“頂吸基隔”結構非平穩隨機地震反應分析新方法

馬涌泉，邱洪興

(東南大學 土木工程學院，江蘇 南京 210096)

“頂吸基隔”結構非平穩隨機地震反應分析新方法

馬涌泉?，邱洪興

(東南大學 土木工程學院，江蘇 南京 210096)

為了有效抑制基礎隔震結構的隔震層及主結構的過大位移，設計了“頂吸基隔”減震結構并提出了相應的非平穩隨機反應分析新方法.通過在基礎隔震結構的頂部布置調諧質量阻尼器來構建減震結構，分別采用Bouc-Wen模型及其剛度退化模型模擬隔震層及各樓層的滯回特性.通過在精細積分法中引入復化Cotes積分，并結合虛擬激勵法，提出了求解減震結構非平穩隨機反應的CCIM法.依據首次超越破壞準則，建立了以結構層間位移角為評價指標的動力可靠度極限狀態方程.通過分別采用CCIM、蒙特卡羅法和時域顯式蒙特卡羅法對減震結構進行隨機反應分析，驗證了CCIM具有高效率和高精度的特點.以一座30層鋼框架結構為算例，分別計算了減震結構、基礎隔震結構和未控制結構在8度和9度罕遇地震作用下的隨機反應.結果表明：本文提出的“頂吸基隔”減震結構的整體可靠度比基礎隔震結構和未隔震結構的都要高，該減震結構具有極大的工程推廣價值.

建筑物；抗震設計；地震反應；調諧質量阻尼器；精細積分法；動力可靠度

隨著中國城鎮化建設步伐的加快，各地興建了為數不少的高層建筑，如何提升它們的抗震性能，一直是學者們研究的重點.基礎隔震作為一項有效的減震技術，在高層結構中正得到普遍應用，但其隔震層在震后會產生較大變形[1].雖然可以通過在隔震層中增設阻尼器或限位器來減小或限制其位移，但會引起主結構層間位移的增大[2].在基礎隔震結構中引入調諧質量阻尼器(TMD)組成“TMD-基礎隔震”結構可以解決隔震層及主結構位移均較大的難題，本文將這種結構命名為“頂吸基隔”減震結構(簡稱減震結構).學者們對該結構的減震效果進行過一些研究[3-4]，但這些研究均是輸入確定的地震動來求解結構反應，由于地震動具有隨機性，因此這些研究成果缺乏參考價值；目前學者們僅開展了基礎隔震結構隨機反應的求解工作[5-6].然而他們所采用的精細積分法在計算過程中會存在矩陣求逆的問題，不僅計算量大，而且穩定性也較差，甚至會出現逆矩陣不存在的情況.因此探尋減震結構非平穩隨機反應的高效率和高精度的求解方法就顯得尤為重要.本文采用Bouc-Wen模型及其剛度退化模型描述隔震層及樓層的滯回特性，利用精細積分法和虛擬激勵法推導出復化Cotes精細積分法(CCIM)，并驗證了其精度和效率.使用CCIM分別對一座30層減震、基礎隔震和未隔震結構進行非平穩隨機反應與動力可靠度分析，得出的結論可供類似結構減震設計時參考.

1 減震結構計算模型

1.1 減震結構運動方程

減震結構是在基礎隔震結構的頂部布置TMD，利用TMD可以調諧結構頻率的特點，對主結構施加一個與振動方向相反的力，從而達到吸收地震能量和降低結構反應的目的.減震結構的力學模型見圖1.

圖1 減震結構的力學模型

該減震結構的非線性運動方程可表示為：

(1)

(2)

(3)

K=

(4)

Ku=

(5)

式(2)～式(5)中：mb,mn和mt分別為隔震層、第n樓層和TMD的質量；cb,cn和ct分別為隔震層、主結構第n層和TMD的阻尼；kb,kn和kt分別為隔震層、主結構第n層和TMD的剛度；ηb,ηn和ηt分別為隔震層、主結構第n樓層和TMD的第二剛度系數.

