計算薄板輻射聲功率的波疊加原理應用*

劉 寶 周奇鄭

(海軍工程大學 武漢 430033)

?

計算薄板輻射聲功率的波疊加原理應用*

劉 寶 周奇鄭

(海軍工程大學 武漢 430033)

給出了利用基于體積速度匹配的波疊加原理計算薄板輻射聲功率的方法。該方法在獲得薄板表面振動速度以后,通過線性化的歐拉方程建立虛擬聲源強度與單元體積振速的代數方程,求解虛擬聲源的強度,獲得薄板的輻射聲功率。文中以簡支矩形有障薄板為例進行了聲功率求取,并與解析法獲得的結果進行了對比,表明波疊加計算法不需要獲得結構的輻射阻就可以使用較少的單元數目獲得較高的計算精度,從而提高了計算效率。

波疊加; 虛擬聲源; 聲輻射; 輻射聲功率

Class Number O348.8

1 引言

結構的輻射聲功率的確定一直是聲學界關注的主要問題,對結構的聲優化設計等具有重要意義。通常需要運用數值方法分析輻射體的振動特性,獲得逼近真實結構表面的振速,并運用有限元/邊界元(FEM/BEM)進行輻射聲場的數值計算[1～4],但上述方法都存在不足,如邊界元存在著表面奇異積分問題。為了克服上述方法的不足,Koopmann于1989年提出了波疊加原理[5～6],即結構外輻射的聲場可以采用結構內虛擬聲源的和函數形式表示,并利用此原理求得了結構的輻射聲功率。由于聲源所在的曲面與結構的表面不重合,從而避免了奇異性積分問題,計算上簡單,易于實現。向陽、Koopmann利用波疊加原理獲得了剛性球面上的活塞源、脈動球源的表面聲壓,并進一步討論了通過實驗獲得結構表面振速的條件下單元、節點數目以及形狀對算法效率與精度的影響[7～8]。本文以四邊簡支的矩形有障薄板為例,介紹了基于單元體積速度匹配的波疊加原理,并給出了利用波疊加原理計算薄板的平均輻射聲功率的方法,討論了波疊加計算法對于離散單元數目的敏感性。

2 板模型及表面振速

為了說明利用波疊加原理計算薄板輻射聲功率的求解過程,本文以四邊簡支的矩形有障薄板為例進行說明。設板的密度為ρs,它沿x、y軸方向的長度分別為a、b,板的厚度為h,且位于平面z=0上。z≥0的半空間內充滿密度為ρf的輕介質,板由于外力的作用振動并向該半空間內輻射聲功率。z<0的半空間為真空狀態。如圖1所示。由于與板接觸的介質為輕介質,因此忽略介質對板所產生的聲壓作用。

圖1 薄板坐標示意圖

對于一個簡支矩形薄板,板的振速可以表示為振動模態的線性疊加:

(1)

上式表示成矩陣形式為

(2)

式中,Amn為相應于振動模態的待定系數。ψmn(x,y)=sin(mπxa)sin(nπy)表示板的(m,n)階振動模態。

考慮一個點力F作用在板面(x0,y0)處,則由文獻[9]可知:

(3)

3 基于體積速度匹配的波疊加計算法

離散薄板的表面S為N個面積為Sμ(1≤μ≤N)的單元,記單元μ的體積振速uμ為單元μ上的法向速度之和,即

(4)

將式(1)代入上式可得

(5)

上式表示成矩陣形式為

u=ΦA

(6)

離散的單元根據其表面振速總可以分為類似活塞振速的聲源和零體積振速的聲源。如圖2、圖3所示。

圖2 類似活塞的聲源部分

圖3 零體積振速的聲源部分

由于類似活塞振速的聲源反映的是振體向遠場輻射聲功率的能力,而零體積的振速聲源反映了近場處動能和勢能間相互轉化的能力。因此輻射的能量主要來自類似活塞振速的聲源部分。由上述分析可知,在不獲得板面聲壓精確值的前提下,如果板面每個劃分單元ν上的速度在平均情況下可以得到滿足,那么就可能求得輻射聲能量的精確值,即輻射聲功率。因此我們考慮用板每個單元上的平均速度代替板實際的法向速度,將其作為邊界條件,達到準確預測薄板聲輻射功率的目的。

