基于遞推最小二乘卡爾曼濾波方法的模糊度解算*

徐冠楠 汪 捷

(海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系 武漢 430033)

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基于遞推最小二乘卡爾曼濾波方法的模糊度解算*

徐冠楠 汪 捷

(海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系 武漢 430033)

針對(duì)北斗動(dòng)態(tài)定位,通過(guò)使用遞推最小二乘方法,采用擴(kuò)展卡爾曼濾波的方法估計(jì)模糊度浮點(diǎn)解,實(shí)現(xiàn)了利用多歷元載波相位觀測(cè)信息求解整周模糊度。通過(guò)模擬北斗觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真,可以得出擴(kuò)展卡爾曼濾波的方法精度高,適合動(dòng)態(tài)定位解算。

北斗動(dòng)態(tài)定位; 最小二乘; 擴(kuò)展卡爾曼; 整周模糊度

Class Number TP301.6

1 引言

Kalman濾波是目前動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位中最常用的方法,其特點(diǎn)是一種時(shí)域?yàn)V波方法,引入了狀態(tài)空間概念,算法采用遞推形式,即利用系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,由參數(shù)的驗(yàn)前估計(jì)和新的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)參數(shù)的更新,遞推估計(jì)新的狀態(tài)估值。在高精度動(dòng)態(tài)定位中,通常是對(duì)位置等運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì),而不對(duì)它們的誤差進(jìn)行估計(jì),由于解算中需要用到載波相位觀測(cè)數(shù)據(jù),因此待估狀態(tài)向量不僅僅包含位置和速度等載體運(yùn)動(dòng)參數(shù),同時(shí)還包含模糊度向量參數(shù)。

2 Kalman濾波原理

2.1 Kalman濾波的通用模型

Kalman濾波是一種基于狀態(tài)模型解決最優(yōu)估計(jì),能夠使用遞推方式的數(shù)據(jù)處理方法。Kalman濾波的方程表示如下:

xk=φk-1,kxk-1+Γk-1wk-1
Lk=Akxk+vk

(1)

式(1)中,xk是系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量,包括用戶位置、速度、加速度、整周模糊度、電離層延遲、對(duì)流層延遲等待估參數(shù)。wk-1是系統(tǒng)的q維過(guò)程噪聲向量,Γk-1是n*q維干擾系數(shù)矩陣,φk-1,k是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,Lk是觀測(cè)值向量,Ak是設(shè)計(jì)矩陣,vk是觀測(cè)噪聲。系統(tǒng)的觀測(cè)噪聲和過(guò)程噪聲都是均值為零,且不相關(guān)的白噪聲。其統(tǒng)計(jì)特性表示如下:

2.2 擴(kuò)展Kalman濾波(EKF)

由于Kalman濾波適用于線性觀測(cè)系統(tǒng),但是在北斗動(dòng)態(tài)定位中,由于觀測(cè)方程式是非線性的,需要采用一種新的濾波方法,即本文采用的擴(kuò)展Kalman濾波方法進(jìn)行結(jié)解算。其總體思路是將非線性的函數(shù)通過(guò)泰勒展開(kāi)并截?cái)喔唠A項(xiàng)將其線性化之后再進(jìn)行濾波。首先,采用擴(kuò)展Kalman濾波方法構(gòu)造系統(tǒng)方程和測(cè)量方程,利用條件平差方法進(jìn)行推導(dǎo)。擴(kuò)展Kalman濾波的觀測(cè)方程在某一點(diǎn)處線性化可以表示為

進(jìn)一步簡(jiǎn)化可以得到:

Lk=Hkxk+vk

式中的xk為Δxk,于是上式可以改寫為

由上述分析可以得到此時(shí)的預(yù)估殘差權(quán)逆陣為

計(jì)算增益矩陣Kk:

計(jì)算出最終的濾波解:

3 北斗動(dòng)態(tài)定位模型與解算

針對(duì)實(shí)際北斗動(dòng)態(tài)定位情況,利用擴(kuò)展Kalman濾波結(jié)合定位中觀測(cè)方程與狀態(tài)方程作解算。

3.1 觀測(cè)方程

設(shè)tk歷元,參考站r和流動(dòng)站p都觀測(cè)到了m顆衛(wèi)星,每個(gè)測(cè)站的雙頻偽距與雙頻載波觀測(cè)量已知,分別雙差,得到雙差觀測(cè)量,設(shè)參考衛(wèi)星為k,則動(dòng)態(tài)定位的狀態(tài)向量為

在動(dòng)態(tài)定位中,觀測(cè)量Lk為

函數(shù)f(xk)的表達(dá)式表示為

f(xk)=[fφ1fφ2fR1fR2]T

其中:

由f(xk)可以得到Hk的表達(dá)式:

雙差觀測(cè)量的方差-協(xié)方差陣可表達(dá)為

其中:

