正弦波電動勢永磁無刷直流電動機穩態特性計算

趙 鵬，賈 晶，王瑞琪，于 芃，孫樹敏，毛慶波

(國網山東省電力公司電力科學研究院，濟南250002)

0 引 言

對于采用電子換相的永磁無刷直流電動機，由于換相是在相繞組之間進行，其換相電感遠大于有刷直流電動機的換相電感，傳統忽略繞組電感的電路模型在預測電機性能時存在一定的誤差，對高速永磁無刷直流電動機，繞組電感及其換相過程對電機的性能影響更加明顯。根據氣隙磁場波形和繞組形式的不同，永磁無刷直流電動機一般是正弦波反電勢或梯形波反電勢，常將永磁無刷直流電動機視為梯形波反電勢。但在許多應用領域，即使是方波氣隙磁場，但由于采用分布繞組，也會形成正弦波反電勢。

目前一些學者研究了計及繞組電感的方波永磁無刷直流電動機電流的計算，但對正弦波永磁無刷直流電動機、并考慮電感和換相過程的研究不多。本文針對正弦波電動勢永磁無刷直流電動機的穩態特性計算，詳細分析了兩相導通星形三相六狀態的運行模式，基于相繞組端電壓方程，建立了相電流解析計算公式。根據三相繞組的對稱性，將整個計算周期縮短為1/6 周期進行求解，即對電機運行一個周期六個狀態中的一個狀態進行求解，解決了解析計算所需的初始條件求解問題，實現了正弦波電動勢永磁無刷直流電動機的穩態性能仿真。

1 電機本體的結構和電路模型

圖1 為典型兩相導通星形三相六狀態永磁無刷直流電動機及其控制系統等路圖。

圖1 永磁無刷直流電動機及其控制系統等效電路圖

為了簡化正弦波永磁無刷直流電動機穩態特性的計算，做如下假設:

(1)功率半導體器件均為理想開關元件，忽略管壓降。

(2)三相繞組空間上對稱分布，各相繞組的等效電路參數對應相等，忽略磁路飽和的影響。

(3)轉子永磁體產生的氣隙磁場按正弦波分布，反電勢為標準的正弦波。

對于圖1 的電機模型，永磁無刷直流電動機三相繞組的電壓平衡方程組:

式中:R 為定子繞組每相電阻;Lσ為定子繞組每相電感;un為中位點對地電壓;ua，ub，ub為三相繞組端電壓;ia，ib，ic為三相繞組相電流;ea，eb，ec為三相繞組反電勢。

正弦波永磁無刷直流電動機三相繞組的反電勢:

式中:ωr為轉子的電角速度;θ0為轉子角位移的初始值;Em為反電勢幅值。

2 正弦波電動勢永磁無刷直流電動機的穩態特性計算

對于兩相導通三相六狀態正弦波永磁無刷直流電動機，逆變器為120°導通方式，由于繞組電感的影響，功率開關元件存在換流重疊過程，電機的每種運行狀態將包含:①只有兩個功率開關元件導通的模式;②同時有兩只功率開關管和一只續流二極管導通的換相模式。但每種狀態下兩種導通模式總的延續時間仍為1/3 周期，一個完整運行周期包含6種狀態。表1 給出了六種狀態下開關元件、二極管的導通情況以及對應的導通時間。

考慮到電機運行模式的周期性和三相繞組電流的對稱性，可將表1 中狀態1 作為計算區間，即僅以AB 導通到AC 導通的換相模式和AC 導通模式為例分析正弦波永磁無刷直流電動機的運行模式，它開始于晶體管VT6 關斷時刻，終止于VT3 導通時刻，如圖2 所示。

為了在選定的分析區間內明確劃分出換相模式和導通模式的持續時間，需要求解換相時間tc和初始電流I0。最后，根據三相繞組電流的對稱性，其余5 種狀態可由狀態1 的計算結果獲得。圖3 為120°導通模式一個周期內的A 相電流。

表1 永磁無刷直流電動機的導通模式

2.1 換相模式

以AB 導通到AC 導通的換相模式的起始時間為初始時刻。此時，轉子位于θ0=π/2 處［5］，A 相和B 相的初始電流ia(0 +)=ib(0 +)=I0，換相時間為tc。根據等效電路圖2(b)，回路電流方程:

根據式(3)求得換相模式三相電流表達式:

