淺析多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的教與學(xué)

周孝康++劉彬

摘 要：該文介紹了多元函數(shù)微分學(xué)章節(jié)中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的好方法和好思想。作者查閱了現(xiàn)今許多出版社出版的高職高專(zhuān)高等數(shù)學(xué)教材，此章節(jié)內(nèi)容還是停留在傳統(tǒng)的教法上。作者引進(jìn)了對(duì)復(fù)合函數(shù)變量間的依賴(lài)關(guān)系的研究及函數(shù)結(jié)構(gòu)圖、尤其是函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，充分利用幾何圖形形象地幫助學(xué)生理解了多元復(fù)合函數(shù)各變量之間的依存關(guān)系后，學(xué)生就能清晰、輕松、正確地寫(xiě)出各種不同類(lèi)型多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式。

關(guān)鍵詞：多元復(fù)合函數(shù) 結(jié)構(gòu)圖 求導(dǎo)法則 方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G412 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）12（c）-0120-02

進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，國(guó)家對(duì)高職高專(zhuān)教育的發(fā)展提出了更新的要求，高職高專(zhuān)應(yīng)該辦出特色、辦的更好，真正培養(yǎng)出高素質(zhì)的綜合型、應(yīng)用型人才，也就是說(shuō)高職高專(zhuān)教育更加注重學(xué)生的實(shí)踐和動(dòng)手操作能力，而相對(duì)的淡化理論教學(xué)研究，以必須、夠用為準(zhǔn)則、以教會(huì)、學(xué)會(huì)為目的，雖然現(xiàn)今的高職高專(zhuān)高等數(shù)學(xué)教材與本科的高等數(shù)學(xué)教材相比較，沒(méi)有強(qiáng)調(diào)理體系的系統(tǒng)性，主要突出應(yīng)用、淡化理論研究，但是現(xiàn)今高職高專(zhuān)的大部分學(xué)生文化基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，傳統(tǒng)的教學(xué)方法讓學(xué)生難以理解、接受和適應(yīng)，沒(méi)有體現(xiàn)出易教易學(xué)的準(zhǔn)則，特別是在多元函數(shù)微分學(xué)章節(jié)中復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式推導(dǎo)過(guò)程中，尤其顯示出易教而不易學(xué)的特點(diǎn)。而如在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式所起的重要作用，對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)來(lái)說(shuō)，情況也是如此：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是多元函數(shù)求導(dǎo)方法的靈魂。教師在課堂講授內(nèi)容時(shí)輕松、容易，學(xué)生也能聽(tīng)懂，但是課后學(xué)生一做題就發(fā)懵，不知如何下手，因?yàn)槎嘣瘮?shù)的復(fù)合函數(shù)形式千變?nèi)f化，相應(yīng)的求導(dǎo)公式就很多。

1 根據(jù)函數(shù)表達(dá)式寫(xiě)出多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式

（1）首先明確函數(shù)各變量間的復(fù)合關(guān)系，也就是弄清楚哪些是自變量、中間變量、因變量且構(gòu)成這些變量之間聯(lián)系的函數(shù)關(guān)系如何，以此寫(xiě)出函數(shù)結(jié)構(gòu)圖。

（2）根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，把函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量求導(dǎo)，找出連接該自變量通過(guò)中間變量達(dá)到函數(shù)的所有路徑，且路徑的條數(shù)等于求導(dǎo)公式中的項(xiàng)數(shù)，而每項(xiàng)中導(dǎo)數(shù)的個(gè)數(shù)等于對(duì)應(yīng)路徑中變量的個(gè)數(shù)。即：分路相加、連續(xù)相乘、分清變量、逐層求導(dǎo)。

2 典型例題

例1 求

函數(shù)結(jié)構(gòu)圖求導(dǎo)公式

注意：兩個(gè)自變量x、y到達(dá)函數(shù)Z的路徑都是兩條、因此每個(gè)求導(dǎo)公式中是兩項(xiàng)之和，u、v是中間變量、因此每項(xiàng)都是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積。

注意：兩個(gè)自變量x、y到達(dá)函數(shù)Z的路徑都是三條、因此每個(gè)求導(dǎo)公式中都是三項(xiàng)之和，u、v、w是中間變量、因此每項(xiàng)都是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積。

