基于回聲狀態(tài)網絡的開關磁阻電動機轉子位置估計

司利云，余 強，王鐵勇

(1.長安大學，西安710064;2.中航工業(yè)西安航空計算技術研究所，西安710068)

0 引 言

開關磁阻電動機(以下簡稱SRM)自問世以來，因結構簡單堅固、運行效率高、容錯性好和成本低等優(yōu)點，在航空航天、電動機車、伺服系統(tǒng)和日用家電中得到了廣泛的應用，在油田和礦井等惡劣環(huán)境中也有著良好的發(fā)展前途［1］。其中，轉子位置信號的準確獲取是SRM 能否正常運行的關鍵。目前常用的信號檢測方法是直接通過機械式位置傳感器來獲取，但這種類型的位置傳感器由于需要附加相應的機械裝置與信號處理電路，在一定程度上削弱電機本體結構簡單的優(yōu)點，而且降低系統(tǒng)在粉塵、油污等惡劣環(huán)境下運行的可靠性。因此，尋求一種取代機械式位置傳感器的間接轉子位置檢測方法成為當前SRM 研究的熱點之一［6］。

自1985 年由Acarnley 教授等人提出“相電流波形法”以來，經過近30 年的研究，在SRM 的無位置傳感器檢測方面已取得了豐富的研究成果［2］。其中，以模糊邏輯法［3］、人工神經網絡［4］或支持向量回歸機［5-6］為代表的一類方案是通過對電機可測的電氣參數(如相電壓、相電流或相磁鏈等)與轉子位置之間存在的非線性關系進行建模，根據建立的非線性模型解算出轉子位置信息，從而實現(xiàn)轉子位置信號的間接檢測。在這類方法中，神經網絡以其出色的非線性逼近和自學習能力，備受學者青睞，獲取的研究成果比較豐富。

Mese 和Torrey 首先利用BP 神經網絡對轉子位置與相電流、相磁鏈之間的函數關系進行建模，并使用DSP 控制器進行了實現(xiàn)，實驗結果表明這種方法效果良好［4］。但是BP 網絡的訓練算法復雜，學習速度較慢而且不易獲取全局最優(yōu)解，于是文獻［7］提出了一種基于自適應RBF 神經網絡的轉子位置辨識方法，并探討了網絡參數的選擇問題。在訓練階段，隱含層節(jié)點的數目按照“新穎性”自適應增加，刪除了對輸出不再起重要貢獻的節(jié)點。網絡連接權按遞推最小二乘法有監(jiān)督地在線調節(jié)，使得網絡結構更加簡單緊湊，降低了算法運行時間，提高了系統(tǒng)的動態(tài)響應速度和計算精度。文獻［8］則充分利用小波變換函數良好的時頻局域化性質，結合傳統(tǒng)神經網絡的自學習功能，建立起電流、磁鏈和開關信號的非線性映射。文獻［9］在網絡參數訓練時將遺傳算法與自適應Takagi-Sugeno 模型的傳統(tǒng)混合學習算法相結合，大大加快了模型的收斂速度。文獻［10］與文獻［11］用RBF 神經網絡對在線獲取的磁特性數據進行建模，并根據誤差對模型進行在線補償。在該模型基礎上，結合激勵脈沖法與滑模觀測器法，實現(xiàn)了電機的四象限無傳感器控制，實驗結果證實了該策略的有效性。

已取得的成果表明，以BP 和RBF 網絡為代表的傳統(tǒng)神經網絡可以很好地描述SRM 的轉子位置與電流和電感(磁鏈)之間復雜的映射關系，但是傳統(tǒng)遞歸神經網絡在網絡結構的選擇上更多由經驗決定，在學習過程中存在過擬合問題、學習過程容易陷入局部極小值，這些內在的缺陷直接影響著建模的可靠性。基于此，本文將采用一種新型的遞歸神經網絡結構回聲狀態(tài)網絡［9-10］(以下簡稱ESN)對SRM 的轉子位置進行建模。與傳統(tǒng)的遞歸神經網絡相比，ESN 從模型構建和學習算法上都有很大的不同。在模型構建上，為了保證儲備池內部遞歸網絡的穩(wěn)定性，可以對網絡內部連接權矩陣的譜半徑進行預設;在學習算法上，為了獲取全局最優(yōu)解，使用線性回歸算法對唯一要求計算的輸出權值矩陣進行訓練［14］。

