哈薩克族傳統建筑文化中的幾何元素

木爾扎別克·阿不力卡斯， 吳和敏

(1. 新疆教育學院數學學院，新疆 烏魯木齊 830043；

2. 新疆教育學院現代教育技術中心，新疆 烏魯木齊 830043)

哈薩克族傳統建筑文化中的幾何元素

木爾扎別克·阿不力卡斯1， 吳和敏2

(1. 新疆教育學院數學學院，新疆 烏魯木齊 830043；

2. 新疆教育學院現代教育技術中心，新疆 烏魯木齊 830043)

哈薩克族傳統建筑文化是少數民族文化的重要組成部分。哈薩克族傳統建筑中蘊含的數學思想體現了哈薩克民族的數學智慧。分析歸納了哈薩克族傳統建筑中的幾何元素、所對應的各種幾何圖形及其內在聯系。對農牧區本土中小學數學課程特有資源的開發和利用有現實意義。

哈薩克族建筑；傳統建筑文化；幾何元素；本土課程資源

數學課程基礎教育的新理念是，學生應能夠體會數學與自然及人類社會的密切聯系，增進對數學的理解和建立學好數學的信心。數學課程應體現文化、美學、藝術、實用價值，其教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上[1]。目前中小學使用的是國家統編數學教材，對少數民族地區中小學數學教學不太適宜。在現行數學教材中出現的現代化城市建筑，如，上海東方明珠塔的球形、現代化廠房結構、大橋結構與形狀為范例講解相關幾何知識；我國西部邊遠地區少數民族學生對這些建筑非常陌生，教學效果不好。為了讓我國農牧區的學生在已有的知識經驗基礎之上來學習幾何，并用日常生活中的知識理解所學的幾何知識，增進他們對幾何(數學)的興趣，增強他們學好幾何的信心，研究者在哈薩克族傳統建筑的結構研究過程中，手繪畫圖和拍攝了大量哈薩克族傳統建筑圖片并搜集了相關資料。哈薩克族傳統建筑中蘊藏許許多多的幾何知識，若把這些知識引用到中小學數學教學中是非常有意義的，這對于新疆、內蒙古等農牧區的學生從日常生活中感受到數學的存在，體驗“空間與圖形”對當今社會生活的重要作用，有利于培養學生從幾何(數學)的角度觀察問題、解決問題能力。

1 問題的提出

新疆哈薩克族數學文化是我國數學文化的重要組成部分。新疆哈薩克族的傳統建筑，哈薩克族的刺繡、花氈、服飾、家居用品、勞動工具、馬鞍用具中蘊含著豐富的數學思想，體現了哈薩克族的數學智慧。目前統編教材缺乏農牧區地域文化特色，與學生實際生活環境嚴重脫節，諸如課堂教學方式、數學教材的選擇太少，教材中的術語、定義(概念)、定理(性質)、公式等的舉例與少數民族學生的生活幾乎沒有聯系[2]，這樣的教材無法滿足少數民族地區多元文化教育的需求[3]。學校的數學課程應充分地尊重學生的生活特征，而且要以某種方式在數學課程中反映和利用這些文化特征，使所有學生都能夠從身邊的可見的事例理解數學概念和知識，提高他們的數學水平及素質。對于中國這樣一個少數民族眾多的國家，不同民族的風土人情、文化氛圍和教育傳統有著很大的差異性。因此，基于民族數學文化的教育觀點，農牧區的數學教育要在融合于主流文化的基礎上，扎根于本民族文化的土壤。要做到這一點，最為基礎的研究就是在充分考慮農牧區學生數學思維、空間思維、認知特點、數學文化背景的基礎上，努力實現農牧區中小學本土數學課程特有資源的開發。農牧區的學生對周圍的建筑紋飾圖案是比較熟悉的，在基礎教育的數學課堂上，注重本土數學課程特有資源的開發和利用，結合數學知識、幾何圖形的欣賞、認識和圖形的變換講授相關數學知識，使數學貼近學生的生活，激發學習數學的興趣和積極性、提高農牧區學生的數學學習自信心、從進而提高農牧區學生學習數學(幾何)的效果。

