基于RLS算法與G-S算法的抗干擾分析*

李成全 孫維忠 張 雄

(武漢船舶通信研究所 武漢 430205)

?

基于RLS算法與G-S算法的抗干擾分析*

李成全 孫維忠 張 雄

(武漢船舶通信研究所 武漢 430205)

文章簡要分析了兩種廣泛應用的自適應波束形成算法:RLS算法與Gram-Schmidt正交化算法。基于這兩種算法在線陣、面陣、圓陣中的應用進行了Matlab仿真,通過對比兩種算法的性能,得出結論,在抗干擾應用時,G-S算法的計算量遠遠小于RLS算法,G-S算法性能優于RLS算法。

抗干擾; RLS算法; Gram-Schmidt算法

Class Number TP301.6

1 引言

利用陣列天線產生定向波束技術已經被廣泛應用于雷達、聲納、通信以及衛星導航等領域[1～2],可充分利用空間維度來提高系統性能。但在信道中,不可避免地存在著干擾和噪聲,它們通過方向圖的邊波束或主波束進入接收系統,從而降低系統的接收信噪比。隨著天線技術和信號處理技術的發展,自適應波束形成技術在陣列天線中的運用可有效解決這些干擾帶來的影響,從而保證陣列天線工作在最佳狀態,提升系統性能。

自適應波束形成技術的主要目的是使陣列天線方向圖的主瓣指向所需的方向,而使其零陷對準干擾方向,盡可能地提高陣列輸出所需信號的強度,同時減小干擾信號的強度,從而提高陣列輸出的信干噪比。即通過各陣元加權進行空域濾波,達到增強有用信號,抑制干擾的目的。實際工程中,通常要求自適應波束形成算法具有穩健性好、運算量小、收斂速度快和干擾抑制能力強等性能。

遞推最小二乘算法(Recursive Least Square,RLS)和Gram-Schmidt(GS)正交化算法均是廣泛應用的自適應波束形成算法。

2 自適應波束形成算法

2.1 RLS算法

遞推最小二乘算法(即RLS算法)[3～6]是用二乘方的時間平均的最小化準則取代最小均方準則,并按時間進行迭代計算,是要對初始時刻到當前時刻所有誤差的平方進行平均并使其最小化,再根據這一準則從而確定加濾波權矢量w,即所依據的準則是

(1)

其中

El=Dl-Yl

(2)

式(2)中,Dl是第l次快拍的期望響應,Yl是所有陣元第l次快拍的加權后的輸出響應,即

Yl=WTXl

(3)

對于非平穩輸入信號,引入一個指數加權因子對式(1)進行修正,有

(4)

式(4)中,指數加權因子δ稱為遺忘因子,它是小于1的正數。由式(4)可知,新得到的數據比舊的數據更重要,舊數據權值按指數規律衰減,越舊的數據對εL的影響越小。

按式(4)的最小化準則決定最佳權矢量。εL對w求導并令其等于零,得

(5)

這是最小二乘方準則所對應的正交方程。上式經整理后得到標準方程

(6)

定義

(7)

則標準方程可寫成簡化形式

RlW=Pl

(8)

令

(9)

則該方程的解為

Wl=TlPl

(10)

將式(10)寫成按l進行迭代計算的形式便推導出RLS算法。首先將式(7)寫成迭代形式

(11)

根據式(9)得到

(12)

將式(11)和式(12)代入式(10)得到

(13)

綜上所述,RLS算法的步驟如下:

2) 對每次快拍對應的期望響應Dl和輸入信號Xl,l=1,2,…,L,進行迭代運算,根據式(13)得到更新的權矢量wl;

3) 若l≠L進行第l+1次迭代計算,否則結束計算。

2.2 GS算法

Gram-Schmidt正交化算法(簡稱G-S算法)擁有數值特性好,算法結構便于并行實現,處理速度快,運算量小等諸多優點,適用于接收天線陣遇到強干擾的情況下[7～10]。

設接收天線陣由N個單元組成的均勻線陣,陣列接收到的信號矢量為X(t),設對信號矢量X(t)的加權矢量為w,則自適應波束形成網絡的輸出為

y(t)=wTX(t)

(14)

其中接收的信號矢量X(t)由期望信號XS(t)和干擾信號XJ(t)構成,即

X(t)=XS(t)+XJ(t)

(15)

則

y(t)=wTXS(t)+wTXJ(t)

(16)

假設XJ(t)包含M個干擾信號,即

XJ(t)=XJ1(t)+XJ2(t)+…+XJM(t)

(17)

在求和式(16)中wTXS(t)為期望的輸出,wTXJ(t)為不期望的干擾輸出,因此,為使輸出沒有干擾,應使干擾信號矢量XJ(t)加權之后的wTXJ(t)為零。即

wTXJi(t)=0,i=1,2,…,M

(18)