1 回聲狀態(tài)網絡

1.1 回聲狀態(tài)網絡的數學模型

2001 年由Jaeger 首先提出了ESN，其最初的目的是為了解決傳統(tǒng)遞歸神經網絡普遍存在的訓練效率較低、實時性較差、難于進行實際應用的問題。

根據ESN 的思想，非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性被假設是由一個大規(guī)模的儲備池生成的。儲備池內部是由大量隨機生成且稀疏連接的神經元組成的網絡，它包含了系統(tǒng)的運行狀態(tài)，并有記憶能力。若給定輸入，用描述“輸入-狀態(tài)-輸出”驅動系統(tǒng)的方法，可得到ESN 的網絡表達式［14］:

其中，網絡包含L 個輸入，u(n)=［u1(n)，u2(n)，…，uL(n)］T∈RL，M 個輸出量y(n)=［y1(n)，y2(n)，…，yM(n)］T∈RM，N 個內部狀態(tài)變量x(n)=［x1(n)，x2(n)，…，xN(n)］T∈RN，［·］T表示矩陣的轉置運算。Wres∈RN×N，∈RN×L，∈RN×M分別表示內部連接權、輸入連接權和反饋連接權矩陣。f=［f1，f2，…，fN］表示內部神經元激活函數，通常情況下，fi(i=1，2，…，N)取雙曲正切函數。

此外，輸出連接權矩陣Wout表示由儲備池內部狀態(tài)、輸入以及反饋輸出構成的向量s(n)=［xT(n)，u(n)，y(n)］T∈RN+L+M對于輸出向量y(n)的連接關系。

儲備池維數N 的經驗取值在100 ～1 000 之間;與傳統(tǒng)的遞歸神經網絡不同，其連接權矩陣Wres，和均是隨機產生且保持不變的;只有輸出連接權Wout由輸入輸出的學習樣本訓練得到。為了加快訓練速度并獲取全局最優(yōu)解，ESN 將輸出量與狀態(tài)量之間設定為線性映射，因此只需求解線性回歸問題便可獲取Wout［15-17］。

1.2 回聲狀態(tài)網絡的訓練算法

ESN 的訓練過程就是給定訓練樣本集{u(n)，y(n)，n=1，2，…，r}，求解輸出連接權矩陣Wout的過程［15-17］。

在訓練階段，首先要對狀態(tài)量與輸出量進行采樣，獲取訓練樣本集。設定初始狀態(tài)x(0)，通常取為0。輸入樣本u(n)經過，對應的輸出樣本y(n)經過被加到儲備池，根據式(1)，依次計算和收集狀態(tài)x(n)和相應的輸出估計值)。由于初態(tài)會對系統(tǒng)的動態(tài)性能產生影響，為了降低系統(tǒng)的初態(tài)敏感性，樣本數據的收集一般從某個時刻(如m時刻)后開始，將收集到的狀態(tài)向量{x(i)，i=m，m+1，…，r}為行構成矩陣B(r-m+1，N)，對應的輸出向量{y(i)，i=m，m+1，…，r}構成一個列向量T(i-m+1，1)。如果是離線靜態(tài)的樣本訓練，取m=0。

這在數學上是一個線性回歸問題，最終可歸結為對矩陣B 的求逆問題，即:

2 基于ESN 的SRM 離線轉子位置估計器建模

2.1 SRM 轉子位置建模原理

由于SRM 的凸極效應，可以證明轉子位置角θ是繞組磁鏈ψk和繞組電流ik的單值函數:

但由于磁路飽和、磁滯效應和渦流等非線性因素的影響，使得這三者之間表現(xiàn)為復雜的非線性函數關系，難以獲取精確的線性解析解。本文將使用新型的遞歸神經網絡——ESN 來處理這種復雜的非線性映射問題。通過離線獲取的樣本數據訓練轉子位置角θ 的ESN 預測模型，輸入參數為相磁鏈ψk和相電流ik。其中相繞組磁鏈的計算可通過電機的電壓平衡方程式積分得到:

式中:Uk為繞組兩端的電壓;Rk為繞組電阻;ik為繞組電流。對該積分取離散化可得到:

其中:j =1，2，…，N，N 是采樣點個數;T 是采樣周期;獲取時刻0 到時刻T·N 上采樣點的電壓Uk、電流ik以及初始磁鏈ψk(0)，根據上式便可得到時刻j的磁鏈ψk(j)。

