結構模型制作中的相貫線展開應用

何大治， 趙艷霞， 閆磊源

(華北水利水電大學土木與交通學院，河南 鄭州 450011)

結構模型制作中的相貫線展開應用

何大治， 趙艷霞， 閆磊源

(華北水利水電大學土木與交通學院，河南 鄭州 450011)

按相貫線裁剪制作結構模型，可大量節省構件連接時的材料用量，是結構模型質量優化的一個重要途徑。討論了在模型制作過程中常見的兩桿相貫和三桿相貫的情況，利用圓柱坐標矩陣旋轉變換的方法，構建了相貫線及其展開曲線的方程，分析了使用相貫線進行桿件剪裁的方法，將該方法應用于結構模型制作過程，可使模型在質量上得到了很大優化。

結構模型；節點；相貫線；展開曲線；坐標變換

結構模型制作是檢驗土木工程專業大學生專業知識應用能力的一種有效手段，近年來，已發展成為全國九大大學生學科競賽之一，各省的大學生結構模型競賽也相繼出現，極大地提高了土木工程專業大學生的實踐動手能力和知識理解深度。

在設計模型時，多選擇圓管形桿件，這類桿件的制作較為方便，且受力性能良好，但是在節點連接處較難處理，許多模型在制作時，為保證節點的安全，對連接做了過多的粘結處理，從而出現節點處過分臃腫，桿件受力路徑不明確，結構自重增大等缺陷，這些問題的出現表明學生們在節點的細節處理上精確度不足，且解決問題的手段較少。筆者曾帶領學生參加過兩屆河南省結構模型競賽，在參賽中發現上述問題是較多參賽隊伍的通病，即使在全國大賽中也存在相同的問題[1-2]。實際上，在處理模型節點時，只要合理運用畫法幾何中關于圓柱相貫線展開的知識就可以使問題得到解決，在不降低承載能力的前提下減少模型的自重。本文通過對模型制作過程中常遇到的T形和K形節點進行相貫線分析，構建相貫線展開曲線的一般數學方程，為今后參加同類競賽提供一些思路。

1 相貫線展開的數學方法

常用的立體相貫線的求解方法有兩種，圖解法[3-4]和解析法[5-7]，在設計和制作模型時，需對模型進行多次優化，使用圖解法繪制相貫線效率較差。如使用解析法，可根據相貫線的解析方程編制計算程序，進行模型優化時，直接調整初始參數，即可得到相貫線的數值曲線，能極大地提高設計的效率。

1.1 T形節點

模型結構不同，在節點處相交的桿件數量也不相同。在一個節點上通常是兩桿或三桿相交，以“T”或“K”形節點居多，如果是“T”形節點，可將節點構建成如圖1所示的兩半徑為r1和r2圓柱體相交形式，以r1圓柱的旋轉軸為z軸建立直角坐標系O1x1y1z1，以r2圓柱的旋轉軸為z軸建立直角坐標系 O2x2y2z2，圓柱 r1與圓柱 r2之間的夾角為兩坐標系 z軸之間的夾角α。此外，由于模型桿件多為軸線相交形式，坐標原點偏移值為零，兩個圓柱的坐標系原點為同一點。

圖1 T形節點

圓柱體r1與圓柱體r2的柱面坐標可以表示：

求解兩圓柱體的交線，必須將兩組方程通過旋轉變換統一到相同坐標系下，圓柱體r2的表達式變換到直角坐標系O1x1y1z1下，其變換矩陣為：

寫成方程組的形式為：

上式即為圓柱體 r2的坐標在直角坐標系 O1x1y1z1下的表達式，將式(1)代入式(4)中，可得兩圓柱體相貫線在O1x1y1z1坐標系下的表達式：

圓柱體r2的直角坐標形式可表達為：

將式(5)代入式(6)中，可得相貫線的z1坐標表示：

式中，α、r1和r2為常數，θ為從0到2π的變量，取θ=0，0.1π，··，2π，根據式(7)即可繪制出兩圓柱體的相貫線。

式(7)為 O1x1y1z1坐標系下的相貫線表達式，根據計算得到的數值可在桿件 r1上繪制相應曲線，若是在O2x2y2z2坐標系下表達相貫線，則旋轉角度為-α，并按式(4)～(7)方式計算z2的值。式(8)為O2x2y2z2坐標系下相貫線的解析表達式。

需要注意的是，如果兩根桿件的半徑是相同的，式(8)中θ取值區間可為[0，2π]，若兩桿件半徑不同，按圖2所示不同直徑桿件相貫俯視圖，由圖中投影關系可知，在直徑較小桿件坐標系O2x2y2z2下，相貫線的 θ取值區間仍為[0，2π]，而在較大直徑的桿件坐標系O1x1y1z1下表示時，θ取值區間取為[-φ，φ]，φ的取值可根據式(9)確定。

圖2 θ取值區間

圖3所示為半徑均等于10 mm的桿件相交時的相貫曲線展開圖，兩桿件之間的夾角α等于60°。

圖3 T形節點相貫線展開

1.2 K形節點

K形節點有三根桿件相交，其中一根為貫通直桿，另外兩根除與貫通直桿相交外，兩根桿件之間也存在相交關系。在結構模型中為避免構件偏心，及在節點處產生彎矩作用，通常都將節點設計為所有桿件的相交點，因此，在本文中，也針對此情況進行討論。

