電荷體系在變化外電場中的能量(勢能）與受力

景義林

(安陽師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，河南安陽 455000）

文獻(xiàn)［1］分析了一定電荷分布的電荷體系在不變外電場(即當(dāng)電荷體系在外電場中的位置發(fā)生變化時(shí)，外電場的分布情況和產(chǎn)生外電場的電荷分布情況不變）中的能量，即一定電荷分布的電荷體系在不變外電場中的勢能。這種情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場中的能量(勢能）就是電荷體系與外電場的相互作用能。但在實(shí)際中，一般情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場中的位置發(fā)生變化時(shí)，外電場的分布情況和產(chǎn)生外電場的電荷分布情況會隨之而發(fā)生變化，這里，我們把這種外電場簡單稱之為變化外電場，如一定電荷分布的電荷體系周圍是導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體，這時(shí)，電荷體系所處的外電場就是導(dǎo)體上的電荷所產(chǎn)生的電場，當(dāng)電荷體系相對導(dǎo)體的位置發(fā)生變化時(shí)，導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體的電荷分布情況及其所產(chǎn)生的電場就會隨之而發(fā)生變化。那么，這種情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場中的能量(勢能）等于什么呢?還等于電荷體系與外電場的相互作用能嗎?本文擬分析這個(gè)問題，并根據(jù)勢能分析研究電荷體系的受力情況。

1 一定電荷分布的電荷體系所受變化外

電場的電場力也是保守力系，故一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中也具有勢能

先來說明一點(diǎn)。點(diǎn)電荷在導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體周圍時(shí)，所受導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體電場的電場力是保守力。

眾所周知，點(diǎn)電荷在電荷分布一定的帶電體所產(chǎn)生的靜電場中所受電場力是保守力，但當(dāng)點(diǎn)電荷在導(dǎo)體周圍(導(dǎo)體由于靜電感應(yīng)，要產(chǎn)生感應(yīng)電荷）或帶電導(dǎo)體周圍的靜電場中時(shí)，對應(yīng)于點(diǎn)電荷所在的每一個(gè)位置，都對應(yīng)著導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體的一個(gè)確定的不同的電荷分布。因此，點(diǎn)電荷相對于導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體位于不同位置時(shí)，對應(yīng)的導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體的靜電場嚴(yán)格說來并非同一個(gè)靜電場，但通過下面的分析，我們可以知道，電荷所受導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體靜電場的電場力依然是保守力。

當(dāng)點(diǎn)電荷位于導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體周圍某一位置(位矢為X）時(shí)，點(diǎn)電荷所受導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體電場的電場力及其旋度

一定電荷分布的電荷體系可看作是由相對位置一定的許多元電荷組成的。由此可知，當(dāng)一定電荷分布的電荷體系在外電場中的位置發(fā)生變化時(shí)，即使產(chǎn)生外電場的電荷分布情況和外電場的分布情況發(fā)生變化，電荷體系所受外電場的電場力也是保守力系，電荷體系在這樣的變化外電場中也具有勢能。

2 一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中的能量(勢能）

兩個(gè)電荷體系的能量，涉及到以下幾種:兩個(gè)電荷體系的總能，兩個(gè)電荷體系的自能，兩個(gè)電荷體系的相互作用能，一電荷體系在另一電荷體系電場中的能量即勢能。其中，兩個(gè)電荷體系的相互作用能是兩個(gè)電荷體系的總能與兩個(gè)電荷體系的自能之差。

為了研究一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中的能量(勢能），我們來看當(dāng)一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中從一位置移動(dòng)到另一位置時(shí)，電荷體系在外電場中的能量(勢能）的增量。按照勢能的定義，在外電場中，當(dāng)電荷分布一定的電荷體系從一位置移動(dòng)到另一位置時(shí)，電荷體系在外電場中的能量(勢能）的增量等于外力所做的功。與文獻(xiàn)【1】所述情況——即一定電荷分布的電荷體系在不變外電場中的情況不同的是，這里，當(dāng)一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中從一位置移動(dòng)到另一位置時(shí)，不僅一定電荷分布的電荷體系與產(chǎn)生變化外電場的電荷體系的相互作用能要發(fā)生變化，而且由于產(chǎn)生外電場的電荷分布情況和外電場要發(fā)生變化，故產(chǎn)生外電場的電荷體系的自能也要發(fā)生變化，這個(gè)能量的變化必然也是由于外力做功的緣故。因而外力做的功等于兩電荷體系相互作用能的增量與產(chǎn)生外電場的電荷體系自能的增量。故這種情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場中位于某一位置時(shí)，電荷體系在外電場中的能量(勢能）等于兩電荷體系的相互作用能與產(chǎn)生外電場的電荷體系的自能之和。

3 一定電荷分布的電荷體系在外電場中的受力

一定電荷分布的電荷體系在另一電荷體系電場中的能量(勢能）知道了，那么，根據(jù)勢能，我們即可求該電荷體系所受另一電荷體系電場的作用力了。

電荷分布一定的電荷體系的自由度是6，電荷體系的位置可用6個(gè)廣義坐標(biāo)來描述。設(shè)用電荷體系(剛體）上某一點(diǎn)(參考點(diǎn)）的直角坐標(biāo)x、y、z和過該點(diǎn)與電荷體系固連的某一有向直線與x、y、z軸的夾角 α、β、γ 為描述體系的廣義坐標(biāo)。則電荷體系在另一電荷體系電場中的勢能

4 舉例

一定電荷分布的電荷體系在變化外電場中的勢能

Ws1為產(chǎn)生變化外電場的電荷體系的自能，Wi為兩電荷體系的相互作用能。舉兩個(gè)特殊的例子。

例1 點(diǎn)電荷q距半徑為R0的接地導(dǎo)體球的球心為r，分析點(diǎn)電荷所受作用力。

解:這一例題中，電荷體系——接地導(dǎo)體球的電荷分布不僅隨它與另一電荷體系——點(diǎn)電荷q之間距離變化而變化，而且它的帶電量也隨二者之間距離的變化而變化。

根據(jù)鏡像法求解靜電場［1］的結(jié)果，我們可以求出接地導(dǎo)體球的感應(yīng)面電荷密度［2］

以上列舉的兩個(gè)簡單例子，對于處在變化外電場中的一定電荷分布的電荷體系都是再簡單不過的點(diǎn)電荷。單就這兩個(gè)例子來說，這里，我們利用其在外電場中的勢能來求解其受力，似乎有舍近求遠(yuǎn)、舍簡就繁的嫌疑，但就一般的一定電荷分布的電荷體系來說，知道了電荷體系在外電場中的勢能，我們就可根據(jù)勢能求其在外電場中的受力情況，就可利用拉格朗日方程求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這往往要比利用積分法求電荷體系的受力情況、利用牛頓定律求電荷體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律要簡單得多。

［1］郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)(第二版）［M］.北京:高等教育出版社，1997:91，72，74.

［2］倪忠楚.用電像法求電荷與導(dǎo)體間作用力時(shí)應(yīng)注意的一個(gè)問題［J］.物理與工程，2003，13(4）:19 －22.