基于Fluent軟件的SCR擺線轉(zhuǎn)子泵控制方程模型及算法探究

麥云飛，劉磊然，郭 瑞

（上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海200093）

0 引 言

擺線齒輪是漸開線齒輪的前驅(qū)。由于漸開線齒輪有加工刀具形狀簡(jiǎn)單、中心距改變時(shí)傳動(dòng)比保持恒定、生產(chǎn)效率高等優(yōu)勢(shì)，使其在齒輪傳動(dòng)的許多領(lǐng)域代替了擺線齒輪。但是擺線齒輪也有著漸開線齒輪不可比擬的優(yōu)勢(shì)，比如擺線齒輪組成的傳動(dòng)裝置體積小、重量輕、結(jié)構(gòu)緊湊等。這使得擺線齒輪在某些特殊領(lǐng)域，仍保持著其絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)。然而擺線齒輪復(fù)雜的輪廓曲線、較高的加工精度等限制了其發(fā)展。近年來(lái)數(shù)控技術(shù)以及粉末冶金技術(shù)的快速發(fā)展為擺線轉(zhuǎn)子泵的廣泛應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的保證，吸引著國(guó)內(nèi)外學(xué)者紛紛加入到擺線轉(zhuǎn)子泵的研究隊(duì)伍中。

設(shè)計(jì)者往往希望在樣泵生產(chǎn)加工之前利用現(xiàn)有的CAE技術(shù)先對(duì)其進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬仿真，得到一些重要的性能參數(shù)，指導(dǎo)優(yōu)化設(shè)計(jì)、節(jié)約研究成本、縮短生產(chǎn)周期。因此，本文采用了國(guó)際商用軟件Fluent對(duì)SCR擺線轉(zhuǎn)子泵的內(nèi)部流場(chǎng)進(jìn)行仿真求解研究。

1 Fluent流場(chǎng)仿真流程概述

Fluent是一款比較流行的國(guó)際商用軟件，它包含了豐富的物理模型和先進(jìn)的數(shù)值處理方法，能夠解決各種復(fù)雜的流動(dòng)計(jì)算問(wèn)題，從層流到湍流、從穩(wěn)態(tài)到瞬態(tài)、從不可壓縮流體到可壓縮流體等［1］。應(yīng)用Fluent進(jìn)行流場(chǎng)仿真分析，包括三個(gè)基本環(huán)節(jié)：前處理、計(jì)算求解和后處理，與之對(duì)應(yīng)的程序模塊為前處理器、求解器和后處理器［2］，其工作流程如圖1。

圖1 Fluent仿真分析流程

針對(duì)流體的仿真，F(xiàn)luent 6.2.16求解器的應(yīng)用范圍是最廣泛的，它對(duì)網(wǎng)格的類型沒(méi)有嚴(yán)格的限制，既可對(duì)結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行求解，也可對(duì)非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行求解。但是在Gambit中對(duì)模型進(jìn)行劃分網(wǎng)格時(shí)，要針對(duì)模型的維數(shù)選擇合適的網(wǎng)格。對(duì)于二維問(wèn)題，可以選擇四邊形網(wǎng)格和三角形網(wǎng)格；對(duì)于三維問(wèn)題，可以選擇六面體、四面體、金字塔形以及楔形網(wǎng)格［3］。其中結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格包括二維的四邊形網(wǎng)格和三維的六面體網(wǎng)格，其余為非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。Fluent 6.2.16可以處理單塊和多塊網(wǎng)格，也可以處理二維及三維混合網(wǎng)格。

本文選用的前置處理器和求解器分別為Gambit2.2.30和Fluent 6.2.16。后處理器則采用Fluent自帶的后處理功能進(jìn)行結(jié)果的監(jiān)測(cè)。