K形節點相貫線的計算方法與T形節點類似，求解貫通直桿與另外兩根桿件之間的相貫線方程，得到兩組方程，并再次求交，得到相貫曲線之間的交點。

圖4 K形節點

如圖4所示，在節點處三桿相交，半徑為r2的桿件2可看作是半徑為r1桿件1繞其x1軸旋轉

1α所得，半徑為r3的桿件3可看作是桿件1繞其y1軸旋轉2α所得，根據T型節點的計算方法，分別對桿件1與桿件2、桿件1與桿件3，以及桿件2與桿件 3求解相貫線方程，其中，求解桿件 1與桿件2和桿件3之間的相貫線可參考T型節點做法，桿件2與桿件3之間的相貫線則需要將其中一個桿件旋轉兩次，具體做法如下：

將式(10)帶入式(11)可得：

式(12)展開后可得：

將式(13)中x3、y3用圓柱坐標表示則為：

將式(14)代入式(6)，可得桿件2與桿件3之間相貫線 z3坐標的解，z3坐標的求解過程可借助數學軟件計算得到，如式(15)所示。

如果兩根桿件的半徑是相同的，式(15)中θ取值區間可為[0，2π]，若兩桿件半徑不同，r3〉 r2，則θ取值范圍為[-φ，φ]，φ的取值可根據式(16)確定。

同理，式(15)表示的相貫線也可在坐標系O3x3y3z3下表示，解析過程不再詳述。

圖5所示為桿件半徑均等于10 mm，桿件之間夾角1α=30°，2α=45°時的相貫線曲線圖形。

圖5 K形節點相貫線展開圖

2 K形節點相貫線的其他情況

相比較T形節點而言，K形節點的相貫線的計算較為復雜，這是因為要考慮桿件相交的不同情況，在前述內容中，在K形節點處，三根桿件兩兩相交，組成了三個平面，其中兩個平面是相互垂直的，這只是K形節點中一般情況的一個特例，實際上，按三個平面兩兩之間的關系，K形節點的相交情況應有如下3種：

(1) 三根桿件組成的一個平面；

(2) 三根桿件組成三個平面，其中兩個相互垂直；

(3) 三根桿件組成三個平面，均相互不垂直。

情況(1)是三根桿件組成了一個平面，此時 K形節點處的相貫線計算方法與T形節點相同，但需要進行兩次T形節點相貫線的計算，同時，兩次計算的相貫線不會相交。

情況(2)為本文討論的情況，情況(3)是情況(2)的一般化，如圖6所示，桿件r3的繞x1軸從r1的位置旋轉2α至圖中虛線3r′位置后，再繞1y′軸旋轉一個角度3α至圖中r3位置，由此可知，其相貫線的計算方法是在情況(2)的基礎上對r3桿件多進行一次繞1y′軸的旋轉變換計算即可。該情況下桿件r2和 r3的 z坐標求解過程仍為二次方程的計算求解，在此不再詳述。

圖6 第3種情況下的K型節點

如果結構模型在設計時，桿件之間有特殊角度，如90°，其正弦和余弦值都可直接按計算值先行帶入公式，以減少計算量。如采用程序計算，則可直接按設計條件輸入。

3 模型制作

在制作模型過程中，不必將桿件沿相貫線裁剪，這樣不利于桿件的粘結，可將桿件沿相貫線裁剪成條狀，如圖 7所示，然后將這些紙條作為粘結端與其他桿件包裹粘貼，圖 8所示為按該方法制作的K形節點。在構件制作過程中，如果有直徑大小不同的桿件組成的節點，應保證直徑較大桿件的完整性，對較小的桿件進行裁剪。

圖7 桿件剪裁

圖8 K形節點模型

比較不同方法制作的模型重量，使用相貫線裁剪的方法制作的模型質量為136.5 g，未使用該方法制作的模型質量為 157.4 g(河南省大學生結構模型競賽數據)，效果明顯。在承載能力方面，使用相貫線裁剪方法制作的模型都達到了比賽要求的上限(50 kg)，繼續加載后，模型破壞均由桿件屈曲造成，節點未出現先破壞的情況。同時，由于節點的外形和質量都得到了減小，結構傳力途徑也得到了進一步的明確，模型整體破壞的部位與軟件分析的結果接近。

4 小 結

本文針對結構模型競賽中常見的節點處理問題，通過分析模型制作過程中常見的T形和K形節點桿件相貫的情況，構建了這兩種節點下圓管相貫線展開的一般數學模型，并編制計算程序，為模型設計和制作提供了有利手段。通過競賽結果證明：該方法在保證模型承載能力的前提下能較大幅度地減少模型重量。

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Using Developmental Figure of Intersecting Line to Make Structure Model

He Dazhi, Zhao Yanxia, Yan Leiyuan
(School of Civil Engineering and Communication, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou Henan 450011, China)

Weight is an important indicator to evaluate a model in structure model design contest. Intersecting curve cutting is an efficient way to save material content. This method is widely used in plate work. In this paper, how to use the method of intersecting curve cutting to make paper structure model is discussed. Two cases are analyzed that is two intersecting pipes and three intersecting pipes. The geometric relationship and coordinate transformation are used to derive the expansion formula. The developed curve of intersecting curve can be drawn accurately and conveniently. Practice of model-making process shows the model has been greatly optimized in weight.

structure model; joint; intersecting line; developmental curve figure; coordinate transformation

TB 23

A

2095-302X(2015)01-0012-05

2014-06-13；定稿日期：2014-07-25

華北水利水電大學高層次人才科研啟動資助項目；華北水利水電大學本科教學工程資助項目

何大治(1977-)，男，河南洛陽人，副教授，博士。主要研究方向為工程圖學應用與計算機仿真。E-mial：hdz@ncwu.edu.cn