過程調整工藝的實施。

近年來,很多學者對多工位裝配中偏差傳遞、誤差溯源及偏差控制等方面進行了詳細的研究。文獻[2]首次提出將機械裝配分為兩類:第1類是指產品裝配精度由零件配合特征精度決定,如精密機床等機械設備的裝配;第2類是指零部件的位置精度不以零件配合特征來定位,而是通過夾具定位來控制裝配過程,并可在線調整改變偏差傳遞過程,例如飛機機身、汽車白車身等薄壁件的裝配。文獻[3]建立白車身裝配過程中的狀態空間模型,描述了夾具偏差與零件偏差對裝配精度的影響。文獻[4]對剛性零件裝配的3類偏差源進行表達,并建立裝機偏差傳遞及功能表達的裝配偏差有向圖模型。文獻[5]以零件特征面為基本元素,研究零件偏差模型,建立第1類整機裝配過程狀態空間模型,但未對整機精度預測和偏差溯源進行深入研究。

本文針對精密機床裝配過程偏差傳遞問題,在借鑒多工位裝配中建模方法的基礎上,建立了精密機床裝配過程中偏差傳遞的狀態空間模型,并提出一種利用卡爾曼濾波實現對裝配幾何誤差狀態進行最優預測的新方法。首先對機床的幾何誤差進行了分析和建模,分析零件偏差表達方法,然后建立機床裝配過程中裝配偏差流狀態空間模型。運用卡爾曼濾波方法對裝配過程中幾何誤差狀態進行最優估計,獲取當前狀態下的裝配精度。最后,以精密坐標鏜床為實例,建立描述機床裝配過程中關鍵幾何特征變動,特征測量的狀態空間模型。基于該模型,對裝配過程進行分析與計算,結果表明,卡爾曼濾波最優預測能夠準確預測裝配偏差狀態,可為評估機床裝配工藝能力、優化裝配工藝奠定基礎。

1 機床裝配過程狀態空間建模

1.1 空間幾何誤差的形成

機床的支撐部件、進給系統、主軸系統、控制系統等在裝配過程中裝配成整體,達到最終的幾何精度要求。機床常被看作是由床身、立柱、滑座、主軸、工作臺組成的多體系統,因此可以采用多體系統理論進行研究。文獻[6]基于多體系統理論和齊次坐標轉換,提出一種針對數控機床幾何誤差建模、辨識、補償的綜合方法。文獻[7]根據機床誤差之間的因果關系將機床誤差分為幾何誤差、運動誤差、空間誤差,后一層次的誤差產生源于前一層次的誤差,其中幾何誤差又分為導軌幾何形狀誤差和配合幾何誤差導致的運動軸之間相對位置誤差。3種誤差的相互關系如圖1所示。

圖1 幾何誤差、運動誤差、空間誤差的關系

空間誤差是描述機床運動空間內刀具點與工件之間的位置與方位的總偏差。空間誤差是由單軸運動誤差與運動軸之間的幾何位置誤差共同作用的結果。其中,機床單軸運動誤差主要受導軌制造精度的影響,并且可以通過裝配完成后數控系統進行補償。運動軸之間的配合幾何誤差主要是由機床零部件配合特征面的加工誤差以及裝配過程中偏差累積誤差引起的。運動軸之間相對位置誤差在整機裝配完成后形成固定系統誤差,影響機床精度性能的提升。因此,有必要研究機床裝配過程中偏差傳遞規律,建立裝配過程偏差傳遞的數學模型,預測并控制裝配偏差,從而提高機床裝配精度。

1.2 機床裝配過程狀態空間方程

在精密機床裝配過程中,零部件關鍵配合特征偏差以及裝配過程中的偏差傳遞與累積影響機床整機精度的提高。因此,本文首先將零件偏差進行數學表達;其次引入狀態空間模型,將機床的關鍵幾何特征誤差狀態作為狀態變量,以實際測量數據作為觀測量,定量描述零部件精度對機床整機精度的影響,實現對機床裝配過程中偏差積累的數學建模。

1.2.1 零部件偏差的描述 機床裝配誤差模型是:基于零件特征描述零件之間配合特征相對位置、方位等裝配的約束關系。零部件是機床裝配中的基本單元,為描述機床裝配過程中的偏差傳遞規律,首先需要對零件特征的偏差進行表達。如圖2所示,o0-x0y0z0為零件坐標系,o1-x1y1z1為零件理想特征坐標系,o2-x2y2z2為實際特征坐標系。特征坐標系位于關鍵幾何特征中心處,表征關鍵特征的位置與方位。

