體面積分方程(VSIE)分析任意復雜頻率選擇結構

蘇建勛，李增瑞

(中國傳媒大學信息工程學院，北京 100024)

1 引言

自從20世紀60年代頻率選擇表面(FSS)出現后，很多學者都致力研究FSS在電磁系統(tǒng)中的性能。近年來，超材料(Metamaterial)這類特殊的FSS也引起了人們的關注并得到了較深入的研究［1，2］。FSS在微波系統(tǒng)里有廣泛的用途，如反射器、天線罩和極化器。隨著超材料概念的出現與發(fā)展，頻率選擇表面作為一種平面的超材料，因具有一些神奇的特性，已被應用到一些新的方面，如平面吸收器［4，5］和人造磁導體［6］。

頻率選擇結構是一種平面周期結構，對電磁能量起濾波的作用。頻率選擇表面、電子帶隙(EBG)/光子帶隙(PBG)結構，超材料等，都可統(tǒng)稱為頻率選擇結構。由于其越來越受到廣泛的應用，故而對它的仿真技術也提出了更高的要求。有限元法(FEM)和時域有限差分法(FDTD)［7］能對周期結構進行三維(3D)建模，并且可以處理非均勻介質的情形。但計算散射場時［8］需要利用吸收邊界(ABC)或完全匹配層(PML)等特殊的手段來截斷無限大求解區(qū)域。

一般地，頻率選擇結構電磁特性滿足工程指標，一是要進行貼片形狀的設計，二是利用介質層復合。以往，設計工作主要集中在第一點上，而近些年來，大力開拓了介質層的復合設計。在FSS里引入周期性的非均勻介質材料，可以研究介質層復合特性的設計。例如，在介質板上鉆孔［9］或者填充其他材料，改變介質基板的有效介常數或磁導率［10］。但是對于非均勻的介質層設計，無法提取分層媒質格林函數，從而很難單純利用表面積分方程(SIE)進行建模分析。基于此，采用體面積分方程(VSIE)可以克服這些困難［11］。

本文提出了一種空域體面積分方程法用于分析頻率選擇結構(FSS)。其中利用Ewald變換加速周期格林函數的收斂［12，13］，利用體面積分方程分析任意復雜頻率選擇結構，包括非均勻的介質結構或金屬介質復合結構。另外，設計了一種簡單有效的插值方法，能快速準確地對周期格林函數插值。

2 積分方程

2.1 體面積分方程

在所有的金屬面S(S是閉合體或開放體)，邊界條件要求總電場的切向分量為零，即:

上述為電場積分方程(EFIE)。在介質區(qū)域，總電場是入射場和散射場之和。因此，體積分方程如下:

方程(6a)和(6b)結合(1)—(5)，便可構建體面積分方程，其中金屬面的電流為，介質區(qū)域的電通量為。混合積分方程(6)可以用伽略金矩量法精確地求解。

2.2 PGF的線性插值技術

本文的插值問題由2D變?yōu)?D，增加了一個維度，二次插值法計算效率下降。由于自由空間周期格林函數比較平滑，故而易于精確插值，因此設計了一種針對自由空間周期格林函數的精確快速插值方法。

將矩形3D框格等分為很多子格。圖1是一個邊長為的子格(方塊)。黃點是子格頂點處預先計算后存儲的PGF數值。周期格林函數可通過如下的線性插值法獲得

圖1 子格

其中 αx=dx/L，αy=dy/L，αz=dz/L。子框格的邊長范圍一般為0.015－0.03λ，插值可以獲得高的精度(ε ＞10－3)。

3 數值實例

3.1 耶路撒冷十字架

首先分析一個典型的耶路撒冷十字狀的頻率選擇結構。像素化的單元結構如圖2所示。介質板的厚度為0.02cm，相對介電常數2－j0.1。FSS的周期為a=b=2.5cm。平面波垂直入射，電場沿X方向。圖3是Floquet TEM模的傳輸和反射系數。雙Ewald序列的求和項設為9。紅實線是本文方法的計算結果，黑實線是文獻［15］譜域法的計算結果。由圖可見，兩種方法的傳輸和反射系數計算結果吻合良好。

圖2 耶路撒冷十字FSS的單元結構圖(單元尺寸是2.5cm ×2.5cm)

圖3 耶路撒冷十字FSS的反射和傳輸系數

3.2 光子帶隙結構

現在考慮一個介質材料頻率選擇結構，介質為非均勻的［10］。介質板嵌入周期性的介質塊，如圖4所示。這些柵格通常被稱為光子帶隙結構。圖5為平面波垂直照射介質板時的反射系數。反射系數曲線展示了光子帶隙材料的典型諧振特性。跟文獻［13］的有限元－邊界元法(FE－BI)和體積分法(VIE)的計算結果比較，本文方法計算結果的兩個諧振與FE－BI吻合的良好，而VIE計算結果的兩個諧振頻率偏高，尤其第二個諧振頻率。

