一般線性群的一類極大子群

袁 靜，楊橋艷

(1.安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽(yáng) 455000;2.保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南保山 678000）

1 簡(jiǎn)介

設(shè)F是一個(gè)有限域，V是F上的n維線性空間.定義一般線性群為.

則當(dāng)取定V的一組基V

1

，V

2

，…，V

n

之后，V的任一線性變換在這個(gè)基下是唯一確定的可逆方陣，于是GL(V）中每個(gè)可逆線性變換就與F上的一個(gè)n階可逆方陣一一對(duì)應(yīng).F上的全體n階可逆方陣構(gòu)成一個(gè)群，記為GL(n，F(xiàn)），稱為一般線性群.顯然，GL(n，F(xiàn)）與 GL(V）同構(gòu).此外，GL(n，F(xiàn)）中行列式等于1的全體矩陣構(gòu)成GL(n，F(xiàn)）的一個(gè)正規(guī)子群，記作 SL(n，F(xiàn)）.令 Ω ={＜v＞|v∈V{0}}，其中 ＜v＞表示v生成的子空間.

為了敘述的方便，下面我們給出群作用的一些基本的定義，可見(jiàn)參考文獻(xiàn)［1］.

定義1.1 設(shè) Δ ={α，β，…}是一個(gè)非空集合，其元素稱為點(diǎn).SΔ表示Δ上的對(duì)稱群.所謂群G在Δ上的一個(gè)作用φ指的是G到SΔ的一個(gè)同態(tài).即對(duì)每個(gè)元素x∈G，對(duì)應(yīng)Δ上的一個(gè)變換

(2）SL(V）可由所有平延生成.

有以上準(zhǔn)備工作之后，我們介紹本文的主要定理.

定理1.6 設(shè)V是有限域Fq上的n≥2維線性空間，G=GL(V）.若0?W?V是V的一個(gè)k維子空間，令，且Gw是G的極大子群.

注記:上述形如Gw的子群被稱為一般線性群的極大拋物子群，M.Aschbacher在文獻(xiàn)［3］中把典型群的極大子群分為九類，此類子群也被稱為C1類子群，是一類很重要的子群.

2 定理1.6的證明

由以上兩個(gè)引理，我們就完成了定理1.6的證明.

3 舉例及應(yīng)用

已知交錯(cuò)群A8與線性群GL(4，2）同構(gòu)，證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)［4，p41］，則我們可以應(yīng)用本文的主要定理決定A8的極大拋物子群.

［1］徐明曜，有限群導(dǎo)引上冊(cè)［M］，科學(xué)出版社，1999.

［2］Grove L.C.，Classical groups and geometric algebra［M］.American Mathematical Soc.，2002.

［3］Aschbacher M.，On the maximal subgroups of the finite classical groups［J］，Inventiones mathematicae，1984，76(3）:469－514.

［4］Huppert B.，Endliche gruppen I［M］.Springer－ Verlag，2013.

［5］Conway H.，Curtis R.T.，Norton S.P.，et al.Atlas of Finite Groups［J］.Oxford University Press，1985.