分別采用Bouc-Wen模型及其剛度退化模型[7]模擬隔震層和樓層的滯回特性，它們的表達式分別為：

(6)

(7)

式(1)的狀態方程可表示為：

(8)

向量Z(t),A和B可分別表示為：

(9)

式中：Ce和Ke皆為減震結構滯回模型的等效線性化系數矩陣.λ可表示為：

(10)

1.2 滯回模型的等效線性化

將滯回位移關系式(6)和式(7)表示為：

(11)

將滯回位移向量U看作已知隨機狀態反應，則式(11)的等效線性化方程可表示為：

(12)

(13)

(14)

Gj,μ和α可分別表示為:

(15)

(16)

L1,L2,L3和L4可分別表示為：

(17)

(18)

(19)

其中φ為：

(20)

2 非平穩隨機反應與動力可靠度分析

2.1 虛擬激勵的構造

非平穩隨機地震激勵過程h(t)可描述為平穩隨機過程g(t)與調制函數r(t)的乘積，即

h(t)=g(t)r(t)．

(21)

(22)

則t時刻結構的隨機反應可表示為：

(23)

式中：R(ω,t)為確定性地震激勵對初始靜止結構在t時刻所產生的反應.因此可以得到：

(24)

式中：R*(ω,t)與R(ω,t)互為共軛函數.

則結構反應y(ω,t)的自譜密度函數Syy(ω,t)可表示為：

(25)

依據式(25)求得Syy(ω,t)．結構反應y(ω,t)的方差可表示為：

(26)

(27)

2.2 復化Cotes數值積分法

結構狀態方程(8)的一般解為：

(28)

將隨機地震激勵在時間域上離散為若干個區間，步長為Δt，由式(28)可推出任一時刻tl+1的結構反應為：

(29)

令式(29)中的指數矩陣滿足eAΔt=T(Δt)=T，T的精細算法詳見文獻[9]，因此式(29)可記為：

(30)

精細積分中的指數矩陣T(Δt)經過精細計算以后，可以使得其值非常接近精確值，但是其積分項解析形式的精度仍不能保證.文獻[10]將精細積分法引入隨機地震反應分析，提出了時域顯式蒙特卡羅法(PTIM)，它假定地震激勵在(tl,tl+1)內線性變化，但當地震激勵具有強非線性時這種算法會帶來較大誤差，如果通過減小時間步長Δt來提高計算精度，勢必會增加計算量.文獻[11]在結構隨機反應分析中引入了Simpson積分，雖然提高了結構反應的精度，但由于該積分方法的固有缺陷，只能達到三次代數精度.為了解決上述問題，本文引入復化Cotes積分理論來求解結構隨機反應一般解的積分項，提出了一套基于復化Cotes理論的精細積分法，并將其命名為CCIM.該方法既能良好地處理非線性地震激勵，又能獲得比Simpson積分更高的精度，并且對Δt也不敏感.

CCIM的建立過程如下：將復化Cotes積分引入式(30)，積分區間分點為tk=tl+kh(k=0,1,…,m)，可得：

(31)

將式(31)中的求和項展開，并整理同類項形成隨機地震激勵列向量ρl, l+1和系數矩陣O.ρl, l+1的下標表示積分區間[tl,tl+1]，ρl, l+1和O可分別表示為：

(32)

12T(tl+1-t1/2)·32T(tl+1-t3/4)×

7T(tl+1-t1)…32T(tl+1-t(m-1)/4)×

12T(tl+1-t(m-1)/2)·32T(tl+1-t3(m-1)/4)×

7T(tl+1-tm)]．

(33)

由式(33)可知，O矩陣的組成由復化次數m決定，復化Cotes積分法在積分區間采用均等分形式，且積分區間[tk,tk+1]被等分為4份，因此時間段[tk,tk+1]共被劃分為4m份，每份時長為Δt/4m，式中任一積分點的指數矩陣Ti可表示為：

Ti=(eAΔt/4m)i．

(34)

可見只需求解指數矩陣T(Δt/4m)=eAΔt/4m，并結合指數矩陣的加法原理便可求得矩陣O的數值.

不考慮誤差項，式(31)可表示為：

(35)

將式(35)代入式(30)，可得：

Z(tl+1)=TZ(tl)+Oρl,l+1．

(36)

當初始條件Z(t0)=0，可推導出結構反應Z(tl)的表達式：

(37)

令

(38)

因此Z(tl)也可表示為：

Z(tl)=Ylρl．

(39)

上式即為求解結構反應的顯式表達式.結合一階矩和二階矩的運算特點，可得Z(tl)的期望及方差分別為：

(40)

式(40)中的協方差矩陣可由隨機地震激勵的相關函數構成，相關系數可由式(18)求得.