民族數學文化的意義不僅在于它是民族文化的重要組成部分，最主要的還在于它對中小學數學教育教學的現實作用和價值。我國少數民族的日常生活中隱藏著豐富的數學知識，各種空間幾何圖形、平面幾何圖形，即相似形、全等形、軸對稱與中心對稱、平移、旋轉、反射等，結合少數民族數學文化與民族學生實際開展因材施教，促進數學課程內容的改革，開發本土教材，具有現實意義。事實上，每個民族都有自己獨特的文化體系，農牧區學校教育的內容要與之緊密結合，才能激發學生的學習興趣，才能保證民族傳統文化的傳承。梳理少數民族日常生活中諸多方面所涉及的幾何元素，可以看到其文化中蘊藏著有利于少數民族學生進行幾何(數學)學習的“直觀、生動、有趣”易于理解的民族數學文化資源。這些豐富的自然與人文資源，為本土課程的開發提供了廣闊的前景[4]。

2 研究方法

2.1 哈薩克族傳統建筑幾何元素資料的調查與整理

從幾何的視角對哈薩克族傳統建筑結構進行探索性研究，通過野外調查、訪談、文獻檢索等方式搜集與其傳統建筑結構幾何元素相關的資料。野外調查主要針對現存的哈薩克族傳統建筑，拍攝了一些寶貴的建筑實物圖片。研究者在多年中，先后赴伊犁、阿勒泰、塔城等地對哈薩克族傳統建筑進行了調查與整理。訪談對象包括：哈薩克族建造人員、哈薩克族建筑文化的傳承人；收集他們保存的珍貴歷史圖片、文字資料；記錄他們對歷史建筑的口頭敘述。文獻檢索自1991年至今已出版的各種版本的民族文獻資料，特別將哈薩克族氈房結構的研究經驗和方法[5-6]結合在一起進行整理，形成比較完整的哈薩克民族建筑幾何元素資料集。

2.2 根據中小學數學教材幾何部分內容從哈薩克民族建筑幾何元素資料集中選取適合的內容

通過中小學數學教材幾何部分的結構內容分析與研究，根據哈薩克民族建筑幾何元素資料集，選取相關內容用于少數民族地區中小學幾何教學，以求找到有效的教學策略，構建相應教學模式，并在實踐的教學中檢驗、改進。

3 哈薩克族傳統建筑中的空間圖形

3.1 傳統建筑與對應的空間圖形

3.1.1 氈房建筑立體圖

哈薩克族氈房模型都分別與三維空間中的立體圖對應，如圖1所示。其中圖1(a)是哈薩克族傳統大氈房(克誼孜宇——Kiyiz uy)，由不同的4個立體圖(從下往上分別為圓柱、球帶、圓臺、球冠)組成，參見圖2；圖1(b)是中氈房(霍斯——Hos)，由不同的兩個立體圖(圓臺、球冠)組成；圖1(c)是小氈房(烏蘭海——Uranhay)，而圖1(d)是臨時氈房——人字型小窩棚(依塔爾哈——Iytarha)，他們分別與圓錐、三棱柱對應，參見文獻[7]。

圖1 哈薩克族氈房建筑

圖 1(a)是哈薩克族傳統大氈房，它的框架(骨架)從下往上柵欄、撐桿(撐椽)、穹廬(頂圈架)三部分組成，圖1(b)是中氈房，它的框架從下往上撐桿、穹廬兩部分組成，而圖1(c)是小氈房，它的框架由若干個撐桿組成，這些不同哈薩克族氈房的地面投影均為圓(圓盤形或若干個同心圓)。圖1(d)是臨時氈房，它的框架兩張或四張柵欄組成，其地面投影是長方形或正方形。該內容在高中數學 2(必修，人教版2008年10月)第一章第1節1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖的教學中；初中數學九年級上冊(人教版2014年6月)第二十四章第3節24.3多邊形和圓的教學中；初中數學七年級上冊(人教版2014年6月)第四章幾何圖形初步的教學中和高中數學第三冊(選修Ⅱ，2003年 6月)第二章，極限的教學中都可以參考。