式中:τ=Lσ/R，τ 為電磁時間常數。

2.2 導通模式

當B 相電流衰減為零，即ib(tc)=0，換相模式結束。電機進入AC 導通模式，導通時間為tc≤t≤t2。根據圖2(c)，回路電流方程:

根據式(5)求得換相模式三相電流表達式:

2.3 計算換相時間和初始電流

當逆變器運行在120°導通模式下，AB 導通到AC 導通換相模式結束時，B 相電流變為零，即:

當電機運行在AC 導通到BC 導通的換相模式時，A 相的電流變化了1/6 周期，根據三相變量60°對稱關系［6］，此刻A 相的初始電流也為I0，即:

式中:

合并式(8)和式(9)，得到只包含未知量tc的方程:

由于式(10)是包含未知量tc的超越方程，無法求得解析值，可采用Newton- Raphson 方法迭代求解。

求得換相時間tc后，通過式(8)求得初始電流I0，并通過式(4)和(6)求得狀態1 的A 相、B 相和C相繞組電流。根據電機運行模式的周期性和三相電流的對稱性，求得表1 中其余5 個狀態的A 相電流。

由圖3 可得A 相繞組處于導通模式期間的平均電流:

正弦波永磁無刷直流電動機的電磁轉矩可由電磁功率和機械角速度值求出:

式中:p 為電機的極對數。

由圖3 和式(12)可得電機的平均電磁轉矩:

3 計算實例與仿真波形

樣機是外轉子方波永磁無刷直流電動機，額定電壓U =48 V，極對數p =23，每相繞組電阻R =0.312 Ω，每相繞組電感Lσ=0.512 mH，電機轉速n=350 r/min，對應反電勢幅值Em=22.67 V。

圖4 為通過有限元分析獲得的電機氣隙磁密波形及實測反電勢波形。從圖4 可見，盡管電機的氣隙磁密為梯形波，但繞組反電勢波也有正弦化的趨勢。

為獲得正弦波氣隙磁場，對該方波永磁無刷直流電動機的磁鋼進行不均勻氣隙改造，經有限元分析獲得正弦氣隙磁密與反電勢波形如圖5 所示，正弦氣隙磁密幅值和反電勢幅值與原來方波樣機的幅值基本相同。

圖5 正弦波永磁無刷直流電動機氣隙磁密和反電勢

根據式(10)求得換相時間tc=2.205 2 ×10-4s，代入式(8)可得初始電流I0=11.712 5 A。由式(4)、式(6)和式(12)求得正弦波永磁無刷直流電動機三相電流波形和轉矩波形，如圖6 所示。

采用計及電感的電路模型，計算轉速n =350 r/min 下的正弦永磁無刷直流電動機的基本性能參數，如表2 所示。

圖6 三相電流ia，ib，ic 和轉矩Tem波形

表2 電機基本參數的仿真計算值

當假定繞組電感為零時(此時不存在換流模式)，按本文推導的計及繞組電感電路模型公式，計算的相電流波形如圖7 虛線所示。

圖7 A 相電流有電感和無電感的計算波形

由式(11)和式(13)推導出忽略電感時兩相導通星形三相六狀態正弦波永磁無刷直流電動機相繞組平均電流Iav、平均電磁轉矩Tav以及反電勢系數KT，如表3 所示。

表3 Lσ =0 時Iav，Tav和KT 的計算公式

對比采用傳統忽略繞組電感的穩態電路模型計算的平均電樞電流［7］與本文采用計及繞組電感的電路模型且假定繞組電感為零時計算的平均電樞電流，兩者的計算值完全吻合，如表4 所示。因此傳統忽略電感的相電流計算公式可視為本文公式的特例。從表4 和圖7 可以看出，電感對正弦波永磁無刷直流電動機平均電樞電流計算值影響是比較大的，兩者相差一倍以上。分析正弦波永磁無刷直流電動機應該考慮繞組電感對電機性能影響。

表4 兩種電路模型繞組電流計算比較

4 結 語

本文基于兩相導通星形三相六狀態的正弦波永磁無刷直流電動機的相繞組端電壓平衡方程，推導了其相繞組電流的解析表達式，仿真計算了計及繞組電感的正弦波永磁永磁無刷直流電動機的穩態特性。比較研究了正弦波永磁無刷直流電動機計及電感電路模型與傳統忽略電感電路模型的性能參數計算差異，研究表明繞組電感對正弦波永磁無刷直流電動機的運行性能影響較大，不能忽略。

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