淺析多元復合函數求導法則的教與學

周孝康++劉彬

摘 要：該文介紹了多元函數微分學章節中復合函數求導法則的好方法和好思想。作者查閱了現今許多出版社出版的高職高專高等數學教材，此章節內容還是停留在傳統的教法上。作者引進了對復合函數變量間的依賴關系的研究及函數結構圖、尤其是函數結構圖，充分利用幾何圖形形象地幫助學生理解了多元復合函數各變量之間的依存關系后，學生就能清晰、輕松、正確地寫出各種不同類型多元復合函數的求導公式。

關鍵詞：多元復合函數 結構圖 求導法則 方法

中圖分類號：G412 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）12（c）-0120-02

進入21世紀以來，國家對高職高專教育的發展提出了更新的要求，高職高專應該辦出特色、辦的更好，真正培養出高素質的綜合型、應用型人才，也就是說高職高專教育更加注重學生的實踐和動手操作能力，而相對的淡化理論教學研究，以必須、夠用為準則、以教會、學會為目的，雖然現今的高職高專高等數學教材與本科的高等數學教材相比較，沒有強調理體系的系統性，主要突出應用、淡化理論研究，但是現今高職高專的大部分學生文化基礎相對薄弱，傳統的教學方法讓學生難以理解、接受和適應，沒有體現出易教易學的準則，特別是在多元函數微分學章節中復合函數的求導公式推導過程中，尤其顯示出易教而不易學的特點。而如在一元函數中，我們已經知道復合函數的求導公式所起的重要作用，對于多元復合函數來說，情況也是如此：多元復合函數求導法則是多元函數求導方法的靈魂。教師在課堂講授內容時輕松、容易，學生也能聽懂，但是課后學生一做題就發懵，不知如何下手，因為多元函數的復合函數形式千變萬化，相應的求導公式就很多。

1 根據函數表達式寫出多元復合函數的求導公式

（1）首先明確函數各變量間的復合關系，也就是弄清楚哪些是自變量、中間變量、因變量且構成這些變量之間聯系的函數關系如何，以此寫出函數結構圖。

（2）根據函數結構圖，把函數對某個自變量求導，找出連接該自變量通過中間變量達到函數的所有路徑，且路徑的條數等于求導公式中的項數，而每項中導數的個數等于對應路徑中變量的個數。即：分路相加、連續相乘、分清變量、逐層求導。

2 典型例題

例1 求

函數結構圖求導公式

注意：兩個自變量x、y到達函數Z的路徑都是兩條、因此每個求導公式中是兩項之和，u、v是中間變量、因此每項都是兩個偏導數的乘積。

注意：兩個自變量x、y到達函數Z的路徑都是三條、因此每個求導公式中都是三項之和，u、v、w是中間變量、因此每項都是兩個偏導數的乘積。

例3 求函數結構圖求導公式

注意：自變量x到達函數Z的路徑有兩條、因此對x的偏導公式中是兩項之和，u、v是中間變量、因此每項是兩個偏導數的乘積，而自變量y到達函數Z的路徑只有一條、因此對y的偏導公式只有一項，v是中間變量、因此該項是兩個偏導數的乘積。

注意：自變量x到達函數Z的路徑有三條、因此對x的偏導公式中是三項之和，u、v是中間變量、因此每項是兩個偏導數的乘積、自變量x直接到達函數Z、因此該項只有一個偏導數，而自變量y到達函數Z的路徑有兩條、因此對y的偏導公式是兩項之和，u、v是中間變量、因此每項是兩個偏導數的乘積。

例5 求（全導數）函數結構圖求導公式

注意：自變量t到達函數Z的路徑有三條、因此對t的偏導公式中是三項之和，x、y是中間變量、因此每項是兩個偏導數的乘積、自變量t直接到達函數Z、因此該項只有一個偏導數，該例表面上是多元復合函數，但分別將x、y的表達式帶入函數z后，函數z實質是t的一元函數，這是復合函數的導數就是一個一元函數的導數，稱為全導數，也就是說，全導數實際上是一元函數的導數，只是求導的過程是借助于偏導數來完成的。

例6

求二階偏導數，

解：函數結構圖

注意：本例是求多元復合函數的高階偏導數（二階），比多元函數的偏導數多了一個二階混合偏導數。在求二階偏導數前，首先把一階偏導數求出，這是難點，如果把一階偏導數表達式中的y看成是常量后對x求導，就求出了函數對x的二階偏導數，如果把x看成常量后對y求導，就求出了二階混合偏導數。

3多元函數的復合可以是多種多樣的，這里不在一一列舉，通過以上實例，我們不難看出：對于一個多元復合函數，它的一階偏導數的個數取決于復合函數本身自變量的個數，而每一個一階偏導數公式中，項數的多少取決于與此自變量有關的中間變量的個數，且每一項相乘因子的個數，取決于該函數復合的層數，在求多元復合函數的高階偏導數時，首先求出低階偏導數，再在低階偏導數的基礎上求偏導，就可以求出高階偏導數，如（例6）。俗語：要想給學生一杯水，老師應首先有一桶水的功力。教師在授課時，自己應該思路清晰，講解準確、細致，學生上課時認真聽講，掌握方法，善于分析函數間的復合關系，不要死記硬背，做練習時首先摸清函數變量之間的關系，然后寫出結構圖，再寫出求導公式，以后再遇見此類習題時，思路就不會混亂，無論是多么復雜，怎么變化的題型均能迎刃而解了。

參考文獻

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