2 擺線轉(zhuǎn)子泵控制方程模型確定

Fluent是在流體動(dòng)力學(xué)控制方程的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，控制方程是物理學(xué)守恒定律的表達(dá)式。流體的流動(dòng)主要受三大物理守恒定律的約束，分別為流體質(zhì)量守恒定律、流體動(dòng)量守恒定律（即牛頓第二定律）和流體能量守恒定律［4］。任何形式、任何狀態(tài)的流體流動(dòng)，都必須滿足以上三大定律。而針對(duì)SCR擺線轉(zhuǎn)子泵的仿真研究，其屬于湍流流動(dòng)。因此要考慮湍流運(yùn)動(dòng)遵循的湍流運(yùn)輸方程。其中湍流運(yùn)輸方程包括湍動(dòng)能k方程及湍流耗散率ε方程。

2.1 湍流的特征

流體一般有兩種流動(dòng)狀態(tài)，分別為層流和紊流（也稱湍流）。紊流和層流的速度對(duì)時(shí)間的變化情況如圖2。紊流和層流的速度不同，流體層之間如果沒(méi)有互相干擾，則這種形式的流動(dòng)稱為層流流動(dòng)。層流流動(dòng)既沒(méi)有質(zhì)量的傳遞，也沒(méi)有動(dòng)量的傳遞；而湍流流動(dòng)中則沒(méi)有明顯的分層現(xiàn)象，流動(dòng)比較紊亂，整個(gè)過(guò)程中伴隨著質(zhì)量和動(dòng)量的傳遞［5］。湍流的主要特征表現(xiàn)為在物理上近乎于無(wú)窮多的尺度和在數(shù)學(xué)上強(qiáng)烈的非線性。由于工程應(yīng)用中的流體流動(dòng)情況多為紊流，因此紊流一直受到研究人員的高度關(guān)注，在工程中占有舉足輕重的地位。

圖2 紊流和層流的速度變化

2.2 擺線轉(zhuǎn)子泵湍流模型的確定

SCR擺線轉(zhuǎn)子泵內(nèi)外轉(zhuǎn)子的運(yùn)轉(zhuǎn)速度很快，屬于高速運(yùn)轉(zhuǎn)。內(nèi)外轉(zhuǎn)子之間的工作容腔隨轉(zhuǎn)子的運(yùn)轉(zhuǎn)，形狀發(fā)生周期性地快速變化，存在較大的變形；同時(shí)由于轉(zhuǎn)子間形成的各個(gè)封閉容腔的壓差及流速差的存在，導(dǎo)致擺線轉(zhuǎn)子泵所輸送的介質(zhì)在流速和流向上發(fā)生較大的擾動(dòng)，因此其流動(dòng)情況較為復(fù)雜，屬于湍流流動(dòng)情況。對(duì)SCR擺線轉(zhuǎn)子泵內(nèi)部流場(chǎng)的模擬，實(shí)質(zhì)上是對(duì)不可壓縮粘性流體的納維-斯托克斯方程（N-S方程）的數(shù)值求解。為了更好地獲得擺線轉(zhuǎn)子泵的流場(chǎng)仿真特性，必須選擇合適的湍流模型，且合適的湍流模型對(duì)仿真模擬的真實(shí)反映以及運(yùn)算成本，都有著不可忽視的作用。

Fluent中的湍流模型一般都是基于雷諾平均的N-S方程的湍流模型［6］。下面對(duì)其中常用的幾種湍流模型進(jìn)行分析，為選擇合適的擺線轉(zhuǎn)子泵湍流模型奠定理論基礎(chǔ)。根據(jù)湍流模型每迭代步數(shù)的計(jì)算成本，由小到大的順序給出各個(gè)湍流模型的關(guān)系，如圖3。