哈薩克族大、中、小氈房的地面投影都是圓形(圓盤形)，而臨時氈房圖1(d)的地面投影是長方形或正方形。大氈房的組裝(搭建)比較復雜，圍墻由四張或六張木柵欄組成(多用六張木柵欄)，其空間形狀為圓柱，六張木柵欄即為圓柱的側面。在圖2(a)中陰影部分的左棱為軸，在三維空間中旋轉360°后構成的曲面順序稱為(從下往上)圓柱、球帶、圓臺、球冠。其中球帶是球面在兩個平行截面之間的部分；球冠是球面被一個平面截得的一部分。從旋轉體的角度去看，大氈房也是空間直角坐標系 xyzo- 中oz軸為對稱軸的一種旋轉體，叫做“哈薩克氈房形旋轉體”。該內容在初中數學七年級上冊(人教版2003年12月)第三章第1節3.1.1立體圖形的教學中；初中數學九年級上冊(人教版2007年5月)第二十四章第1節24.1.1圓的教學和第 4節24.4.2圓錐的側面積和全面積的教學中；高中數學2(必修，人教版2008年10月)第一章空間幾何體的教學中都可以參考。

圖2 哈薩克族大氈房幾何模型

3.1.2 木房建筑立體圖

圖 3(a)~(c)是哈薩克族傳統木房(屋頂似“人”形的木房)，這些木房的下半部分是長方體或正方體，上半部分是三棱柱，這些木房的地面投影為長方形或正方形。圖3(c)是保留了傳統建筑風格的現代建筑，其由長方體、交叉的三棱柱等幾何體組成。

圖3 哈薩克族木房建筑

該內容在小學數學一年級上冊(人教版 2014年6月)目錄4認識圖形(一)和小學數學一年級下冊(人教版2013年11月)目錄1認識圖形(二)的教學中都可參考。

3.1.3 土房建筑立體圖

圖4(a)是伊山賽提清真寺，它由三部分組成，即長方體、圓柱體和上面的球冠，其地面投影為長方形，長方形里面包含圓形。圖4(b)是1773年在伊寧市建成的拜吐拉清真寺，它是四層建筑，最上一層是正六棱柱，它的地面投影為長方形，長方形內包含正方形、正方形內包含正六邊形，本寺亭由12根柱子支撐，其空間形狀為長方體、正四棱柱和正六棱柱的組合；在第二、三層中的四根柱子即為四棱柱的側棱；在第四層中的六根柱子即為正六棱柱的側棱。圖4(c)是伊寧縣其巴爾吐別克清真寺，它由上下兩部分組成，即下半部分是長方體、上半部分是楔形，它的地面投影為長方形，長方形內包含兩個等腰三角形和兩個等腰梯形，其空間形狀為長方體和楔形的組合體。它是保留了哈薩克族傳統建筑風格的現代建筑。該內容在高中數學第二冊(下B，人教版2001年10月第2版)第九章直線、平面、簡單幾何體的教學中可參考。

圖4 哈薩克族土房建筑

3.2 傳統建筑中的“點”、“線”、“面”