2.2 ESN 轉子位置訓練模型

目前主要從兩種途徑獲取離線磁化曲線的樣本數據集:一是通過實驗測試得到電機實際運行過程中的磁化曲線數據;二是利用有限元分析法或已提出的磁化曲線模型獲取靜態(tài)的樣本數據。

本文通過實測12/8 極的SRM 以獲得樣本數據。轉子位置角和相電流的取值范圍分別為0° ～22.5°和0 ～8 A。在半個周期0° ～22.5°內每隔0.5°進行測量，一次可采樣電壓和電流值各200 個，得到的SRM 磁化曲線簇如圖1 所示。

圖1 SRM 的實測磁化曲線

抽取其中一半的實測數據組成訓練樣本集，另一半作為測試樣本集。隨機產生內部連接權、輸入連接權和反饋連接權矩陣，儲備池規(guī)模取100，稀疏程度取0.2，內部連接權譜半徑分別取0.75，內部激活函數取雙曲正切函數，輸出函數取線性函數。當轉子位置角訓練樣本集的均方根誤差為0.464 6°時，測試樣本集的均方根誤差為0.638 0°，訓練時間為4.765 6 s。訓練樣本曲線如圖2 所示。

圖2 SRM 的訓練曲線

為了進一步研究算法的性能，分別與傳統(tǒng)的BP神經網絡、RBF 神經網絡在同一批樣本數據上進行訓練學習［9］。在同一臺設備上，以獲取相同精度的轉子位置誤差值為學習目標，BP 神經網絡需要迭代204 次，神經元結構為2 ×8 ×8 ×1，時間為32.296 9 s。RBF 神經網絡的分布常數為0.25，神經元的最多個數為100，過程顯示頻率為10，時間為40.171 9 s。而回聲狀態(tài)網絡模型由于只需通過最小二乘優(yōu)化函數求解輸出權矩陣，收斂速度非常快，適合SRM 的實時在線控制。

3 基于ESN 轉子位置預測模型的實驗驗證

為了驗證本文建模方法的正確性，以一臺3 kW，12/8 極的SRM(額定轉速1 500 r/min，調速范圍100 ～2 000 r/min)為研究對象，功率變換器采用不對稱半橋電路，控制方式為電壓PWM 控制加電流斬波控制，導通角為0° ～15°。計算相磁鏈所需的相電流與相電壓信號通過電流與電壓傳感器獲取，為了對比預測結果，保留了機械位置傳感器。獲取不同工況下的SRM 的相電流與相磁鏈的實測數據，根據轉子位置的ESN 預測模型，可以得到對應的轉子位置預測值。

圖3 給出了負載1 N·m 情況下轉速為1 500 r/min 時轉子位置ESN 預測模型的性能。根據實測的相電流(圖3(a))與相磁鏈(圖3(b))波形，利用離線建立的轉子位置ESN 預測模型，得到預測誤差曲線如圖3(c)所示，其中最大絕對誤差值為2.985 2°，均方根誤差為0.655 0°;圖3(d)給出了轉子位置角的實測曲線及較大的預測誤差(大于1°)對應的位置，可以看出，大于1°的樣本點整體來說很少，但分布比較集中，集中在換相位置附近，小于5°的轉子位置處。這說明該轉子位置ESN 預測模型具有較好的整體泛化能力，但當相電流與相磁鏈在換相點附近取值較小時，模型對局部細節(jié)的預測結果就不是很理想了。

圖3 負載1 N·m ，轉速1 500 r/min 時模型的測試結果

4 結 語

以往傳統(tǒng)的遞歸神經網絡在SRM 的轉子位置建模應用中存在網絡結構復雜、參數選擇過于依賴經驗、學習負擔重、計算量大、不易獲取全局最優(yōu)解等問題，這些問題對模型的可靠性和實用性帶來較大的影響。回聲狀態(tài)網絡由于利用了儲備池和線性回歸算法，在具備良好預測精度的前提下，相對于BP 神經網絡和RBF 網絡，具有更快的收斂速度及較強的實用性。實驗結果表明，利用離線實驗數據建立的回聲狀態(tài)網絡預測模型在電機的實際運行中可以快速準確地檢測出轉子位置角，為準確快速的實現(xiàn)電機的無位置傳感器檢測提供了一種新思路。

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