Gassmann方程的應用推導

由榮軍 趙正國

（1.中國礦業大學銀川學院 礦業工程系，寧夏 銀川 750011；

2.神華寧夏煤業集團有限責任公司煤炭化學工業分公司，寧夏 銀川 750411）

Gassmann方程是Gassmann于1951年提出的關于預測巖石體積壓縮模量的計算公式。通過該方程建立了巖石體積壓縮模量、孔隙度孔隙流體的體積壓縮模量、巖石骨架的體積壓縮模量以及造巖礦物的體積壓縮模量之間的關系。同時Gassmann方程還推導出含氣飽和巖石的剪切模量和含水飽和巖石的剪切模量基本相同。隨著時間的推移，Gassmann方程在實際應用中得到了越來越廣泛的應用。從80年代中期開始，隨著橫波勘探的和AVO技術的發展，以及縱波勘探的技術不斷進步，特別是對地下真振幅的恢復，這使利用地震信息直接勘探油氣和區分地下巖性提供了有效的技術支持，極大地促進了巖石彈性物理研究的進步，同時也為利用不同的地震信息區分巖性直接勘探油氣提供了基礎。

1 Gassmann方程的推導

在推導過程中，其樣品的模型為一塊有一定孔隙度的巖石，體積為V，含有流體的體積為Vf，孔隙度φ定義為：

該巖石樣品在宏觀上是各向同性，在微觀上是各向異性的。其宏觀上的各向同性是指孔隙的大小遠小于地震波的波長。因此，在地震波擾動的半個周期內，子啊孔隙流體和包圍孔隙的巖石骨架構成的小體積元上，地震波擾動施加的應力能夠從初始狀態達到新的平衡狀態。而巖石的微觀各向異性是指巖石總是有孔隙的，從而造成了巖石在各個方向上受應力應變后，得到的結果也相應不同。

假設巖石樣品的孔隙是彼此連通的，因此，在開放的環境下，巖石在收到不平衡的應力作用時孔隙中的流體是可以流動的，同樣也可以通過巖石樣品表面的孔隙排除巖石。佳冬地震波的擾動足夠小，滿足胡克定律的適用條件。即上述要求的假定要與實際勘探的對象的條件要相符。

現考慮兩種極端情況下的應力與應變的關系：第一種情況是在開放條件下，由于孔隙中的流體能夠流動和被排除巖石，此時應力應變僅僅作用在巖石骨架上，孔隙流體受到的流體靜壓力保持不變；第二種情況是在封閉的環境下，孔隙流體不能隨便流動，應力變化同時作用在孔隙流體和巖石骨架上，此時的有效力等于圍壓與孔隙壓強之差。第一種情況能夠在實驗室環境中模擬得到；而第二種情況是地下巖石的真實狀態。

在公示推導中，為使用方便，引入以下變量：

x，y，z代表空間直角坐標分量；

代表應力變化引起的位移；u，v，w是標量函數；i，j，k是單位矢量；

Δei 代表空間線性應變分量或角應變分量；

κf表示孔隙的體積壓縮模量；

對于采用的巖石樣品，它在彈性極限范圍內，廣義胡克定律規定了應力和應變的線性關系，其關系如下：

圖1 流體計算模型

由于彈性能量是應變的單值函數，所以有：

同時 Love 證明，對于各向同性介質有：

而且，其余的 24 個系數全為零；類似的，在封閉條件下：

同樣

表1 模型相關參數

表2 空隙流體參數

在以上各式中：i=1，2，……，6；j=1，2，……，6（下同）

由此可以看出，Gassmann 方程推定開放條件下和封閉條件下的廣義胡克定律規定的彈性系數有以下關系：

其中：

取（9）式的任意一個Cij并且i = j， i ≤ 3， j ≤ 3，可得：

取（9）式中任意一個Cij并且4 ≤ i ≤ 6，可得：

由上述兩式并利用體積壓縮模量與拉梅常數的關系，可得：

其中：

κ為孔隙流體飽和巖石的體積模量；

κf為孔隙流體的體積模量；

κs為基質（顆粒）的體積模量；

κd為骨架的體積模量；

φ為孔隙度。

2 Gassmann方程的應用

在 Gassmann 方程的應用中，主要是進行流體替換模型的試算。其中主要的原理是通過計算含飽和流體巖石的體積壓縮模量和剪切模量計算巖石的速度。

利用 Gassmann 方程計算的κ和μ計算橫波和縱波速度：

巖石的密度為：

其中：

ρ為巖石的密度；

ρs為巖石骨架的密度；

ρf為巖石孔隙流體的密度。

而流體的壓縮模量是通過 Wood 方程進行計算的：

其中：

κf是流體總的體積壓縮模量；

κf1、κf2、κf3是流體每種流體的體積壓縮模量；

S1、S2、S3分別是其中每種流體的飽和度， 其中：

在本文中采用的計算模型為：

其他參數：

孔隙度：PP=0.2，砂巖κs=36.6；

主要的計算流程為：

（1）計算初始飽和巖石對應的（κs、κf、φ）1；

（2）根據速度計算公式計算初始飽和巖石的（κ、μ）1；

（3）根據 Gassmann 方程反求初始飽和巖石對應的（κd、μd）1，并計算干巖石泊松比δd；

（5）計算新的飽和巖石對應的（κs、κf、φ）2，并通過密度混合公式計算ρ2；

（7）根據干巖石泊松比δd和（κd）2計算（μd）2；

（8）在求得（κd、κs、κf、μd、φ）2的基礎上、利用 Gassmann 方程計算（κ、μ）2，從而計算Vp、Vs；

模型計算結果如圖2所示。

結語

本文主要進行了Gassmann方程的推導、流體替換模型的計算。

通過推Gassmann方程的推導，進一步加深了對Gassmann方程的認識和了解。在Gassmann的推導過程中，首先由廣義胡克定律導出開放條件和封閉條件下的應力和應變的線性關系，再由Gassmann推出的開放條件和封閉條件下的彈性系數關系導出Gassmann方程。進一步了解了Gassmann方程是如何建立起了巖石的體積壓縮模量和巖石骨架，孔隙流體和造巖礦物體積模量及孔隙度的關系的。

通過流體替換模型的計算，分別顯示出了巖石孔隙中充填不同流體時，地震旅行時和地震反射系數的變化情況，由上圖可以看出，在巖石含氣時，巖石速度變化最為敏感，即使少量含氣，也會使縱波速度大大降低。同時也認識到不同流體對地震剖面的影響，以及地震波旅行時及反射系數是如何隨著流體的含量變化而變化的。有利于建立對Gassmann 方程的正確認識。同時 Gassmann 方程的應用很大程度上方便了對油氣的識別，在解釋工作中起著重要的作用。

圖2 流體模型計算結果

圖3 砂巖層速度變化曲線

圖4 旅行時變化曲線

圖5 頂界面反射系數曲線

圖6 底界面反射系數曲線

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