在中小學《數學》教科書中的幾何圖形都由“點”、“線”、“面”組成，同樣傳統建筑中也是如此。比如，哈薩克族傳統建筑“氈房”中的木柵欄(圍墻)是由“點”、“線”(曲線)組成，圓屋頂是由直線和曲線(撐桿)組成，而穹廬(天窗)是由圓、弧(拱弧)組成；哈薩克族傳統木房建筑和土房建筑也由“點”、“線”、“面”形成。如，在建筑中每兩個棱或三個棱的交叉處表示一個“點”(或者三個平面的公共交點)、每兩面的交叉處表示“直線”。墻面或平面的構成：三個點、相交的兩條直線、平行的兩條直線、一點和一條直線都構成一個平面。該內容在初中數學七年級上冊(人教版2003年12月)第三章第1節3.1.2點、線、面、體的教學中可參考。

3.3 傳統建筑中的“曲面”

3.3.1 傳統氈房中的曲面

在圖1(a)中哈薩克族大氈房的大小是根據木柵欄(房墻)的多少來定，大氈房整套木柵欄的多為偶數，奇數少見。一般的大氈房多用4~6張(塊)木柵欄。每張柵欄寬約2.5~3.5 m，高約1.5~1.7 m；如果人口多，經濟條件好，可使用 8~10張柵欄，這種大氈房高大而寬敞，被稱為宮殿(窩爾達——Orda)。在歷史上也有過 12~18張柵欄的大氈房，這種大氈房稱為白宮殿、潔白的氈房(阿克窩爾達——Ah orda)；“根據資料，歷史上也用過龐大的30張柵欄的大氈房”[8]，這種大氈房稱之為金宮殿(阿勒騰窩爾達——Alten orda)。當木柵欄中每一個網格面積無窮小時，該柵欄表示曲面。

大氈房的高度隨其大小變化，常用大氈房的高度一般在4~5 m，占地面積20~30 m2，四周是圓柱形的木柵欄(圍墻)，頂部由圓屋頂和弓形兩個曲面組成。常用哈薩克族大氈房的內壁一般 4~12段交叉的活動木柵欄(可列格——Kerege)做圍墻；氈房的圓屋頂由撐桿(烏俄克——Weh)和頂圈架(強俄拉克——Xangerah)構成，其中房頂是頂圈架(天窗)；撐桿上段直，下段60~70 cm處彎曲，木柵上拴接數十至百十根撐桿(撐桿多少，視氈房大小而定)，一般為 60~180根，再將撐桿的另一端插入木制頂圈架的各孔中。哈薩克族大氈房的傳統房架從上至下由頂圈架、木撐桿、木柵欄和門(哈語稱耶斯克——Esik)等四部分組成，頂圈架位于哈薩克族大、中氈房頂中央。搭建方法：把撐桿的一端插入頂圈架的孔中，其數量與柵欄上端交叉處的叉口數量相等，然后用羊毛繩捆綁，與頂圈架構成一個整體。具有6張木柵欄的哈薩克族傳統大氈房蓋料一共有7張，即這種房架的外壁蓋以 4張氈壁(圖爾勒克——Twerleh)，圓屋頂部蓋以 2張包氈(吾孜克——Uzik)，房頂部蓋以 1張頂氈(屯勒克——Tunglik)。這樣構成一個大氈房的整體曲面。該內容在高中數學第三冊(選修Ⅱ，人教版2003年6月)第二章極限的教學中可參考。

3.3.2 傳統建筑美學依據

哈薩克牧民現居住氈房，經過測量，它的直徑=5 m，高度=3.1 m，氈房高度與直徑比例約為0.62，其比值是保留前三位數字的近似值為0.618。此比例被稱為黃金分割，這個比值稱為黃金分割比(中外比)。因為所以黃金分割數是無理數，哈薩克族大氈房構建比例符合黃金分割比，因此看起來顯得非常美觀莊嚴。

3.4 空間中的對稱

空間軸對稱：因為哈薩克族傳統建筑的主體形狀有圓柱、圓錐、三棱柱、長方體、正方體，所以它們無論屬于哪一類建筑都是空間軸對稱的。如果將建筑地面投影中心假設為三維空間坐標系o xyz- 的原點，那么oz軸為空間對稱軸。 該內容在初中數學八年級上冊(人教版2014年6月)第十三章軸對稱圖形的教學中可參考。