圖2 零件關鍵特征加工偏差

由于加工制造誤差,實際加工的特征面表面與理想特征面存在位置與方位誤差。Δx、Δy、Δz表示實際特征坐標系與理想坐標系之間位置誤差,Δθx、Δθy、Δθz表示實際特征坐標系相對于理想坐標系的方位誤差。根據新一代GPS標準,對實際幾何特征表面進行測量,對特征表面進行數據提取、分離、擬合得到實際特征表面。根據設計公差要求、理想特征面可以確定實際特征面的偏差值大小。因此,零件實際特征面的偏差可以表示為

(1)

1.2.2 狀態空間方程 建立精密機床裝配過程中狀態空間方程,關鍵在于確定狀態變量以及狀態方程和輸出方程中的系數。首先定義狀態變量X(k)表示第k個零件裝配完成后,基準信息鏈中配合特征坐標系的位置和方位相對于理想位置和方位的偏差[8]

(2)

式中:dk為微分平移矢量;δk為微分旋轉矢量。

假設X(k+1)定義為描述第k個零件裝配后特征面相對于基準信息鏈中基礎坐標系的總累積偏差,w(k)表示裝入的第k個零件在零件坐標系中的偏差,那么第k個零件裝配過程的狀態方程可表達為

(3)

式中:Φ(k)為單位矩陣;F(k)為將零件偏差從零件坐標系轉化到基礎坐標系的轉換矩陣。機床裝配過程如圖3所示。

圖3 機床裝配過程狀態空間模型

式(3)實現了將三維空間中的偏差傳遞等價于基準信息傳遞鏈中坐標轉換中的誤差傳遞。借鑒機器人領域精度預測的方法[2],利用齊次坐標轉換表達零件坐標系之間相對位置關系,通過坐標系之間的轉換來預測單個零件偏差對整機最終位置和方位的影響。因此,第k個零件裝配完成后相對于基礎坐標系的微分平移矢量dk和微分旋轉矢量δk可以寫成

(4)

(5)

根據文獻[9-10],將式(4)、式(5)展開為

(6)

從式(6)可以看出,裝入第k個零件后,第k個零件的偏差與k-1狀態下累積偏差共同引起的總累積偏差、平移和旋轉誤差影響最終的裝配位置誤差,而最終的位姿誤差只與旋轉誤差相關。本文重點關注關鍵特征的相對位姿誤差對于最終裝配精度的影響,只考慮角度偏差,簡化式(6),可以得到

(7)

對比式(3)和式(6),可以得到狀態方程中的參數Φ(k)、F(k),機床裝配過程的狀態變量簡化為

裝配過程需要了解關鍵幾何特征誤差狀態,判斷是否滿足設計裝配精度要求,指導后續的裝配工藝的實施。因此,定義Z(k)為裝配體幾何特征中的關鍵特征的測量量,則裝配過程中的觀測方程為

(8)

式中:H(k)為r×3元素為0或1的觀測矩陣,定義為零件上關注的幾何特征;Z(k)為輸出矢量;v(k)為測量過程中的測量白噪聲。

根據上面的討論,將考慮零件偏差及測量工藝的機床裝配過程視為線性離散事件過程,系統的狀態定義為誤差狀態變量,其狀態空間方程為

(9)

在機床裝配過程中,狀態空間模型為描述零件或者子裝配體裝入到多工位裝配過程中旋轉角度累積誤差的產生、傳遞提供了可能。相比于傳統幾何誤差模型,狀態空間模型中考慮了測量環節,因此具有更高的精度。

2 卡爾曼濾波誤差狀態最優估計

在實際裝配中,由于機床結構和測量方法的限制,有些關鍵特征幾何誤差不能直接獲得,需要通過測量工具對其他相關特征進行測量,根據測量得到的數據來確定裝配誤差狀態。因此,引入現代控制工程中廣泛應用的卡爾曼濾波方法,解決裝配過程中的裝配誤差狀態估計問題。

假設機床裝配過程的幾何誤差狀態服從均值為0、協方差矩陣已知的高斯分布。w(k)是第k個零件帶入裝配中的偏差,定義為零件上兩個關鍵特征的相對角度誤差。將零件誤差視為設計與制造過程滿足設計公差要求的統計分布,因此零件偏差定義均值為0、方差為設計公差Qk的隨機變量序列,滿足

(10)