例3 求函數(shù)結(jié)構(gòu)圖求導(dǎo)公式

注意：自變量x到達(dá)函數(shù)Z的路徑有兩條、因此對(duì)x的偏導(dǎo)公式中是兩項(xiàng)之和，u、v是中間變量、因此每項(xiàng)是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積，而自變量y到達(dá)函數(shù)Z的路徑只有一條、因此對(duì)y的偏導(dǎo)公式只有一項(xiàng)，v是中間變量、因此該項(xiàng)是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積。

注意：自變量x到達(dá)函數(shù)Z的路徑有三條、因此對(duì)x的偏導(dǎo)公式中是三項(xiàng)之和，u、v是中間變量、因此每項(xiàng)是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積、自變量x直接到達(dá)函數(shù)Z、因此該項(xiàng)只有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，而自變量y到達(dá)函數(shù)Z的路徑有兩條、因此對(duì)y的偏導(dǎo)公式是兩項(xiàng)之和，u、v是中間變量、因此每項(xiàng)是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積。

例5 求（全導(dǎo)數(shù)）函數(shù)結(jié)構(gòu)圖求導(dǎo)公式

注意：自變量t到達(dá)函數(shù)Z的路徑有三條、因此對(duì)t的偏導(dǎo)公式中是三項(xiàng)之和，x、y是中間變量、因此每項(xiàng)是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積、自變量t直接到達(dá)函數(shù)Z、因此該項(xiàng)只有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，該例表面上是多元復(fù)合函數(shù)，但分別將x、y的表達(dá)式帶入函數(shù)z后，函數(shù)z實(shí)質(zhì)是t的一元函數(shù)，這是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為全導(dǎo)數(shù)，也就是說(shuō)，全導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只是求導(dǎo)的過(guò)程是借助于偏導(dǎo)數(shù)來(lái)完成的。

例6

求二階偏導(dǎo)數(shù)，

解：函數(shù)結(jié)構(gòu)圖

注意：本例是求多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)（二階），比多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多了一個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)。在求二階偏導(dǎo)數(shù)前，首先把一階偏導(dǎo)數(shù)求出，這是難點(diǎn)，如果把一階偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式中的y看成是常量后對(duì)x求導(dǎo)，就求出了函數(shù)對(duì)x的二階偏導(dǎo)數(shù)，如果把x看成常量后對(duì)y求導(dǎo)，就求出了二階混合偏導(dǎo)數(shù)。

3多元函數(shù)的復(fù)合可以是多種多樣的，這里不在一一列舉，通過(guò)以上實(shí)例，我們不難看出：對(duì)于一個(gè)多元復(fù)合函數(shù)，它的一階偏導(dǎo)數(shù)的個(gè)數(shù)取決于復(fù)合函數(shù)本身自變量的個(gè)數(shù)，而每一個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)公式中，項(xiàng)數(shù)的多少取決于與此自變量有關(guān)的中間變量的個(gè)數(shù)，且每一項(xiàng)相乘因子的個(gè)數(shù)，取決于該函數(shù)復(fù)合的層數(shù)，在求多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，首先求出低階偏導(dǎo)數(shù)，再在低階偏導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上求偏導(dǎo)，就可以求出高階偏導(dǎo)數(shù)，如（例6）。俗語(yǔ)：要想給學(xué)生一杯水，老師應(yīng)首先有一桶水的功力。教師在授課時(shí)，自己應(yīng)該思路清晰，講解準(zhǔn)確、細(xì)致，學(xué)生上課時(shí)認(rèn)真聽(tīng)講，掌握方法，善于分析函數(shù)間的復(fù)合關(guān)系，不要死記硬背，做練習(xí)時(shí)首先摸清函數(shù)變量之間的關(guān)系，然后寫(xiě)出結(jié)構(gòu)圖，再寫(xiě)出求導(dǎo)公式，以后再遇見(jiàn)此類(lèi)習(xí)題時(shí)，思路就不會(huì)混亂，無(wú)論是多么復(fù)雜，怎么變化的題型均能迎刃而解了。

參考文獻(xiàn)

[1] 侯風(fēng)波.高等教學(xué)[M].2版.高等教育出版社，2003.

[2] 裴學(xué)重.高等數(shù)學(xué)（一）學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].1版.中國(guó)經(jīng)濟(jì)出版社.2001.

[3] 周孝康.高等數(shù)學(xué)[M].1版.北京師范大學(xué)出版社，2007.endprint