結構力學位移法解題難點及教學對策研究

徐豐等

摘要：文章以一次結構力學課程考試為切入點，對其中考查學生對位移法掌握情況的試題，按解題步驟進行得分統計分析，認為此題得分率較低的原因是大部分學生不能準確計算位移法基本方程的剛度系數和自由項。文章提出，對于有兩個及兩個以上基本未知量的位移法計算題，只要確保在整個解題過程中附加約束單位位移的參考方向不改變，每個附加約束上約束力的參考方向設置一致且不改變，就能夠避免將剛度系數和自由項計算錯誤。

關鍵詞：試卷分析；結構力學；位移法；參考方向；教學研究

結構力學課程是土建、水利、力學等專業的一門重要的學科基礎課，而位移法這部分內容又是結構力學課程教學的重中之重[1]。學生能否快速而準確地利用位移法進行結構分析，不僅可以檢驗他們對前面已學各章節知識點（包括靜定結構的受力分析、力法等）的掌握程度，而且對他們后續各章節（包括漸進法、矩陣位移法、動力學基礎）內容的學習效果有很大影響，是學習后續相關知識的基礎[2]。筆者認為，學生在試卷上的失分點正是教學中的重難點。本文通過一次結構力學課程考試的分析與反思，總結出學生在利用位移法解題時所遇到的普遍問題，提出了一套克服這一問題的解題技巧，以供相關專業師生參考。

一、難點探尋

通過基本體系建立位移法基本方程是絕大多數院校結構力學課程教學大綱要求必須掌握的內容。基于基本體系的位移法解題步驟是：（1）加入附加約束，阻止剛結點的轉動和各結點的移動，得到一個由單跨超靜定梁的組合體作為基本結構；（2）使基本結構承受原來的荷載，并令附加約束發生與原結構相同的位移，得到基本體系；（3）根據基本體系附加約束上的約束力矩或約束力等于零的條件，建立位移法基本方程；（4）解算位移法基本方程，求出基本求知量；（5）按疊加法繪制彎矩圖[3]。

上述解題步驟具有很強的程式化特性，只要按部就班地推進，就能得到正確的計算結果。然而，從近年來的課程考試、專業競賽和考研的情況來看，學生們對基于基本體系的位移法掌握得并不理想。以筆者所在學校武漢工程大學2013-2014學年第一學期結構力學課程考試為例，參試的91名學生在分值為15分的位移法計算題中的整體得分率最低，僅有6名學生15分。該題原題是：用位移法求圖示結構（見圖1）的M圖，各桿抗彎剛度均為EI。

由統計結果可以看到，絕大部分學生可以正確識別基本未知量的個數，并得到基本結構和基本體系（見圖4），即能順利完成步驟一和步驟二。但在能夠完成步驟二的83名學生中，僅有12名能夠完成步驟三，即正確建立位移法基本方程。在這12名學生中，又只有8名學生能夠正確解得基本未知量，即完成步驟四。這8名學生中又僅有6名能夠正確繪制出彎矩圖，即完成步驟五，進而圓滿求解該題，拿夠滿分15分。

筆者對部分考試失利的學生進行了試后調查。在受訪的10名學生中，有9人確認能夠理解通過基本體系建立位移法基本方程的基本原理；在這9人中又有7人認為自己可以快速寫出具有兩個基本未知量的位移法基本方程組[如式（1）所示]，并能理解方程組中剛度系數和自由項的力學含義。但受訪的10名學生均表示，在求剛度系數k11、k12、k21和k22以及自由項F1P和F2P時，這些量的符號的判斷與選用成為困擾他們的因素。他們不知道作為矢量的剛度系數和自由項究竟是以順時針為正，還是以逆時針為正，或究竟是以水平向左為正，還是以水平向右為正。

顯然，式（1）中的4個剛度系數和2個自由項總共6個量中，任意一個求錯了，即使錯了一個符號，都會導致基本未知量Δ1和Δ2無法正確計算，最終前功盡棄。因此，不能準確求得位移法基本方程中的剛度系數和自由項是學生運用位移法解題的難點所在。

在目前使用甚廣的一些經典結構力學課程教材中，結點轉角、弦轉角、桿端彎矩等矢量均以順時針為正，但沒有對附加約束力（或約束力矩）的正負作規定[3-4]，使得學生在構建位移法基本方程組時遇到剛度系數和自由項符號混亂的問題。如果能將符號混亂的問題解決好，上述運用位移法解題的難點就可以得到解決。

二、難點攻克

上述考題涉及超靜定結構是有側移的剛架，具有結點轉角和線位移兩種基本未知量，頗有代表性。本文以該題的解答為例，提出一套避免剛度系數和自由項符號發生混亂的解題規則，以指導學生憑借該規則準確建立位移法基本方程。這套規則有以下兩個方面的內容。

