考慮手術間及醫療團隊間準備時間的手術排程

朱 悅 張玉林 宋旼珊

(東南大學經濟管理學院，南京211189)

醫院手術室是高科技設備和專業醫護人員最密集的場所.依托手術室進行的醫療服務給醫療機構及社會帶來經濟和社會效益的同時，產生的成本也很大.杜少甫等［1］發現，手術室產生的費用占醫院總費用的40%以上.因此，提高手術室利用率可有效地減少醫療成本.

手術排程中，手術準備時間會影響手術室的利用率.手術準備時間指從上一個病人離開手術室到下一個病人進入手術室的時間.在這段時間內，醫療團隊需對手術臺進行清理、消毒、更換醫療器材等.此外，2 個不同的醫療團隊之間切換也需要準備時間.當相鄰手術的類型差異較大時，會更換醫療團隊，相應的手術設備變動也較大，帶來了額外的準備時間［2］.Kodali 等［3］對布里格姆婦科醫院手術流程的細分、改進，縮短了手術準備時間，提高了手術室的利用率.Arnaout 等［4］研究了依賴于次序的手術準備時間，以最小化所有手術完成時間為目標，提出LEPST 算法，以提高手術室的利用率.在含有多個手術室的排程問題中，Zhao 等［5］研究了依賴于相鄰手術類型的準備時間，采用約束規劃，找到使手術室利用率最高的排程.

醫療機構中病人的實際手術時間還受到學習效應影響.學習效應是指隨著手術數目的增加，由醫生手術經驗累積而帶來的手術時間縮短［6］.學習效應主要體現在手術環節及手術準備環節.Bokhari 等［7］認為，實際手術時間隨醫生完成的同類手術數增加而遞減.Stepaniak 等［8］發現，在腹股溝疝修補手術中，連續進行相類似的手術，可縮短手術準備時間.除此之外，準備時間還存在惡化效應.惡化效應指由于推遲手術帶來的實際準備時間增加的現象.Wang 等［9］在考慮準備時間存在惡化效應的加工模型時，認為手術推遲導致的準備時間延長適用于醫療領域，病人病情加重而導致醫療團隊需要更長的準備時間.

Wang 等［10］研究了加工時間和準備時間同時存在的惡化效應，當目標函數是完成時間和資源成本的加權和時，在特定參數條件下，該問題可通過多項式算法求解.Lee 等［11］研究了加工時間和準備時間都存在的學習效應，并在組容量相同，準備時間和加工時間存在對應大小關系時，提出解決最小化總完工時間的多項式算法.Yang 等［12］考慮了準備時間和加工時間都具有基于位置和時間兩類學習效應的問題，并證明最小化所有工件完工時間能采用多項式算法求解.Kuo［13］進一步研究2 類學習效應，認為基于位置的學習效應適用于準備時間，基于時間的學習效應適用于加工時間，區分了單一學習效應和多個學習效應2 種情形.給出每種情形下，求解最小化所有工件完工時間和總完工時間的多項式算法.

上述工件排程的研究，僅考慮了組與組之間準備時間，沒有考慮同組工件加工的準備時間.本文綜合考慮手術間和醫療團隊間兩類準備時間，并考慮手術時間和手術間準備時間存在的學習效應以及醫療團隊間準備時間存在的惡化效應，使得所有手術的完成時間最短.

1 問題描述和假設

1.1 問題描述

研究一個工作日內，單一手術室的排程，手術室允許不同醫療團隊進行不同類型的手術.考慮同一個醫療團隊進行的手術之間的準備時間和不同醫療團隊間因調試設備、準備器材需要的準備時間;手術時間和手術間準備時間存在學習效應，醫療團隊間準備時間存在惡化效應.需要確定工作日內不同醫療團隊進入手術室的次序和醫療團隊進行手術的次序，使所有手術完成時間最短.