相鄰時刻的系數矩陣存在以下遞推關系：

Yl+1=[TYlO]．

(41)

綜上所述，按照式(38)構造出該時刻的ρl和Yl便可求得tl時刻的結構反應Z(tl)；如果求解(tl,tl+1)時間段內的Z(tl)，只需結合式(41)便可較快地獲得各時刻點的系數矩陣.

上述CCIM法的推導雖然是以剪切型結構為例，但是此算法是以精細積分法和復化Cotes積分理論為基本框架，因此它對結構的動力特性矩陣沒有任何特殊要求，故此算法完全適用于求解彎剪型或彎曲型結構的非平穩隨機地震反應.

2.3 結構層間位移角可靠度分析

(42)

當結構反應為非平穩過程時，則層間位移角的對稱雙側動力可靠度Ωs為：

(43)

結構層間位移角的失效概率為：

Ωf=1-Ωs．

(44)

(45)

(46)

3 CCIM精度與效率的驗證

為了驗證CCIM的計算精度及效率，本文選用一座10層鋼框架結構為算例.該算例位于Ⅱ類場地，抗震設防烈度為8度，設計基本地震加速度值為0.30g，處于設計地震第1組.首先對其進行8度罕遇地震作用下的基礎隔震設計，獲得隔震層的各項最優參數；然后對基礎隔震結構進行模態分析獲得其前10階自振頻率，以此獲得TMD系統的各項最優參數(保證TMD系統的前10階自振頻率與基礎隔震結構的分別相等或十分接近)；最后對減震結構進行模態分析，提取其前三階阻尼比，并取它們的平均值作為該結構的阻尼比.分別運用蒙特卡羅法[12](M-C)、CCIM和PTIM對減震結構進行8度罕遇地震作用下的非平穩隨機地震反應分析.

隔震層高度為1.8 m，上部各樓層高度均為3.0 m，減震結構的阻尼比ξs8=0.017；Bouc-Wen模型的參數取值為：d=1，G=1，γ=0.8，β=0.2，ηb=0.4.隔震層的最優參數為：質量mb=9.0×104kg，剛度kb=7.0×107N·m-1，阻尼cb=2.0×105N·s·m-1；Bouc-Wen剛度退化模型的參數取值為：d=0.9，G=1.1，γ=0.7，β=0.25，λG=0，λμ=0，λα=0.000 1，η1～ηn=0.12.各樓層的質量mj=2.0×105kg，各樓層的剛度kj=6.0×108N·m-1；TMD系統的最優參數為：質量mt=5.0×104kg，剛度kt=1.2×106N·m-1，阻尼ct=1.5×105N·s·m-1.

本文采用Clough-Penzien模型[13]來模擬平穩隨機地震動功率譜，其功率譜密度函數可表示為：

(47)

式中：S0為譜強度因子；ωf和ζf為描述地震動低頻能量變化的參數；ωg和ζg分別為場地土的卓越頻率和阻尼比，它們與規范[14]中的場地類別和設計地震分組有一一對應的關系．為了考慮該模型參數的不確定性對結構反應的影響，本文依據地震波的平均反應譜與設計反應譜在主周期點的譜值相差不超過20%，地震動有效持時為結構基本周期的5～10倍，時程分析結果在結構主方向的平均底部剪力應處于振型分解反應譜法的80%～120%之間，以及單條地震波的結構底部剪力應處于振型分解反應譜法的65%～135%之間等四項原則選取了80組(每組有2個水平向分量，震級范圍為5～9級，震中距范圍為0～200 km，場地類別為Ⅱ類)地震加速度時程記錄，對該模型參數進行了計算，求得了Ⅱ類場地的ωg和ζg的變異系數ηω=0.397和ηω=0.392，并分別乘以文獻[15]提供的ωg和ζg的參考值，最終得到該模型參數為：ωg=17.95 rad/s；ωf=3.49 rad/s；ζf=ζg=0.72；8度罕遇地震的S0=3.129 cm2·s-3.

調制函數r(t)可表示為：

(48)

式中：ε為衰減系數；t1和t2分別為主振平穩段的首末時間.Ⅱ類場地的t1=0.8 s,t2=7.0 s,ε=0.35.