基于該思想提出的利用體積速度匹配的波疊加原理采用虛擬聲源函數的組合來描述場點r=(x,y,z)處的聲壓[10]:

(7)

G(r,rs)=eik|r-rs|/|r-rs|

(8)

則可知:

(9)

場點r處聲壓p(r)與振速v(r)的關系根據線性化的歐拉方程,可得:

(10)

將式(9)關于聲壓p的虛擬聲源函數的組合形式代入上式可得:

(11)

將上式代入式(4),即在板面單元μ上對振速進行積分,可得

(12)

上式寫成矩陣形式為

u=Us

(13)

則通過矩陣的逆運算可以獲得:

s=U-1u

(14)

將式(6)代入上式,由此可以獲得虛擬聲源強度矩陣s:

s=U-1ΦA

(15)

求得虛擬聲源強度矩陣s以后,即可獲得結構的輻射聲功率

4 板的平均輻射聲功率計算公式

由文獻[7]可知,無限大障板上結構的平均聲輻射功率計算公式為

(16)

式中,j0(kRμν)=sin(kRμν)/(kRμν)表示0階球貝塞爾函數,Rμν=|rμ-rν|,表示虛擬聲源之間的間距。

上式表示成矩陣形式為

(17)

式中,H表示矩陣的共軛轉置。j為N×N階的矩陣,其相應ji,j=j0(kRij)。

當Rμν=0時,由于聲輻射功率為有限值,則j0(kRμν)不能取為無窮大。又由于

(18)

因此當Rμν=0時,取j0(kRμν)=1。由于虛擬聲源強度矩陣s可以從式(15)運算獲得,將求得的矩陣s代入式(17)中,即可計算出板的平均輻射聲功率。

5 波疊加計算法的應用舉例

取一個簡支矩形有障薄鋼板,其長度a為1m,寬度b為0.7m,厚度h為0.003m。幾何中心處受到幅值為1N的點力激勵,板的密度為ρs=7800kg/m3,泊松比υ=0.3,彈性模量E=2.16×1011N/m2,介質取為空氣,密度ρf=1.21kg/m3,聲速c=343m/s,模態阻尼系數η=0.01,參考聲功率Wf=10-12W。本文著重討論波疊加計算法在聲功率計算應用中離散單元數目對計算精度的影響。

(19)

式中,

α=kasinθcosφ,β=kbsinθsinφ

將薄板的表面離散為三種數目的矩形單元,第一種、第二種、第三種單元的數目分別為5×5(前一個數字表示x方向布置的行數,后一個數字表示y方向布置的行數)、10×10、15×15。

采用上述三種數目的矩形單元用本文介紹的波疊加計算法進行了聲功率求取,并將所得結果與解析法獲得的結果進行了對比。相對的最大誤差在表1中列出。圖4～圖6分別為第一種、第二種、第三種單元離散情況下基于波疊加原理計算出的平均輻射聲功率和解析法獲得的平均輻射聲功率的對比圖。

表2 不同單元數目下最大相對誤差比較表

圖4 5×5的矩形單元劃分波疊加法與解析法對比

圖4表明,當頻率較低時(ka≤7時),使用三種不同數目的虛擬聲源計算結果幾乎相同。從表2可以看出,隨著頻率的增加,相對誤差逐漸增大。隨著單元數目從5×5增加到10×10,計算產生的相對誤差迅速減小,從18.8%減小到7.1%。不過,隨著進一步增加單元數目到15×15,相對誤差從7.1%減小到5.5%,相對誤差的減小速度變慢,波疊加計算法的結果逐漸趨于解析法的結果。圖4、圖5反映出當采用更多單元時,波疊加計算法得到的輻射聲功率可以在相對較高的頻率處很好地收斂于解析結果,這說明了波疊加法在相對較廣頻率范圍內的適用性。