1.2 假設

本文做如下3 個假設:

1)手術病人數和手術類型術前已知.即所有病人在手術排程前已到達，相應的手術類型確定，不考慮緊急病人到達及已安排手術的病人臨時取消手術.

2)醫療團隊順序進場.即某個醫療團隊在手術室完成所有手術后，其他醫療團隊才可進入手術室工作.

3)確定性環境.即在手術過程中，不考慮手術時間因實際情形的復雜性等而可能帶來的額外不可控變化.

假設1 保證手術排程的對象是確定數目的手術病人，排程前可確定參與手術的醫療團隊.假設2 依據的是Luo 等［14］有關連續進行同類型手術可以提高手術效率的結論.

2 排程模型及分析

2.1 排程模型

手術排程的目的是提高手術室利用率，指標有多種，如所有手術的完成時間、所有手術完成時間與期望時間的差值之和.Arnaout 等［4］把所有手術的完成時間作為衡量手術室利用率的指標.對給定數目的手術病人，本文將最小化所有手術的完成時間作為目標，研究每個醫療團隊進行手術的次序和醫療團隊進入手術室的次序，參考Graham 等［15］的一般調度模型表示方法，本文研究的問題可表示為

式中，“1”代表單一手術室的排程;pij為病人Jij(編號j)、手術排序為r、由第i 個醫療團隊進行手術的時間，j=1，2，…，ni，i=1，2，…，M，ni為醫療團隊i的手術數量;αij為基本手術時間;αi［q］為醫療團隊i參與的第q(q=1，2，…，ni)臺手術的基本手術時間，與手術排程有關;ki為醫療團隊i 手術過程中的學習效應常數，滿足ki＞0;sij為實際術前準備時間，屬于手術間準備時間;βij為基本準備時間;bi為醫療團隊i 術前準備過程中的學習效應常數，滿足bi＞0;δi為醫療團隊i 實際的醫療團隊間準備時間;γi為基本準備時間;ci為醫療團隊i 進入手術室后，調試設備、準備器材過程中的惡化效應常數，滿足ci＞0;t 為醫療團隊i 進入手術室的時刻;Cmax為所有手術的完成時間.

2.2 模型分析

引理1 當x≥0，t≥1，λ≥1，k≥0 時，恒有(λ－1)t－k+(t+λx)－k－λ(t+x)－k≥0.

證明過程略.結合引理1，可確定醫療團隊進行手術次序的排序.

定理1 對任意醫療團隊i，按病人基本手術時間αij的非減序列安排手術，可使其完成所有手術的時間最短.

證明 ①情形1，醫療團隊i 只需完成1 臺手術.此時，定理1 顯然成立.②情形2，醫療團隊i需要完成2 臺以上手術.反證法證明之.假設存在一個最優的手術排序π1=(S1，Jiu，Jiv，S2)不滿足定理1，即存在相鄰的2 個病人Jiu和Jiv，滿足αiu＞αiv.其中，S1和S2分別表示子排序，包含若干病人，也可能是空集.

記排序π1中，病人Jiu第r 個進行手術，其進入手術室的時刻為t.

保持S1和S2中的病人次序不變，交換病人Jiu和Jiv的位置，得到一個新的手術排序π'1=(S1，Jiv，Jiu，S2).在按照排序π1情況下，病人Jiu和Jiv完成手術的時間分別為Ciu(π1)和Civ(π1)，可分別表示為

類似地，在按照手術排序π'1情況下，病人Jiu完成手術的時間為

將式(3)和式(4)相減，可以得到

定理1 確定的是不同團隊內的手術次序，下述定理2 確定了醫療團隊進入手術室的次序.

定理2 醫療團隊i(i=1，2，…，M)按照對應ρi值的非減序列依次進入手術室，可使所有手術的完成時間最短，其中

證明 ①情形1，工作日只有1 個醫療團隊參與手術.定理2 顯然成立.②情形2，至少有2 個醫療團隊參與手術.反證法證明之.假設存在一個最優排序π2=(R1，Gi，Gi'，R2)不滿足定理2(i'=1，2，…，M).Gi和Gi'代表2個相鄰的醫療團隊，滿足ρi＞ρi'.其中，R1和R2代表子排序，包含若干醫療團隊，也可能是空集.