式中:Qk為非負正定矩陣,表征零件的設計公差要求;δkj為克羅尼克函數。

假設ν(k)為測量過程中的測量噪聲,當滿足期望為0、方差取決于測量裝置與測量方法的精度,并且零件加工誤差和測量噪聲相互獨立時,滿足

(11)

式中:Rk為正定矩陣,表征測量方法的不確定度。

卡爾曼濾波理論上主要包括濾波問題、預測問題和平滑問題。本文應用卡爾曼濾波預測方法,推導預測遞推方程如下[11]

(12)

卡爾曼濾波的優勢在于能夠根據最新測量值修正前裝配步的偏差估計值,能夠實時更新系統的狀態,其遞推過程如圖4所示。

圖4 卡爾曼濾波遞推公式

在機床裝配過程中,最優濾波模型能夠估計幾何特征角度誤差的大小,通過當前裝配步中觀測值與上一步裝配中最優估計量比較,對當前狀態進行修正并能對實際的偏差狀態進行最優估計。從濾波方程中可以得出P(k+1/k+1)只與Rk、Qk相關,而與測量量的大小無關。因此,為提高最優估計精度,可以減小裝配零件幾何誤差的不確定度或減小測量工藝的不確定度。在實際裝配中可提高零件設計公差或采用精度更高的測量工具。

根據精密機床裝配過程的狀態空間方程,將當前零件加工誤差作為系統輸入誤差,以當前裝配步的測量結果為觀測值,通過卡爾曼濾波線性遞推公式,能夠預測出當前裝配誤差最優預測值,并計算出相應協方差矩陣,實現對裝配過程裝配角度誤差的估計,為裝配工藝評估、裝配偏差控制提供依據。

3 實例分析

以某型號精密坐標鏜床為例,按照本文所述建模方法,對機床床身(A)、立柱(B)、滑座(C)、主軸箱(D)、工作臺(E)等5個零部件機床裝配過程進行建模,運用本文提出的狀態空間方程方法和誤差狀態最優估計對裝配誤差進行分析。圖5所示為坐標鏜床結構及基準傳遞鏈。

(a)精密坐標鏜床結構

(b)基準傳遞鏈圖5 坐標鏜床基準傳遞鏈

由前文分析可知,精密坐標鏜床的幾何精度主要受關鍵幾何特征之間的相對角度誤差影響。因此,選取機床工作臺面、Z軸與床身安裝面、床身立柱結合面、X軸與立柱安裝面、Y軸與滑座安裝面、主軸箱基準面等6個關鍵幾何特征面作為研究對象,研究裝配過程特征面之間的角度誤差的累積與傳遞過程。在空間坐標系中,關鍵特征面又分別繞X、Y、Z軸旋轉,且繞3個軸的旋轉自由度相互獨立互不影響,因此X、Y、Z軸旋轉偏差累積過程相互獨立。為簡化建模過程,以下只考慮特征面繞X軸旋轉,即只計算YZ平面內的偏差傳遞過程。

3.1 偏差傳遞建模

在機床裝配過程中輸入幾何誤差為零件上關鍵特征之間的角度誤差,這個誤差主要由加工過程產生,因此輸入誤差的標準差可以通過設計公差給定。基礎部件的設計公差由表1給出。

表1 基礎大件關鍵特征面設計公差

將床身與立柱之間的結合面作為基礎坐標系,根據式(6),整機裝配完成后,在YZ平面內最終誤差狀態方程可表示為

(13)

第k+1步裝配誤差狀態由第k步裝配誤差狀態與第k步輸入的零件誤差共同決定,因此整機裝配過程中的狀態空間方程可改為

(14)

對于精密坐標鏜床基準傳遞鏈,坐標系間理想轉換沒有角度變化,因此根據式(9),可確定卡爾曼濾波方程中的各項系數矩陣為

A(k+1,k)=I

根據精密坐標鏜床實際裝配過程中的裝配工藝,確定基礎部件的裝配順序、輸入誤差的協方差矩陣,以及裝配步中關鍵幾何特征對之間的平行度或者垂直度誤差的測量工藝,詳細數據見表2。

觀測矩陣H(k)為1×5的行向量,用于表征所測量的特征面誤差的變化。測量不確定度表示用某種測量儀器對觀測特征測量值的不準確程度,下節以測量床身裝配過程為例說明不確定度的評價過程。

