基于任意張角曲線的8字凸輪小車

廖智雄 彭松林 胡 南 余五新（江漢大學，湖北 武漢 430056）

1 前言

“第四屆全國大學生工程訓練綜合能力競賽”要求設計一輛能利用重物重力勢能驅動小車自動行走避障，軌跡類似“8”字形的無碳小車。尋找或構造“8”字形曲線的常見方法有以下兩種：一種是尋覓現有的連續曲線，并能直接得到該曲線方程，譬如伯努利雙紐線。另一種是構造類“8”形曲線，譬如利用圓弧與正余弦曲線來構造。但是，利用以上兩種方式不能做到所構造曲線具有任意張角（曲線中間相交的夾角）。曲線具有較大張角具有如下優點：（1）更便于小車繞障；（2）更便于小車繞過間距較小障礙物。構造具有任意張角的類“8”字形曲線，有兩種方式，一種利用多項式構造類“8”字形曲線，另外一種是利用樣條曲線構造類“8”字形曲線。本文主要探討了利用樣條曲線來構造具有任意張角的類“8”字形曲線。

2 利用樣條曲線構造類“8”字形曲線

為保證曲線在各結點處二階導數相等，曲線連續光滑，選用三次樣條曲線來構造類“8”字形曲線。 通過調整曲線參數，曲線張角將隨之改變。具體計算過程可根據實際需要進行參數調整，首先選用兩段自定角度圓弧來參與構造過程。

圖1 利用半圓弧和樣條曲線構造的“8”字形曲線

右圓弧圖示角度為α1，半徑為r1；左圓弧圖示角度為α2，半徑為r2；1、2、3、4為樣條曲線與圓弧的結點，為保證小車轉向正常，需保證結點處樣條曲線與圓弧段二階導數相等。此處利用matlab中的caspe函數來實現結合點處樣條曲線與圓弧段二階導數相等。

pp=csape（x，y，conds，valconds）

邊界類型選定second，即給定邊界二階導數。右圓弧的圓心坐標為B（a，0），左圓弧的圓心坐標為A（b，0）。

則左圓弧的方程為：

右圓弧的方程為：

圓的一階導數為：

圓的二階導數為：

圓的曲率半徑為：

對樣條曲線的長度計算可以選用樣條操作函數fnint（求積分）、fnder（求微分），本文采用微元法的思想來計算擬合曲線段的長度：

每一曲線段細分程度越高，計算出得到的曲線長度精度也就越高。

3 小車實際行走過程中的位置關系分析

圖2 簡化小車結構圖

小車左輪為主動輪，前輪轉向中心距主動輪中心縱向距離為d，距凸輪中心縱向為l；主動輪距前輪轉向中心橫向距離為α1；從動輪距前輪轉向中心橫向距離為α2；小車傳動比為i。在小車上以主動輪中心點為原點建立坐標系，前輪轉向中心法線方向與主動輪法線方向的夾角為α，即前輪轉角為α。則小車在左轉、右轉過程中的瞬時轉彎半徑為：

4 小車運動過程中的凸輪位置關系

小車轉向桿的長度為L1，頂桿長度為L2，凸輪在每一位置對應的極徑為A。小車在左轉、右轉過程中，凸輪上都有唯一的一點與頂桿相對應，根據這一確定的位置關系，可推知小車左轉、右轉存在：

運動過程中，小車左輪為主動輪，以小車左輪為坐標原點，建立動系【3】， 則動系與定系間的坐標轉換關系為：

5 小車運動過程的整體分析

重物下降的高度為h；繩輪轉過角度為：θ1；主動輪過角度為：θ2；凸輪轉過角度：θ1；主動輪半徑為：R；繩輪轉過dθ1的角度，凸輪轉過dθ1角度，主動輪轉過idθ1角度，則有：

小車實際走行走路程為：

由小車設計結構有：凸輪轉動一周，小車恰好能夠行走一個類“8”字形軌跡，類“8”字形曲線總長為定值。

6 刻畫凸輪

刻畫凸輪時應尋覓關系式為：

但在計算曲線段長度過程中采用的微元法，因此，換用小車所走過曲線段長度占曲線總長比例來刻畫凸輪。 由以上各關系式彼此之間的關系可總結如下：

取坐標原點為發車位置，利用matlab【4】編寫程序實現上述過程即可，將matlab運行后計算得到的凸輪點坐標保存后導入SolidWorks中，利用樣條曲線平滑連接即可得到凸輪三維模型。

結語

利用樣條曲線和一定角度的圓弧來構造類“8”字形曲線，能夠得到具有任意張角的類“8”字形曲線，但對于凸輪本身而言，為使其較為平滑，需要對其中的部分參數進行多次調整與更改。

[1]項琴.雙紐曲線在互通式立交線形設計中的應用研究[D].重慶交通大學，2009.