表1為分別采用3種算法獲得的減震結構隨機反應方差峰值.由表中可以看出，當步長Δt=0.1 s時，采用復化次數m=1的CCIM與M-C的計算結果非常接近，且前者所需的計算時間比后者要少得多.此步長下PTIM的計算結果平均誤差較小，所需的計算時間比m=1時CCIM的要多一些；當步長Δt=0.5 s時，PTIM的計算結果已嚴重偏離M-C的結果，前者的平均誤差達到了53.26%，其結果已沒有任何參考價值.此步長下的m=1時的CCIM，其計算結果也偏離了M-C的結果，平均誤差為11.76%，結果同樣失真；保持步長Δt=0.5 s不變，僅將m調至2，此時CCIM的計算結果再次與M-C法非常接近，前者的結果稍微偏保守.而且從m=1調至m=2時，計算時間并沒有太明顯的增加，仍比M-C的計算時間少很多.

可見，本文提出的CCIM對步長有弱敏感性，在步長不變的情況下，增大復化次數可以提高計算精度，并且不會引起計算時間的大幅增加.當步長相同時，CCIM的計算精度比PTIM的要高得多，前者的計算結果非常接近M-C法，但CCIM所需的計算時間比M-C要少很多.因此，CCIM在求解減震結構非平穩隨機反應方面具有高精度和高效率的特點.

表1 不同算法得到的減震結構隨機反應方差峰值

4 數值分析

4.1 工程背景

選取一座位于Ⅱ類場地的30層鋼框架公寓為工程背景，設烈度8度，設計基本地震加速度值為0.30 g，處于設計地震第1組.首先分別建立減震、基礎隔震和未隔震結構模型；然后運用本文第3節的方法分別對基礎隔震及減震結構進行8度和9度罕遇地震作用下的優化設計，獲取隔震層和TMD系統的各項最優參數以及結構阻尼比.最后采用CCIM分別計算8度和9度罕遇地震下的3種結構隨機反應及層間位移角動力可靠度.

該公寓的隔震層高度、樓層高度、Bouc-Wen模型及其剛度退化模型的參數值均與算例相同.各樓層剛度kj的取值見表2.ωg,ωf,ζg,ζf,t1,t2和ε的值與上節算例的相同.8度和9度罕遇地震下施加于各結構的譜強因子S0的取值見表3.

表2 各樓層剛度的取值

表3 譜強因子S0的取值

Tab.3 Values of spectral intensity factorS0

(cm2·s-3)

8度罕遇地震作用下的隔震層的最優參數為：質量mb=1.528×105kg，剛度kb=1.363×108N·m-1，阻尼cb=2.963×105N·s·m-1.9度罕遇地震下的隔震層的最優參數為：質量mb=1.861×105kg，剛度kb=1.537×108N·m-1，阻尼cb=3.285×105N·s·m-1；各樓層的質量mj=3.672×105kg；8度罕遇地震下的TMD系統的最優參數為：質量mt=8.685×104kg，剛度kt=9.573×106N·m-1，阻尼ct=6.791×105N·s·m-1.9度罕遇地震下的TMD系統的最優參數為：質量mt=9.352×104kg，剛度kt=9.976×106N·m-1，阻尼ct=7.163×105N·s·m-1；8度和9度罕遇地震作用下的減震、基礎隔震及未隔震結構的阻尼比分別為ξs8=0.016和ξs9=0.017，ξj8=0.013和ξj9=0.014及ξw8=0.019和ξw9=0.020.各樓層的彈性層間位移角限值θb1=1/550 rad，隔震層的塑性層間位角限值θb2=1/18 rad.

定義8和9度罕遇地震下的減震結構分別為工況Ⅰ和Ⅱ，8和9度罕遇地震下的基礎隔震結構分別為Ⅲ和Ⅳ，8和9度罕遇地震下的未隔震結構分別為Ⅴ和Ⅵ.采用CCIM分別對6種工況進行非平穩隨機分析，得到頂層位移、第6層層間位移角及頂層加速度等方差時程如圖3所示.得到隔震層和各樓層的位移、層間位移角及加速度等方差峰值及層間位移角可靠度如圖4～圖5所示.

4.2 結果分析

由圖3可知，在整個時程內，減震結構的位移方差、層間位移角方差和加速度方差比基礎隔震和未隔震結構的方差都要小.6種工況的反應方差均能在較短的時間內收斂到一個穩定的解，說明本文提出的CCIM具有良好的穩定性，此方法可用于評估高層或多層結構在非平穩隨機地震作用下的抗震性能.