圖3 幾種常用湍流模型

Spalart-Allmaras是一種新出現(xiàn)的單方程湍流模型，該模型主要應(yīng)用于空氣動(dòng)力學(xué)或者處理一些輕微的湍流流動(dòng)情況［7］，其對(duì)近壁的變量梯度比在k-ε模型和k-ω模型中的要小很多，模擬精度不夠高。因此對(duì)于復(fù)雜的流動(dòng)通常需要采用二方程的k-ε湍流模型來(lái)保證足夠的模擬精度。標(biāo)準(zhǔn)的k-ε模型在工業(yè)應(yīng)用中被普遍使用，其收斂性和精確性都比較好，但對(duì)于復(fù)雜的湍流流動(dòng)的處理，RNG k-ε模型考慮了湍流漩渦，其精確性更好，而且標(biāo)準(zhǔn)的k-ε模型是一種高雷諾數(shù)的模型，使用的是用戶提供的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，RNG理論則為湍流Prandtl數(shù)提供了一個(gè)解析公式，能更好地處理近壁區(qū)域。因此，RNG k-ε模型比標(biāo)準(zhǔn)的k-ε模型在更廣泛的流動(dòng)中有更高的可信度和精度；相比于標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型，Realizable k-ε對(duì)復(fù)雜流動(dòng)的模擬有較好的效果，但在計(jì)算同時(shí)包含旋轉(zhuǎn)流體域和靜止流體域的湍流流動(dòng)時(shí)會(huì)導(dǎo)致非物性湍流粘度，不能適用于擺線轉(zhuǎn)子泵的流場(chǎng)仿真；而RNG k-ε模型對(duì)存在瞬變流和流線彎曲的復(fù)雜流動(dòng)也有良好的模擬效果，較之kω和Reynolds Stress Model湍流模型其計(jì)算經(jīng)濟(jì)性要好得多，因此綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算成本，對(duì)SCR擺線轉(zhuǎn)子泵的流場(chǎng)仿真，采用RNG k-ε湍流模型來(lái)模擬其內(nèi)部流動(dòng)情況。

2.3 湍流控制方程及其簡(jiǎn)化

湍流流動(dòng)中，如果直接求解三維瞬態(tài)納維葉-斯托克斯方程，需要采用對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存和速度要求很高的直接模擬方法，這種方法目前來(lái)看是不可能應(yīng)用于實(shí)際工程中的。工程中采用的方法是通過(guò)補(bǔ)充能夠反應(yīng)湍流特性的湍流模型方程，對(duì)瞬態(tài)納維葉-斯托克斯方程做時(shí)間平均處理。RNG湍流方程就是其中的一種處理方法，該湍流方程包括湍動(dòng)能方程和湍流耗散率方程，其數(shù)學(xué)描述如下。

湍動(dòng)能k方程：

湍流耗散率ε方程：

式中，Gk是由平均速度梯度引起的湍動(dòng)能k的產(chǎn)生項(xiàng)；Gb是由浮力引起的湍動(dòng)能k的產(chǎn)生項(xiàng)；YM是可壓縮湍流中的脈動(dòng)擴(kuò)張項(xiàng)，G1ε、G2ε和G3ε為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；αk和αε分別為湍動(dòng)能k和湍流耗散率ε對(duì)應(yīng)的Prandtl數(shù)（在大雷諾數(shù)時(shí)，兩者取值約為1.393）；Sk和Sε分別為用戶定義的源項(xiàng)。

綜上所述，當(dāng)泵送介質(zhì)為不可壓縮流體，同時(shí)不考慮用戶自定義的源項(xiàng)時(shí)，RNG k-ε模型的簡(jiǎn)化方程如下。

3 擺線轉(zhuǎn)子泵控制方程求解算法研究

3.1 離散化方法概述

從前面的湍流控制方程分析可以看出，這些基本方程都是偏微分方程，要得到其解析解或者近似解析解是非常困難的，因此，必須對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散化，將連續(xù)的偏微分方程組及其定解條件按照某種方法遵循的特定的規(guī)則轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組（與控制方程相對(duì)應(yīng)的離散方程），以得到連續(xù)系統(tǒng)的離散數(shù)值逼近解。有限差分法、有限元法和有限體積法是CFD經(jīng)常使用的離散方法，而邊界元法在計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用相對(duì)多一些，在CFD中應(yīng)用較少。

有限差分法（Finite Difference Method，F(xiàn)DM）是最經(jīng)典的方法，它將微分方程離散到網(wǎng)格點(diǎn)上，將方程中無(wú)限小的微元化為有限小的差分來(lái)求解。有限差分法在流體力學(xué)中應(yīng)用廣泛，發(fā)展也比較成熟。但是其一般適用于簡(jiǎn)單的幾何流動(dòng)，對(duì)于復(fù)雜的幾何流動(dòng)問(wèn)題，如果不能做到網(wǎng)格對(duì)光滑程度的要求，就很難保證差分格式的高精度，導(dǎo)致較大的誤差。