4 哈薩克族傳統建筑的對稱軸截面圖

4.1 平面上的對稱

4.1.1 氈房建筑的對稱軸截面圖和其他平面圖

從圖2可知，哈薩克族大、中、小氈房在三維空間坐標系o xyz- 中是軸對稱房屋。圖5(a)是哈薩克族大氈房模型，以oz為對稱軸的截面示意圖，它的左半部分和右半部分相等，其中包括兩個等面積的矩形、三個曲邊梯形、一個等腰梯形、等面積的兩個直角梯形和弓形等圖形，它說明哈薩克族大氈房是空間軸對稱房屋。圖5(b)是大氈房兩扇木門平面示意圖，它也是軸對稱。圖5(c)為哈薩克族大氈房幾何模型對稱軸截面(平面)示意圖，它包括長方形(矩形)、曲邊梯形、等腰梯形、弓形等幾何圖形。當垂直于對稱軸的平面相截氈房模型時，出現無限多個不同圓或相似圓。圖5(d)是哈薩克族大氈房的木柵欄，在圖中伸展木柵欄的格子(網眼)類似于平面上的菱形或平行四邊形。該內容在小學數學四年級上冊(人教版2011年6月新疆)目錄 4平行四邊形和梯形的教學中；初中數學八年級上冊(人教版2014年6月)第十三章軸對稱圖形的教學中都可參考。

4.1.2 土房建筑的對稱軸截面圖

圖4是哈薩克族土房建筑，系軸對稱房屋。圖6是哈薩克族土房建筑以oz為對稱軸截面示意圖，其左、右部分相等，說明哈薩克族土房建筑是空間軸對稱房屋。圖6(a)包括長方形、弓形或半圓形、正方形等幾何圖形；圖6 (b)包括長方形(矩形)、正方形、三角形等幾何圖形；圖 6(c)包括長方形、梯形、三角形等幾何圖形。當垂直于對稱軸的平面相截該建筑模型時，出現無限多個不同長方形、正方形、圓、半圓、正六邊形等平面幾何圖形。該內容在小學數學三年級上冊(人教版2014年6月)目錄7長方形和正方形的教學中；初中數學八年級上冊(人教版2014年6月)第十三章軸對稱的教學中都可參考。

圖5 哈薩克族氈房的對稱軸截面圖和其他圖

圖6 土房建筑的對稱軸截面圖

4.1.3 中心對稱

哈薩克族傳統建筑中的門、窗、地面投影、墻面的平面，當垂直于對稱軸的平面相截于該建筑模型時得到的平面圖都是中心對稱圖。該內容在初中數學九年級上冊(人教版2014年6月)第二十三章，23.2中心對稱的教學中可參考。

4.2 幾何變換

平面圖形的構造方式也有初等幾何的相似變換。初等幾何的全等變換，包括軸反射變換、平移變換、旋轉變換，平移變換又有共點平移、共線平移、等距離平移。圖5(a)和圖6(a)~(c)中的幾何圖形的構成方式是初等幾何全等變換中的軸反射變換。圖5(b)中的幾何圖形的構成方式是初等幾何變換中的平移變換；而圖5(d)是大氈房木柵欄示意圖，它是由菱形共點平移或共線平移或等距離平移等變換得到的。其他木房和土房傳統建筑對稱軸截面圖的構成方式是類似的，在這些平面圖形中，圖形的軸反射、旋轉、平移等變換構成了哈薩克族傳統建筑形狀的整體美與對稱美。

5 結 束 語

古代建筑師們在他們漫長的生活經驗中反復體驗掌握并學到了做各種建筑技術和方法，最早游牧部落做氈房木架的工匠人，定居部落做土房的工匠都憑自己的想象，這說明古代的工匠們能夠脫離具體形的實體，已有了不少抽象的幾何圖形概念，由此才能熟練地做出不同的含有幾何圖形的建筑來。