記R1中最后一個醫療團隊完成手術的時刻為t.交換排序π2中，醫療團隊Gi和Gi'的位置，得到一個新的排序π'2=(R1，Gi'，Gi，R2).

在排序π2下，醫療團隊Gi'完成所有手術的時間為

類似地，在排序π'2下，醫療團隊Gi完成所有手術的時間

將式(7)和式(8)相減，可以得到

當滿足ρi＞ρi'時，恒有Ci'ni'(π2)＞Cini(π'2).

在手術排序π2和π'2中，子排序R1和R2是相同的.因此按照排序π'2情況下，所有手術的完成時間短于排序π2下所有手術的完成時間.這說明π'2較π2更優，矛盾.故定理2 成立.

定理2 確定了醫療團隊進入手術室的次序.按照定理1 和定理2，確定醫療團隊進入手術室的次序和醫療團進行手術的次序，可使所有手術的完成時間最短.

2.3 排程算法及分析

根據定理1 和定理2，得到使所有手術完成時間最短的排程算法如下:

①每個醫療團隊按病人基本手術時間的非減序列確定手術次序.計算復雜度為

②計算醫療團隊i(i=1，2，…，M)的ρi值.計算復雜度為O(M).

③按ρi值的非減序列依次安排相應團隊進入手術室.計算復雜度為O(MlogM).

整個算法的計算復雜度為O(nlogn)，n=n1+n2+…+nM.

3 算例分析

本文依據第2 節提出的定理及算法，模擬現實手術的排程，確定最優手術排程的過程.相關參數為:某個工作日中，共有10 名病人需安排手術，涉及3 種手術類型，分別由醫療團隊1，2，3 負責，對應的病人數分別為3，4，3，手術病人及醫療團隊的參數取值如表1所示.

表1 手術病人及醫療團隊的參數取值

對醫療團隊1，由于α11＜α12＜α13，故病人J11，J12和J13依次接受手術.類似地，對醫療團隊2，病人J24，J23，J22和J21依次接受手術;對醫療團隊3，病人J31，J33，J32依次接受手術.計算3 個醫療團隊對應的ρi值，即

由于ρ1＜ρ2＜ρ3，因此醫療團隊1，2，3 依次進入手術室.使所有手術完成時間最短的排程為:(J11→J12→J13)→(J24→J23→J22→J21)→(J31→J33→J32)，最短時間為38.48.

在該排程下，醫療團隊1 首先進入手術室.由于手術沒有推遲，因此不存在惡化效應，醫療團隊的準備時間為0.7.病人J11，J12和J13依次接受手術，實際手術時間分別為2.00，1.95 和1.94，相比基本手術時間，均明顯縮短(除病人J11外)，體現醫療團隊1 在手術中的學習效應.每位病人的術前準備時間分別為0.40，0.43 和0.46，相比基本術前準備時間，也明顯縮短，體現醫療團隊1 在術前準備中的學習效應.醫療團隊2 第2 個進入手術室，手術被推遲，團隊的準備時間延長，實際值為2.48，反映醫療團隊間準備時間具有的惡化效應.病人J24，J23，J22和J21依次接受手術，實際手術時間分別為2.40，2.29，2.43 和2.45，相比基本手術時間，均明顯縮短(除病人J24外)，因為醫療團隊2 累積了手術經驗.由于醫療團隊2 累積了術前準備的經驗，實際的術前準備時間分別縮短為0.63，0.73，0.83 和1.02.醫療團隊3 最后進入手術室，手術延遲使團隊的準備時間延長至4.51.病人J31，J33和J32依次接受手術.由于醫療團隊3 在手術和術前準備環節累積的經驗，實際手術時間縮短至3.10，2.68 和2.78;實際術前準備時間縮短至0.66，0.68 和0.96.