有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）是把積分形式的方程離散到有限小的集體單元里，利用極值原理進(jìn)行求解。有限元法對(duì)網(wǎng)格的類型沒(méi)有特別的要求，對(duì)象既可以是結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，也可以是非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。但是為了保證解的精度，有限元法在每個(gè)微小單元里要進(jìn)行特定的加權(quán)積分，因此其求解速度比較慢，且占用比較大的內(nèi)存。

有限體積法（Finite Volume Method，F(xiàn)VM），首先將計(jì)算域離散成一組控制體（網(wǎng)格單元），然后在這組控制體上求解控制方程，將偏微分方程組離散為代數(shù)方程系統(tǒng)；進(jìn)而通過(guò)數(shù)值的方法求解所有的代數(shù)方程組，逐漸接近流場(chǎng)的真實(shí)解。有限體積法的優(yōu)點(diǎn)是首先對(duì)網(wǎng)格的正交性沒(méi)有特別的要求，可以大量使用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，從而可以對(duì)復(fù)雜幾何問(wèn)題進(jìn)行求解，其次是計(jì)算時(shí)該算法對(duì)內(nèi)存的占用很小，便于精細(xì)地模擬流場(chǎng)細(xì)節(jié)。Fluent解算器就是基于有限體積法的，目前Fluent測(cè)試的網(wǎng)格單元數(shù)量已經(jīng)突破10億，并行效率很高。

3.2 流場(chǎng)數(shù)值求解算法研究

擺線轉(zhuǎn)子泵的流場(chǎng)仿真模型通過(guò)有限體積法離散化后，得到了與控制方程相對(duì)應(yīng)的離散方程，即代數(shù)方程組。但是該代數(shù)方程組不能直接用于求解計(jì)算，因此還必須對(duì)離散方程進(jìn)行某種調(diào)整，并且對(duì)各未知量（速度、壓力等）的求解順序及方式進(jìn)行特殊處理。在Fluent中對(duì)離散后的控制方程的求解分為耦合式解法（Coupled Method）和分離 式 解法 （Segregated Method）。這兩種求解方法的求解對(duì)象和所求解的控制方程基本是相同的，也都是用有限體積法作為對(duì)計(jì)算對(duì)象進(jìn)行離散求解的基礎(chǔ)方法。但是對(duì)于不同的流動(dòng)求解，兩者的精度不同。對(duì)于特定的流動(dòng)，為了得到更精確的逼近解，要選擇合適的求解器。

對(duì)于高速可壓縮流體流動(dòng)問(wèn)題，一般采用耦合求解法；對(duì)于不可壓縮和中等程度的可壓縮流體流動(dòng)問(wèn)題，則應(yīng)用分離求解法進(jìn)行求解。SCR擺線轉(zhuǎn)子泵的流場(chǎng)仿真分析，根據(jù)前面的假設(shè)，屬于不可壓縮流體流動(dòng)問(wèn)題，所以選擇分離求解法進(jìn)行求解。

分離求解法是把動(dòng)量和壓力（或壓力修正）作為主要變量。Fluent中主要提供了4種壓力—速度耦合算法，分別為SIMPLE、SIMPLEC、PISO和Coupled算法。其中前三種屬于分離求解算法，最后一種屬于耦合求解算法。由于擺線轉(zhuǎn)子泵是基于分離求解算法的，下面主要針對(duì)分離求解算法進(jìn)行分析，確定適用于擺線轉(zhuǎn)子泵的求解算法，用于后續(xù)的流場(chǎng)仿真求解分析。

分離求解方法即分別求解各個(gè)控制方程的方法。由于控制方程都是非線性的，因此求解過(guò)程必須經(jīng)過(guò)多次迭代才能獲得其收斂解。圖4為分離求解方法的求解流程，其過(guò)程概括如下。