3.3 基于超材料的雙帶通FSS

最后考慮一個基于超材料的小型化雙帶通FSS［16］。其中FSS為介質板兩面印刷金屬層的結構，介質材料為 Arlon Di－ Clad 880(εr=2.2，tanδ=9E－4)。圖6為該FSS的兩個單元結構圖。由圖看出，反面金屬層相對于正面金屬層平移了半個周期。圖7為平面波垂直入射時的仿真結果。由圖7可見，本文計算結果與文獻［16］中HFSS和ADS的仿真結果吻合良好。

圖4 電子帶隙結構

圖5 TEMx模的反射系數幅度

圖6 基于超材料的雙帶通FSS的兩個周期單元

圖7 雙帶通FSS的反射系數

4 結語

本文提出了一種空域體面積分方程(VSIE)分析具有均勻或非均勻介質層的頻率選擇結構。其中利用Ewald變換和插值技術快速計算空域周期格林函數。仿真結果表明，在大多數情況下，兩重Ewald求和序列9項就能收斂。另外，設計了一種線性插值算法，能夠快速精確地對周期格林函數進行插值，從而大大減少矩陣填充時間。數值實例結果證明了本方法的正確性和有效性。本文方法經進一步擴展，如利用體面積分方程結合自適應交叉逼近法(ACA)［17］，可更加快速和精確地分析任意復雜結構的頻率選擇結構。

［1］T K Wu，Ed.Frequency Selective Surface and Grid Array［J］.New York，Wiley，1995.

［2］B A Munk.Frequency Selective Surfaces Theory and Design［J］.New York，Wiley，2000.

［3］N Engheta，R W Ziolkowski，Eds.Metamaterials Physics and Engineering Explorations Hoboken［J］.NJ，Wiley，2006.

［4］N Engheta.Thin absorbing screens using metamaterial surfaces［J］.Proc IEEE Antennas and Propagation Society Int Symp，San Antonio，TX，2002:392－395.

［5］G Kiani，K Ford，K Esselle，A Weily，C Panagamuwa.Oblique incidence performance of a novel fre-quency selective surface absorber［J］.IEEE Trans Antennas Propag，2007，55(10):2931 －2934.

［6］D Kern，D Werner，A Monorchio，L Lanuzza，M Wilhelm.The design synthesis of multiband artificial magnetic conductors using high impedance frequency selective surfaces［J］.IEEE Trans Antennas Propag，2005，53(1):8 －17.

［7］W Ko，R Mittra.Implementation of Floquet boundary condition in FDTD for FSS analysis［J］.In Antennas and Propagation Society Int Symp Digest，Jun，1993:14 －17.

［8］I Bardi，R Remski，D Perry，Z Cendes.Plane wave scattering from frequency－selective surfaces by the finite － element method［J］.IEEE Trans Magn，2002，38(2):641 －644.

［9］A Fallahi，M Mishrikey，C Hafner，R Vahldieck.A-nalysis of multilayer frequency selective surfaces on periodic and anisotropic substrates［J］.Metamaterials，2009.

［10］H － Y D Yang，R Diaz，N G Alexopoulos.Reflection and transmission of waves from multilayer structures with planar implanted periodic material blocks［J］.Opt Soc Amer，Ser B，Oct，1997，14(10):2513－2521.

［11］Lu，C C，Chew W C.A coupled surface － volume integral equation approach for the calculation of electromagnetic scattering from composite metallic and material targets［J］.IEEE Trans.Antennas Propag，Dec，2000，48(12):1866 －1868.

［12］Stevanovic I，Crespo － Valero P，Blagovic K，Bongard F，Mosig J R.Integral－Equation Analysis of 3－D Metallic Objects Arranged in 2－D Lattices Using the Ewald Transformation［J］.IEEE Trans Antennas Propag，Oct，2006，54(10):3688 －3697.

［13］T F Eibert，J L Volakis，D R Wilton，D R Jackson.Hybrid FE/BI modeling of 3 － D doubly periodic structures utilizing triangular prismatic elements and an MPIE formulation accelerated by the Ewald transformation［J］.IEEE Trans Antennas Propag，May，1999，(5):843 －850.

［14］F W J Olver，D W Lozier，R F Boisvert，C W Clark.NIST Handbook of Mathematical Functions［M］.New York:Cambridge University Press，2010.

［15］Ling Li，Werner D H，Bossard J A，Mayer T S.A model－based parameter estimation technique for wide－band interpolation of periodic moment method impedance matrices with application to genetic algorithm optimization of frequency selective surfaces［J］.IEEE Trans Antennas Propag，Mar，2006，54(3):908 －924.

［16］Bayatpur F，Sarabandi K.Multipole Spatial Filters Using Metamaterial－Based Miniaturized－Element Frequency － Selective Surfaces［J］.IEEE Trans Microw Theory Tech，Dec，2008，MTT －56(12):2742－2747.

［17］K Zhao，M N Vouvakis，J F Lee.The adaptive cross approximation algorithm foraccelerated method of moments computations of EMC problems［J］.IEEE Trans EMC，2005，47(4):763 －773.