4 結語

本文構建了包含手術間準備時間和醫療團隊間準備時間的排程模型，考慮了手術時間和手術間準備時間存在的學習效應，以及醫療團隊間準備時間存在的惡化效應，以最小化所有手術完成時間為目標，確定了每個醫療團隊進行手術的次序和醫療團隊進入手術室的次序.研究證明:每個醫療團隊按病人基本手術時間的非減序列進行手術，按某給定多項式的非減序列依次進入手術室，是最優排程.考慮其他時間約束對手術排程的影響，是今后的研究方向.

References)

［1］ 杜少甫，謝金貴，劉作儀.醫療運作管理:新興研究熱點及其進展［J］.管理科學學報，2013，16(8):1-19.Du Shaofu，Xie Jingui，Liu Zuoyi.Progress and prospects in an emerging hot topic:healthcare operations management［J］.Journal of Management Sciences in China，2013，16(8):1-19.(in Chinese)

［2］ Austin T M，Lam H V，Shin N S，et al.Elective change of surgeon during the OR day has an operationally negligible impact on turnover time［J］.Journal of Clinical Anesthesia，2014，26(5):343-349.

［3］ Kodali B S，Kim D，Bleday R，et al.Successful strategies for the reduction of operating room turnover times in a tertiary care academic medical center［J］.Journal of Surgical Research，2014，187(2):403-411.

［4］ Arnaout J P M，Kulbashian S.Maximizing the utilization of operating rooms with stochastic times using simulation［C］//Proceedings of the 2008 Winter Simulation Conference.Miami，FL，USA，2008:1617-1623.

［5］ Zhao Z X，Li X P.Scheduling elective surgeries with sequence-dependent setup times to multiple operating rooms using constraint programming ［J］.Operations Research for Health Care，2014，3(3):160-167.

［6］ Ziaee S A M，Mohammadi S M，Kashi A H，et al.Evaluation of the learning curve for percutaneous nephrolithotomy［J］.Urology Journal，2010，7(4):226-231.

［7］ Bokhari M B，Patel C B，Ramos-Valadez D I，et al.Learning curve for robotic-assisted laparoscopic colorectal surgery ［J］.Surgical Endoscopy，2011，25(3):855-860.

［8］ Stepaniak P S，Vrijland W W，de Quelerij M，et al.Working with a fixed operating room team on consecutive similar cases and the effect on case duration and turnover time［J］.Archives of Surgery，2010，145(12):1165-1170.

［9］ Wang J J，Liu Y J.Single-machine bicriterion group scheduling with deteriorating setup times and job processing times［J］.Applied Mathematics and Computation，2014，242:309-314.

［10］ Wang D，Huo Y Z，Ji P.Single-machine group scheduling with deteriorating jobs and allotted resource［J］.Optimization Letters，2014，8(2):591-605.

［11］ Lee W C，Wu C C.A note on single-machine group scheduling problems with position-based learning effect［J］.Applied Mathematical Modelling，2009，33(4):2159-2163.

［12］ Yang S J，Yang D L.Single-machine scheduling simultaneous with position-based and sum-of-processingtimes-based learning considerations under group technology assumption［J］.Applied Mathematical Modelling，2011，35(5):2068-2074.

［13］ Kuo W H.Single-machine group scheduling with timedependent learning effect and position-based setup time learning effect ［J］.Annals of Operations Research，2012，196(1):349-359.

［14］ Luo L，Yao D D，Huang X，et al.Sequence-dependent anesthesia-controlled times:a retrospective study in an ophthalmology department of a single-site hospital［J］.Anesthesia ＆Analgesia，2014，119(1):151-162.

［15］ Graham R L，Lawler E L，Lenstra J K，et al.Optimization and approximation in deterministic sequencing and scheduling:a survey［J］.Annals of Discrete Mathematics，1979，5:287-326.