要使波束形成的輸出不含有干擾成分,應使加權矢量w與每一個干擾信號矢量正交,或者應使加權矢量w與M個干擾信號矢量所構成的干擾信號空間正交,則可在接收的期望信號脈沖休止期間采集M個含有干擾的信號矢量,進行重構干擾信號空間。

假設接收到的M個干擾信號矢量為XJ(i),i=1,2,…,M。則

S[XJ1(t),XJ2(t),…,XJM(t)]≈

S[XJ(1),XJ(2),…,XJ(M)]

(19)

加權矢量w與干擾信號空間正交等效于w與M個干擾信號矢量合成的干擾樣本空間正交。因此,應首先對采集的M個含有干擾的信號矢量進行正交化處理,即可得到干擾信號空間的一組正交基。此時,最佳權矢量即可通過原始權矢量與該正交基組正交得到。

G-S算法是利用內積的特性,由內積空間的任一基X1,X2,…,XL找到與該內積空間的一組正交基Z1,Z2,…,ZL和一組標準正交基Y1,Y2,…,YL的方法。它們的關系如下:

Z1=X1

Yl=Zl/‖Zl‖l=1,2,…,L

(20)

G-S算法的正交化過程如下:

設所求的正交基中第一個向量為Z1=X1,再令

Z2=X2+kZ1

(21)

由正交條件(Z2,Z1)=0可確定待定系數k。

由(X2+kZ1,Z1)=(X2,Z1)+k(Z1,Z1)=0

(22)

求得

(23)

所以,

=X2-(X2,Y1)Y1

(24)

到此得到兩個正交向量Z1,Z2。

再令

Z3=X3+k2Z2+k1Z1

(25)

再由正交條件(Z3,Z2)=0和(Z3,Z1)=0可求得k2和k1為

(26)

(27)

此時以求得三個兩兩正交且不為零的向量Z1,Z2,Z3。

假設已求得M個兩兩正交且不為零的向量Z1,Z2,…,ZM,為求得第M+1個與之正交的向量,讓

ZM+1=XM+1+LMZM+LM-1ZM-1+…+L2Z2+L1Z1

(28)

利用M個正交條件

(ZM+1,Zi)=0,i=1,2,…,M

(29)

來確定LM,LM-1,…,L2,L1,根據Z1,Z2,…,ZM兩兩正交的假設,可得

(XM+1,Zi)+Li(Zi,Zi)=0,i=1,2,…,M

(30)

即得

(31)

則ZM+1即被確定,同時YM+1也確定下來,由此即可進一步推算出最佳加權矢量。以下介紹由預加權w0(期望方向矢量)得到最佳加權w的過程。

M個干擾源構成的干擾空間{X1,X2,…,XM}的正交基和標準正交基都已求得,分別為{Z1,Z2,…,ZM}和{Y1,Y2,…,YM}。

為使權值w對消M個干擾信號,應使w與干擾空間正交,即使{Z1,Z2,…,ZM}⊥w,其充分必要條件為w與每一正交基Z1,Z2,…,ZM正交。則由前述向量組的G-S正交化方法可求得最佳加權值為

w=w0-(w0,Y1)Y1-(w0,Y2)Y2-…-(w0,YM)YM

(32)

3 Matlab仿真分析

3.1 線陣的抗干擾

16元均勻線陣的G-S算法和RLS算法仿真:

仿真一:期望信號的到達角為96°,信噪比為0dB,干擾信號的到達角分別為22°和133°,干噪比分別為31dB,36dB。分別采用G-S算法和RLS算法進行波束形成,得到仿真圖為圖1、圖2,虛線代表處理前,實線代表處理后。

圖1 干擾為強干擾時的G-S算法仿真

仿真二:將仿真一中的干噪比改為6dB,11dB。分別采用G-S算法和RLS算法進行波束形成,得到仿真圖為圖3、圖4,虛線代表處理前,實線代表處理后。

圖2 干擾為強干擾時的RLS算法仿真

圖3 干擾為弱干擾時的G-S算法仿真

圖4 干擾為弱干擾時的RLS算法仿真

由上述得到仿真圖對比可看出,在強干擾情況下,G-S算法和RLS算法都能很好地在指定角度形成-70dB以下的零點;當干擾信號強度變弱,即信干比降低時,G-S算法形成的零點深度-40dB以下,RLS算法形成-50dB以下的零點。由此表明G-S算法和RLS算法,無論是在強干擾或是弱干擾情況下使用,都能很好地在干擾方向形成零點;但RLS算法采用了500次快拍數據,而G-S算法只采用了兩次快拍數據就能得到最佳加權值,因此G-S算法計算量小,速度較快。

3.2 面陣的抗干擾

13×13個單元均勻矩形平面陣的G-S算法和RLS算法仿真:

設矩形平面陣陣面垂直水平面,即陣面中心法線與水平面平行,法線方向是方位角0°、俯仰角0°,則方位角、俯仰角范圍都是-90°至90°,仿真只考慮俯仰角為0°,方位角變化的波束形成。假設期望信號的到達角為-13°,信噪比為0dB,三個干擾信號的方位到達角分別為-69°、15°和63°,干噪比分別為34dB、37dB、43dB,G-S算法采樣快拍數為3,RLS算法采樣快拍數為500,仿真圖如下圖5、圖6所示,虛線代表處理前,實線代表處理后。

圖5 面陣的G-S算法仿真

圖6 面陣的RLS算法仿真

由以上仿真得到的水平面方向圖可看出,當陣元數變多時,兩種算法的抗干擾效果都有所提高;但RLS算法比G-S算法的采樣快拍數多很多,使得RLS算法的計算量大,抗干擾實時性差,同時該算法在指定角度形成的零陷深度不如G-S算法,因此再次驗證了在強干擾情況下,RLS算法的性能不如G-S算法。

3.3 圓陣的抗干擾

二維均勻圓環陣中陣元數為16個單元時,干擾信號仍為強干擾時的G-S算法和RLS算法仿真:

假設設16元圓環陣仿真只考慮俯仰角為90°,方位角變化,即水平面的波束形成。假設期望信號的到達角為-17°,信噪比為5dB,有三個干擾信號,其方位到達角分別為-115°、91°和167°,干噪比分別為34dB,37dB,43dB,G-S算法采樣快拍數為3,RLS算法采樣快拍數為500,仿真圖為圖7與圖8所示,虛線代表未經算法處理之前的方向圖,實線代表經算法處理之后的方向圖。

圖7 圓形陣列的G-S算法仿真

圖8 圓形陣列的RLS算法仿真

由以上仿真可看出,得到的水平面方向圖RLS算法零點深度不如G-S算法,G-S算法的零點深度均達到了-54dB以下,而RLS算法的零點最深為-55dB,且RLS算法使主瓣明顯展寬的更寬,旁瓣電平也明顯G-S算法,同時RLS算法的大運算量更使得其抗干擾的綜合性能不如G-S算法。

4 結語

RLS算法與G-S算法作為常用的自適應波束形成算法,均有各自的特點,本文通過對兩種算法在線陣、面陣、圓陣中的應用進行仿真對比分析,最終得出結論,G-S算法優于RLS算法,更適于陣列天線的實時抗干擾運用。

[1] Van Trees H L. Optimum array processing, part Ⅳ of detection, estimation and modulation theory[M]. New York: Wiley Press,2002:67-78.

[2] Applebaum S P. Adaptive arrays[J]. IEEE Trans,1976,AP-24(9):585-595.

[3] R. Johannestn, S. T. Ltd. The role adaptive antenna systems where used with GPS[J]. IEEE, ION,1988:267-270.

[4] Adali T, Ardalan S H. Fixed-point roundoff error analysis of the exponen-tially windowed RLS algorithm for time-varying systems[J]. Acoustics, Speech, and Signal Processing,1991,3:1865-1868.

[5] Hung E K L, Turner R M. A fast beam-forming algorithm for large arrays[J]. IEEE Trans on AES,1983,19(4):598-607.

[6] 姚天任,孫洪.數字信號處理[M].武漢:華中科技大學出版社,1999:93-99.

[7] 張斌.高效穩健的自適應濾波算法研究[D].西安:西安電子科技大學博士論文,2010:13-31.

[8] K. A. Gallivan. High Performance Archit-ectures for Adaptive Filtering Based on The Gram Schimidt Algorithm[J]. Proc.of SPIE, Real Time Signal Processing Ⅶ,1984,495:30-38.

[9] F. Ling. A Recursive Modified Gram Schmidt Algorithm for Least Squares Estimation[J]. IEEE Trans on ASSP,1986,34(8):829-835.

[10] 陳建春,趙樹杰.基于G-S算法的脈沖追趕式自適應DBF實現技術[J].西安電子科技大學學報,1999,26(5):541-544.

Analysis of Anti-jamming Based on RLS Algorithm and G-S Algorithm

LI Chengquan SUN Weizhong ZHANG Xiong

(Wuhan Maritime Communication Research Institute, Wuhan 430205)

Two widely used adaptive beamforming algorithms are analyzed briefly in this paper, including the RLS algorithm and the Gram-Schmidt orthogonal algorithm. The application of these two algorithms in line array, planar array and circular array is simulated by the Matlab. By comparing the performance of the algorithms, it is concluded that the computation of the G-S algorithm is much smaller than the RLS algorithm, and the G-S algorithm outperforms the RLS algorithm in the anti-jamming applications.

anti-jamming, RLS algorithm, G-S algorithm

2015年2月3日,

2015年3月17日

李成全,男,碩士,研究方向:艦載通信天線,抗干擾陣列天線。孫維忠,男,碩士,研究方向:相控陣天線。張雄,男,研究方向:微帶天線,艦載通信天線。

TP301.6

10.3969/j.issn1672-9730.2015.08.013