KdV方程的簡單行波解研究

羅廣輝，黃 英

(1.云南大學 數學與統計學院，云南昆明 650091;2.楚雄師范學院數學與統計學院，云南楚雄 675000）

1895年，荷蘭著名的數學家Korteweg和他的學生de Vries在對孤波進行全面分析后建立了KdV方程

隨著非線性現象研究的深入，人們發現有一大類描述非線性作用下的波動方程或方程組，在長波近似和小振幅假定下，均可歸納為著名的KdV方程(1），例如等離子體的磁流波、離子聲波、非諧振晶格的振動、液氣混合物中的壓力波以及低溫下非線性晶格的聲子波包的熱激發等等［1，2］.1965年，美國數學家Kruskal和Zabusky利用先進的計算機通過數值計算詳細研究了KdV方程兩波相互作用的全過程，發現孤波的形狀和速度保持不變而具有彈性散射性質，并將這種穩定的孤波稱為孤子，從此，一個研究非線性發展方程精確波解的熱潮在學術界蓬勃地開展起來［2，3］.方程(1）作為一個典型的孤子方程，它的精確解自然會引起研究者的極大關注［4，5，6，7，8，9］.然而，這些解都是通過非常復雜的方法計算出來的，它們的結構都比較復雜，如果把這些解作為計算多波解的初始解的話，計算量會非常大，使我們下一步的研究工作無法進行，所以，我們不禁把目光投向結構簡單的兩個經典行波解。

1 KdV方程的精確行波解

根據研究資料［2］，我們知道，1895年，Korteweg和de Vries用直接積分法建立起KdV方程(1）的Jacobi橢圓余弦波解

對于上述行波解，我們不敢斷言它們是新的，畢竟KdV方程(1）是著名的孤子方程，關于它的研究很多，但這些解可能會隨著不同的研究方法零星地出現在各種研究資料中，而我們卻通過簡單直接的猜測－待定系數法把它們集中展現給感興趣的研究者，如果把它們作為初始解去研究多重波解的話，這將會是一個好的開始，因為這些行波解的結構很簡單.

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