表2 機床裝配過程的裝配工藝數據

注:σA、σB、σC、σD、σE分別為機床基礎大件床身、立柱、滑座、主軸箱、工作臺的特征面角度偏差的標準差。

3.2 測量工藝不確定度評定

床身裝配過程中主要關注床身立柱結合面與Z軸安裝平面的平行度誤差。首先調整床身水平,使用電子水平儀先測量其中一個面,然后以這個測量面為基準測量另一平面,獲得測量數據。采用常用的最小二乘法對兩平面的平行度誤差進行計算。

根據平面度最小二乘擬合的規則,要求每個提取點到理想平面距離的平方和最小。因此,假定最小二乘平面為z=ax+by+c,a、b、c為估計參數。假設取樣點中位于最小二乘擬合平面兩側最大偏離點為(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2),因此平行度最小二乘法評價模型為

在兩平面的平行度測量過程中不確定來源主要有:水平儀重復性測量引起的不確定度分量以及水平儀示值誤差引入的不確定度分量。確定測量重復性不確定度是通過在測量范圍取點進行重復性試驗,每點重復測量10次,根據貝賽爾法確定各點的標準差,取其中最大值作為水平儀重復性測量引起的不確定度。水平儀的示值誤差為±1.2 μm,服從均勻分布,u2=1.2/31/2=0.693 μm。

根據不確定度模型確定的傳遞系數、單點測量不確定度以及合成不確定計算公式,可以得到電子水平儀測量床身平行度的不確定度uc≈1 μm。

3.3 計算結果

根據表2中初始條件以及式(11)進行計算分析,得到裝配過程中關鍵幾何特征在各個裝配步中的狀態誤差值以及估計誤差的方差。

傳統公差分析方法計算的結果如圖6所示,其中p1、p2、p3、p4、p5是預測誤差協方差矩陣P(k)的對角元素。通過與傳統公差分析方法得到的結果對比可以看出,由卡爾曼濾波最優估計方法計算的估計誤差顯著減小,說明本方法用于評價裝配過程中偏差累積是有效的,并能夠為后續優化裝配工藝和機床裝配調整工藝提供有效指導。

圖6 傳統公差分析方法

圖7 卡爾曼濾波最優估計

本實例中應用狀態空間方程對某型號精密坐標鏜床裝配過程進行了建模,運用卡爾曼濾波對裝配偏差狀態進行了最優預測。該方法構建了機床裝配過程的裝配工藝與測量工藝的數學模型,為預測最終裝配精度、評價裝配工藝以及裝配階段的調整工藝奠定了理論基礎。

4 總 結

(1)根據機床基準信息鏈,以機床裝配過程裝配偏差為狀態變量,建立考慮零件偏差與測量工藝的裝配過程狀態空間模型,將裝配過程轉化為線性離散系統進行研究。

(2)利用卡爾曼濾波實現對狀態空間模型中幾何誤差狀態進行最優預測,與傳統公差計算方法相比精度更高,更具實際應用意義,同時考慮裝配順序、測量工藝的最優估計算法,為機床設計人員提供了一種工藝規劃的新評價方法。

(3)通過坐標鏜床裝配過程的實例仿真分析,及與傳統公差分析的結果對比,驗證了基于卡爾曼濾波的精密機床裝配精度預測方法的有效性。

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(編輯 杜秀杰)

Kalman Filter with Applications to Assembly Accuracy State Estimation for Precision Machine Tool

ZHOU Qiang,LIU Zhigang,HONG Jun,GUO Junkang,LIU Peng

(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710054, China)

In terms of variation control strategy for sheet components assembly, a state space model (SSM) of variation propagation for precision machine tools in assembly process is established and a new method for optimally estimating assembling error by Kalman filter is proposed. Datum flow chain (DFC) of the machine is set up according to the machine topology, and the position and orientation error of key character of the part in DFC is defined as state variable. The SSM is introduced to describe the variation propagation and accumulation of assembly process to acquire the mathematical expression. The optimal estimation and corresponding covariance matrix of assembly error can be calculated by Kalman filter method, which synthesizes the measuring results of current assembly step. The suggested approach is applied to the assembly process in a precision machining center. The results show that the variances of estimation errors at final assembly step are reduced significantly by 63% using Kalman filter method compared with ones from the traditional tolerance analysis.

Kalman filter; machine tool assembly; variation propagation; state space model

2015-05-18。

周強(1990—),男,碩士生;劉志剛(通信作者),男,教授。

國家高技術研究發展計劃資助項目(2012AA040701)。

時間:2015-09-13

10.7652/xjtuxb201512016

TH161

A

0253-987X(2015)12-0097-07

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150913.1827.010.html