圖5 10×10的四邊形單元劃分波疊加法與解析法對比

圖6 15×15的四邊形單元劃分波疊加法與解析法對比

6 結語

通過上述的研究結果表明,波疊加計算法在獲得結構聲輻射面振速的情況下,通過求解虛擬聲源和函數的系數可以很好地估算輻射體表面的輻射聲功率,在低頻范圍內,利用較少數目的結構單元可以較好地估計結構的輻射聲功率。

從矩形板的算例可以看出,波疊加計算法相對于其他算法具有以下的優點。相對于邊界元法,它無需處理奇異性問題,計算得到簡化;在求解結構的輻射聲功率時,不需要計算結構的輻射聲阻抗,計算效率得到進一步提高;波疊加計算方法具有廣泛的頻域適用性,在低頻范圍內只需要較小數目的離散單元就可以獲得較高的精確度。

[1] Wu T W. Boundary element acoustics. Fundamentals and computer codes[M]. Southampton: WIT press,2000:9-27.

[2] Lamancusa J S. Acoustic finite element modeling using commercial structural analysis programs[J]. Noise Control Eng.,1988,30(2):65-71.

[3] Atalla N, R J Bemhard. Review of numerical solutions for low-frequency structural-acoustic problems[J]. Applied Acoustic,1994,43:271-294.

[4] Gennaretti M, Giordani A. A third-order boundary element method for exterior acoustics with applications to scattering by rigid and elastic shells[J]. Journal of Sound and Vibration,1999,222(5):699-722.

[5] Koopmann G H, Song Land Fahnline J B. A Method for Computing Acoustic Fields Based on the Principle of Wave Superposition[J]. Journal of the Acoustical Society of America,1989,8(6):2433-2438.

[6] Fahnline J B, Koopmann G H. A numerical solution for the general radiation problem based on the combined methods of superposition and singular value decomposition[J]. J. Acoust. Soc. Am.,1991,90:2808-2819.

[7] 向陽,Koopmann G H.基于波疊加原理的輻射聲場的計算研究[J].武漢理工大學學報,2005,29(1):1-4.

[8] 郭志勇,向陽,陳彪.波疊加法在結構輻射聲功率計算中的應用[J].應用聲學,2010,29(1):48-52.

[9] L Cremer, M Heckl, E E Ungar, Structure-borne Sound[M]. 2nd Edition, Springer, Berlin,1988:987-303.

[10] Koopmann G H, Fahnline J B. Designing Quiet Structures: A Sound Power Minimization Approach[M]. California: Academic Press,1997:81-84.

[11] Xie G, Thompson DJ, Jones CJC. The radiation efficiency of baffled plates and strips[J]. Journal of Sound and Vibration,2005,280:181-209.

Application of Wave Superposition in Calculation of Sheet Radiation Sound Power

LIU Bao ZHOU Qizheng

(Naval University of Engineering, Wuhan 430033)

A method for calculating the radiation sound power from a thin plate is described using the principle of wave superposition. After getting the velocity of the surface, the method can be used to calculate the strength of virtual sound source and then getting sound power through building the equations between the virtual source strength and unit volume velocity using Euler equation. In this paper, an example of rectangular baffled plate with simply supported boundary is given to compare the compution result with the analytic result. It is shown that the mention method can reduce the unit and node number while it can ensure high precision without calculating the radiation resistance. The method reduces computing time and improves the efficiency.

wave superposition, virtual sound source, sound radiation, sound power

2014年11月13日,

2014年12月21日

商洛學院科研項目(編號:14SKY006)資助。 作者簡介:劉寶,男,碩士研究生,研究方向:振動噪聲。周奇鄭,男,博士研究生,研究方向:振動噪聲。

O348.8

10.3969/j.issn1672-9730.2015.05.040