（1）流場(chǎng)變量更新。在第一次計(jì)算時(shí)，變量由初始化過(guò)程更新。在隨后的計(jì)算中，每迭代一次即得到一次更新的解。

（2）用當(dāng)前的壓強(qiáng)和質(zhì)量通量的值求解動(dòng)量方程，以得到新的速度場(chǎng)。

（3）由于（2）中得到的速度場(chǎng)的數(shù)值解無(wú)法完全滿足連續(xù)方程，所以再求解壓力修正方程。壓力修正方程是由連續(xù)方程導(dǎo)出的泊松型方程，求解這個(gè)方程可以得到對(duì)壓強(qiáng)場(chǎng)、速度場(chǎng)和質(zhì)量場(chǎng)通量的修正，進(jìn)而滿足連續(xù)方程。

（4）利用前面求出的解，求解湍流方程、能量方程、組元方程和能量方程。

（5）檢驗(yàn)收斂條件是否滿足。如果收斂條件滿足，則停止計(jì)算。否則，繼續(xù)迭代過(guò)程。

圖4 分離求解過(guò)程

SIMPLE算法的基本策略是用假定的壓強(qiáng)場(chǎng)求解動(dòng)量方程以得到邊界點(diǎn)上的通量。因?yàn)榧俣ǖ膲簭?qiáng)場(chǎng)不準(zhǔn)確，所以求得的通量必然不能滿足連續(xù)方程，于是在通量上添加修正項(xiàng)，以使得通量能夠滿足連續(xù)方程。而通量修正項(xiàng)是壓強(qiáng)修正項(xiàng)的函數(shù)，因此將修正過(guò)的通量代入連續(xù)方程，就可以得到一個(gè)關(guān)于壓強(qiáng)修正項(xiàng)的方程。用AMG多重網(wǎng)格法求解這個(gè)方程可以得到壓強(qiáng)修正項(xiàng)的解。在壓強(qiáng)修正項(xiàng)的前面乘以亞松弛因子，再與原壓強(qiáng)相加就可以得到一個(gè)新的壓強(qiáng)場(chǎng)。以這個(gè)新的壓強(qiáng)場(chǎng)為起點(diǎn)重復(fù)上述過(guò)程，就形成了交替求解壓強(qiáng)場(chǎng)、速度場(chǎng)的迭代過(guò)程，直到最后得到收斂解，計(jì)算結(jié)束。

SIMPLEC算法與SIMPLE算法的基礎(chǔ)思路一致，僅在通量修正方法上有所改進(jìn)，因而加快了計(jì)算的收斂速度。SIMPLE算法和SIMPLEC算法在每隔迭代步中得到的壓強(qiáng)場(chǎng)都不能完全滿足動(dòng)量方程，因此需要反復(fù)迭代，直至收斂。

PISO算法針對(duì)SIMPLE算法中每個(gè)迭代步獲得的壓強(qiáng)場(chǎng)與動(dòng)量方程偏離過(guò)大的問(wèn)題，在每個(gè)迭代步中增加了動(dòng)量修正和網(wǎng)格畸變修正過(guò)程。因此雖然PISO算法的每個(gè)迭代步中的計(jì)算量大于SIMPLE算法和SIMPLEC算法，但是由于每個(gè)迭代步中獲得的壓強(qiáng)場(chǎng)更準(zhǔn)確，所以使得計(jì)算收斂的更快，也就是說(shuō)收斂解需要的迭代步數(shù)大大減少了。

經(jīng)過(guò)大量的實(shí)踐表明，對(duì)于擺線轉(zhuǎn)子泵，PISO算法有更高的精度，且收斂速度較快，因此SCR擺線轉(zhuǎn)子泵的流場(chǎng)仿真采用的是PISO算法。

4 總 結(jié)

本文在基于Fluent軟件的前提下，分析簡(jiǎn)化了適用于SCR擺線轉(zhuǎn)子泵的基本控制方程；通過(guò)對(duì)不同湍流模型適用范圍及計(jì)算精度和成本的分析，選用了可以處理復(fù)雜湍流問(wèn)題，并能獲得較高精度和可信度的RNG k-ε湍流模型；通過(guò)對(duì)離散方程不同求解方法優(yōu)缺點(diǎn)的分析，確定了用分離控制PISO算法進(jìn)行求解計(jì)算，對(duì)擺線轉(zhuǎn)子泵內(nèi)部流場(chǎng)的仿真提供了支撐基礎(chǔ)。

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