哈薩克民族在長期的生活勞動實踐中，尤其是在傳統建筑的建造中無形地積累沉淀了豐富的數學科學元素，從幾何學的角度去審視、解讀其傳統建筑的建造發現，其中屬于空間的有：長方體、正方體、圓柱、圓錐、正棱錐、圓臺、球帶、球冠、半球體、球臺、三棱柱、正棱柱、正六棱柱、楔形和球體；屬于平面的有：正方形、長方形、圓形、菱形、梯形、三角形、弓形、平行四邊形、半圓形、扇形、橢圓形、圓環、部分圓環和新月形等幾何圖形。這些圖形說明了哈薩克族賴以生存的居所，不僅實用、美觀、結實，其中最主要的是傳統建筑的建造符合了數學和物理學的科學規律。

本研究為開發國家數學課程和本土數學文化課程資源提供了有益的思路和寶貴資料。任何一個民族都有自身的數學文化，這是數學教育的出發點，也是落腳點，是學生認識數學思維特點的依據，是學校數學教學必不可少的背景材料。少數民族數學文化的意義不僅在于它是民族文化的重要組成部分，最主要的還在于它的現實作用和教育價值。少數民族數學文化在現實的應用和學生的智力開發中具有重要的價值和作用，諸如激發學生學習的自信心、有利于結合少數民族學生實際因材施教、促進少數民族學生整體的和諧發展和個性完善(完美)，強化民族自豪感、自信心及歸屬意識等[9]。通過充分挖掘少數民族數學文化課程資源，努力開發和研制出多元數學課程資源是提升少數民族地區數學教育質量的重要途徑之一。從而體現少數民族建筑、刺繡、花氈、服飾等文物中的數學文化的教育價值，有待于數學教育研究者開展進一步的研究。

[1]全日制義務教育《數學課程標準》(實驗稿)[M]. 北京: 北京師范大學出版社, 2003: 1-2.

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[3]阿力木·阿不力克木. 多元文化整合數學教育理論[J].數學教育學報, 2010, 19(5): 30-33.

[4]申玉紅, 楊啟祥, 周長軍. 少數民族數學文化與中小學數學課程開發[J]. 西南農業大學學報: 社會科學版, 2012, 10(6): 242-244.

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[8]波拉提·科爾拜耶夫.《哈薩克族建筑藝術》(哈文)[M].奎屯: 伊犁人民出版社, 2006: 40-44.

[9]申玉紅, 楊啟祥, 周長軍. 云南德宏傣族服飾中的數學文化[J]. 數學教育學報, 2013, 22(1): 66-68.

Geometric Elements in Kazakh Traditional Architectural Culture

Muerzhabieke·Abulikasi1, Wu Hemin2
(1. School of Mathematics, Xinjiang Education Institute, Urumqi Xinjiang 830043, China; 2. The Modern Educational Technology Center, Xinjiang Education Institute, Urumqi Xinjiang 830043, China)

Kazakh traditional architectural culture plays an important role in ethnic minority culture. Kazakh traditional architecture embodies wisdom in mathematics. The geometric elements in architectural culture and the corresponding geometry figures as well as their inner correlations have been explored and analyzed in this paper. The obtained results are of great realistic significance in developing mathematics curriculum resources for primary and middle schools in the area where ethnic minority people gather.

Kazakh construction; traditional architectural culture; geometric elements; local curriculum resources

G 750

A

2095-302X(2015)01-0001-06

2014-07-03；定稿日期：2014-08-05

國家自然科學基金資助項目(11361061)

木爾扎別克·阿不力卡斯(1956–)，男，新疆伊犁人，副教授，本科。主要研究方向為數學教育、少數民族文化數字化研究。E-mail：sxmuzha@xjei.cn