T/s(a) 頂層位移方差時程

T/s(b) 第6層層間位移角方差時程

T/s(c) 頂層加速度方差時程

位移方差峰值/m2(a) 隔震層和各樓層的位移方差峰值

層間位移角峰值/(mrad)2(b) 隔震層和各樓層的層間位移角方差峰值

加速度方差峰值/(m2·s-4)(c) 隔震層和各樓層的加速度方差峰值

圖5 隔震層和各樓層的層間位移角可靠度

由圖4可知，減震結構的隔震層和各樓層位移方差峰值、層間位移角方差峰值和加速度方差峰值均比基礎隔震和未隔震結構(無隔震層)的要??；6種工況的上述三項值在第6層處均存在不同程度的轉折，其中減震結構的轉折程度最不明顯.這是由于原結構的第6層剛度有突變，形成了薄弱層.可見，通過在基礎隔震結構頂部布置TMD而形成的減震結構可以有效解決隔震層及主結構在震后出現過大位移的難題.

由圖5可知，減震結構無論是在8度還是9度罕遇地震下，其隔震層和各樓層的層間位移角可靠度均為100%；8度和9度罕遇地震下的基礎隔震結構其隔震層和各樓層的層間位移角可靠度也均較高，根據式(46)算得其整體可靠度分別為95.53%和91.76%，但第6層處的可靠度有一定的降低，可見結構剛度的突變對基礎隔震結構的層間位移角可靠度有一定的影響；8度和9度罕遇地震下的未隔震結構其各樓層的層間位移角可靠度很低，在第6層處達到了最低，根據式(45)算得其整體可靠度分別為58.82%和46.91%，因此在9度罕遇地震下，未隔震結構的大多數層間位移角已超過了彈性層間位移角限值.可見在罕遇地震作用下，減震結構的整體可靠度比基礎隔震和未隔震結構的都要高得多.

5 結 論

1) 本文提出的CCIM其計算精度和計算效率要比PTIM的都要高，其計算結果逼近M-C的結果，而CCIM所需的計算時間卻比M-C的要少得多；CCIM能使結構反應方差在較短時間內收斂到穩定解.可見，本文提出的CCIM兼備高效率和高精度的特點，可望有極佳的工程應用前景.

2) 減震結構的樓層及隔震層位移、層間位移角和加速度方差比基礎隔震結構的都要小，前者的整體可靠度比基礎隔震和未隔震結構的都要高；薄弱層的存在對減震結構的整體可靠度幾乎沒有影響.可見，本文提出的“頂吸基隔”減震結構具有卓越的抗震性能，可望有良好的工程推廣價值.

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A New Method for Analyzing the Non-stationary Random Seismic Responses of Structure with Top-absorption and Base-isolation

MA Yong-quan?, QIU Hong-xing

(College of Civil Engineering, Southeast Univ, Nanjing, Jiangsu 210096, China)

To effectively suppress the larger displacement of both the isolation layer and the main structure of base-isolation structures, the top-absorption and base-isolation type seismic reduction structure (SRS) was designed, and a new non-stationary random seismic response analysis method applied to this structure was also presented. This seismic reduction structure was constructed by installing a tuned mass damper on the top of a base-isolation structure, and the hysteretic properties of both the isolation layer and each storey were simulated in Bouc-Wen and Bouc-Wen stiffness degradation model. The CCIM, which was applied to solve the non-stationary random response of SRS, was presented by introducing the composite Cotes integral into precise integral method and combining the pseudo excitation method. The dynamic reliability limits state equation, which took structural inter-storey displacement angle as the evaluation index, was established on the basis of the first excursion failure criterion. Both the high efficiency and the high precision of the CCIM were validated by computing the random seismic response of SRS and comparing CCIM's results with those of Monte Carlo method and time domain explicit Monte Carlo method, respectively. Taking the 30-storey steel frame structure as a numerical example, the random seismic response of SRS, base-isolation and non-isolation structures subjected to 8 and 9 degrees rare earthquake were computed, respectively. The analysis results indicate that the whole reliability of SRS presented is higher than those of base-isolation and non-isolation structures, and this SRS has great value in practical engineering.

buildings; seismic design; seismic response; tuned mass damper; precise integral method; dynamic reliability

1674-2974(2015)01-0031-09

2014-03-03

國家自然科學基金資助項目(51078077),National Natural Science Foundation of China(51078077)；“十二五”國家科技支撐計劃資助項目(2012BAJ14B00)

馬涌泉(1984-)， 男, 山東安丘人, 東南大學博士研究生?通訊聯系人，E-mail:lemon9143@163.com

O328; TU352.1

A