3.2 狀態(tài)方程

在實(shí)際定位中,假設(shè)在某一歷元時(shí)刻觀測(cè)了m顆衛(wèi)星,狀態(tài)向量的維數(shù)為n,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣φk-1,k的表達(dá)式可以寫為

式中的Ik為K階單位矩陣,Δt為觀測(cè)數(shù)據(jù)的采樣間隔。

矩陣Γk-1的表達(dá)式為

動(dòng)態(tài)噪聲的方差協(xié)方差陣表示為

4 算法仿真與分析

接下來(lái)將上述擴(kuò)展卡爾曼濾波方法進(jìn)行仿真,從而便于對(duì)算法進(jìn)行分析,證明其濾波定位精度可以為后續(xù)的整周模糊度解算提供初始值。

由于目前北斗尚未有公開(kāi)的雙頻觀測(cè)數(shù)據(jù),為了保證算法的有效性,下面的仿真將用模擬的北斗觀測(cè)數(shù)據(jù)以及真實(shí)的GPS數(shù)據(jù)來(lái)分析算法的效果。

4.1 衛(wèi)星星歷模擬仿真

對(duì)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的可見(jiàn)數(shù)目進(jìn)行仿真。如圖1所示,在連續(xù)3000個(gè)歷元中,可見(jiàn)的衛(wèi)星數(shù)目不斷發(fā)生變化,由于只有當(dāng)衛(wèi)星數(shù)目值大于等于4的時(shí)候才能完成解算。

4.2 用戶運(yùn)動(dòng)軌跡的模擬

圖1 可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)目仿真

圖2 飛行器運(yùn)動(dòng)軌跡模擬路線

4.3 觀測(cè)數(shù)據(jù)模擬方法

在數(shù)據(jù)模擬一塊,首先可以模擬出無(wú)噪聲的載波相位測(cè)量值,再加入高斯白噪聲等噪聲,這樣就產(chǎn)生了北斗導(dǎo)航系統(tǒng)的載波相位測(cè)量值。同樣的對(duì)于北斗系統(tǒng)偽距測(cè)量值,模擬思路大致一樣,首先模擬出無(wú)噪聲的偽距測(cè)量值,然后加入鐘差等各種誤差的影響,在此基礎(chǔ)上再加入多種噪聲,這樣就產(chǎn)生了北斗導(dǎo)航系統(tǒng)的偽距測(cè)量值。

圖3 觀測(cè)數(shù)據(jù)模擬方法

4.4 濾波定位算法仿真與性能分析

利用已有的模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行算法仿真,結(jié)果如表1所示。在東向和北向給以初速度,觀測(cè)擴(kuò)展卡爾曼濾波法在濾波前后各方向的誤差變化情況。

表1 模擬北斗觀測(cè)數(shù)據(jù)下的EKF定位誤差方差

通過(guò)觀測(cè)圖可知,EKF定位濾波算法的在減小誤差以及適應(yīng)性方面很顯著。在0～100歷元時(shí)刻里,東向誤差又濾波前的-50m～50m減小到-3m到3m,北向誤差由-50m～50m減小到-5m～5m,并且隨著歷元時(shí)刻的增加,誤差范圍逐漸減小。說(shuō)明EKF算法的濾波定位精度較高,方差較小,這為后續(xù)的整周模糊度解算提供較為精確的初始值。因?yàn)楹罄m(xù)的整周模糊度解算要求偽距初始定位的誤差方差在3m～5m以內(nèi),由下表可以說(shuō)明EKF濾波定位已經(jīng)可以達(dá)到為后續(xù)提供初始坐標(biāo)的目的。

圖4 模擬北斗數(shù)據(jù)下EKF濾波定位算法仿真

5 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)采用擴(kuò)展卡爾曼濾波的方法進(jìn)行了模糊度參數(shù)估計(jì),通過(guò)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。擴(kuò)展卡爾曼濾波法通過(guò)線性化觀測(cè)方程的方法提高了模糊度參數(shù)估計(jì)的精度,并且在歷元時(shí)刻較長(zhǎng)之后可以減小觀測(cè)誤差,有利于后續(xù)的模糊度解算。

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Fuzzy Degree Calculation Based on Recursive Least Square Kalman Filtering Method

XU Guannan WANG Jie

(Navigation Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033)

In view of the big dipper dynamic positioning regarding recursive least squares method as the basic, extended Kalman filter method is used to estimate the fuzzy degree of float solution. Thus using more epoch carrier phase observation information to solve the fuzzy degree of the whole week is achieved. Through test simulation by simulating beidou observation data, it proves that extended Kalman filtering method has high precision, and is suitable for dynamic positioning algorithm.

beidou dynamic positioning, least squares, extended Kalman, the whole week ambiguity

2014年10月8日,

2014年11月28日

徐冠楠,男,碩士研究生,研究方向:導(dǎo)航制導(dǎo)與定定位方向理論與應(yīng)用。

TP301.6

10.3969/j.issn1672-9730.2015.04.011