（一）規定附加約束單位角位移和線位移的參考方向

需要指出的是，在計算剛度系數之前，選擇上述四種方向組合中的任意一組作為附加約束單位角位移和線位移的參考方向都是可行的。但附加約束單位角位移和線位移的參考方向一經選定，在后續計算剛度系數的過程中就不可改變，否則會導致剛度系數的符號出錯。在求解上述題目的過程中，本文擬假設附加剛臂約束的單位角位移發生在順時針方向上，附加鏈桿約束的單位線位移水平向右，亦即基本結構的M1圖和M2圖與表1中基本未知量參考方向的組合一相對應。

（二）規定附加約束上約束力矩和約束力的參考方向

在規定了附加約束單位角位移和線位移的參考方向之后，就可以進行剛度系數

上述計算剛度系數和自由項的過程雖然順理成章，但其中隱藏著符號的規定。如果學生對此符號的規定認識模糊，就很有可能不能準確計算剛度系數和自由項。為了把這里的符號規定表達清楚，本文特用圓圈和矩形框區別圖5中的矢量，用實線和虛線區別這些矢量的標線。具體來說，圖5中被矩形框標示的矢量的大小均為各桿件形常數或載常數的絕對值，它們的方向均由前述附加約束的單位位移的參考方向所決定，矢量標線均用實線表示。圖5中被圓圈標示的矢量是附加約束上的約束力或約束力矩，矢量標線均用虛線表示。從力學含義上來看，

從數學的角度看，這種基本未知量求解結果在圖7所示附加約束上約束力矩和約束力參考方向的四種組合情況下不發生改變的現象，可以用線性方程組的增廣矩陣作線性變換后方程組的解不變的特性來解釋。

三、延伸思考

可以看到，列出位移法基本方程的過程就是對基本體系附加約束上的若干約束力求和，并令此和為零的過程。這里的若干約束力之和從本質上講是若干共線矢量之和，而對共線矢量求和是必須在一定的參考方向下實施的，所以參考方向的規定十分重要。必須指出，參考方向一經規定，解題中就不可再改變，否則極易導致剛度系數和自由項被計算錯誤。

在用基于基本體系的位移法求解超靜定結構時，如果基本未知量的個數達到兩個或兩個以上，矢量參考方向就存在多種組合。一般而言，附加約束單位位移的參考方向一經確定，基本方程的解在每個附加約束上約束力的參考方向設置一致的前提條件下，不隨其組合的改變而改變（其數學背景已在上文中說明）。另外，附加約束單位位移參考方向組合有多種，在每種組合下，基本方程的解只存在符號上的差別，最終得到的M圖不因這種差別而改變。以本文例題為例，附加約束單位位移的參考方向有四種組合，附加約束上約束力的參考方向組合也有四種組合，故此題在不同參考方向體系下的解題路徑共有16條，但最終得到的M圖有且僅有一個，可謂殊途同歸。圖8將位移法的這種特點展現了出來。

圖8不同參考方向組合下的解題路徑

四、結語

（1）通過“按步驟給分”的命題和閱卷方式、篩分式的卷面分析法以及對考試失利學生進行試后訪談，可以找到學生所遇到的解題難點和學習障礙。

（2）結構力學教材對附加約束的單位位移和約束力的符號未作規定，導致學生在采用基于基本體系的位移法解題時，容易因“符號混亂問題”而將基本方程中的剛度系數和自由項求錯，這是學生解答該類問題時普遍遇到的難點。

（3）對于有兩個及兩個以上基本未知量的位移法計算題，只要確保在整個解題過程中附加約束單位位移的參考方向不改變，每個附加約束上約束力的參考方向設置得一致且不改變，就能夠避免上述將基本方程中的剛度系數和自由項求錯的問題。

總之，結構力學課程任課教師應在教學過程中，將符號規定及其在解題過程中所產生的影響講深講透，加深學生對符號問題的認識，同時要求學生減少解題出錯的幾率。

參考文獻：

[1] 李國華，羅健，董軍，戚承志. 結構力學教學方法研究[J].高等建筑教育，2012，21（1）：81-83.

[2] 朱少云. 位移法典型方程的取舍對結構力學教學的影響[J].力學與實踐，2000，22（4）：50-51.

[3] 龍馭球，包世華，袁駟. 結構力學I—基本教程[M].3版北京：高等教育出版社，2012.

[4] 龍馭球，包世華，袁駟. 結構力學I—基本教程[M].3版北京：高等教育出版社，2012.

[5] 朱慈勉，張偉平. 結構力學：上冊[M].2版北京：高等教育出版社，2009.