NURBS曲面自由型特征處理方法研究

李愛民， 牛秦玉， 寇發榮， 田海波

(西安科技大學機械學院，陜西 西安 710054)

NURBS曲面自由型特征處理方法研究

李愛民， 牛秦玉， 寇發榮， 田海波

(西安科技大學機械學院，陜西 西安 710054)

NURBS曲面自由型特征因不具有確定的參數、準確的邊界，使其表示、編輯及操作十分困難?；谝环N新的小波多分辨率分析技術將NURBS曲面從單一尺度幾何表示的空域變換為頻域的表示形式，借助于濾波器組將模型的整體結構和局部細節變換為其全局和局部多分辨率自由型特征，實現了對NURBS曲面的自由型特征的編輯、操作和控制。該方法不僅能提高NURBS曲面幾何建模的效率，而且可以克服傳統NURBS曲面建模的繁瑣和費時。

NURBS曲面；自由型特征；B樣條小波；多分辨率分析

NURBS曲面在計算機輔助設計、計算機圖形學以及三維CAD/CAM技術中發揮著重要的核心作用，尤其在飛機、船舶、汽車等對曲面質量要求較高的產品設計中。在當前的大型商業化CAD/CAM系統中，比如CATIA、UG、Pro/E等，廣泛采用了 NURBS張量積曲面來表示復雜的外形表面。

在幾何建模過程中，特征技術不僅滿足了高層次幾何抽象的需要，而且有效提高了幾何建模的效率。根據特征的不同構成特性，特征可劃分為規則幾何形狀特征和自由型特征。規則幾何形狀特征因具有準確的幾何定義，通過不同的參數設置可以簡單地實現其特征的創建、編輯等功能，而對于自由型特征而言因其不具有確定的幾何參數、而且其邊界也是模糊的，則很難實現。由于受到NURBS曲面自由型特征固有特性的限制，在幾何建模系統中尚不能夠有效實現對自由型特征的處理。小波多分辨率幾何建模技術將傳統單一尺度幾何空間的 NURBS曲面數學表示形式轉換到多尺度空域和頻域空間的多尺度頻譜表示形式，從而實現了對 NURBS曲面自由型特征的處理。

均勻和準均勻 B樣條曲面的多分辨率幾何建模技術在國內外已進行了較為深入的研究，相關的理論和算法也比較成熟。但是，均勻和準均勻B樣條曲面的多分辨率技術無法直接應用于NURBS曲面。當前，對非均勻 B樣條曲面的多分辨率幾何建模的研究還相對較少。主要是由Lyche等[1]、劉建等[2]、Li等[3]、Bertram[4]以及Pan和Yao[5]分別基于不同的非均勻B樣條小波對非均勻B樣條曲面進行了多分辨率幾何建模研究。但這些小波形式都存在一些缺陷，如運算量較大或者仍然沒有避免對 B樣條節點向量的限制及其最小緊支撐特性無法得到一致性保證。在文獻[6]中，作者提出了一種新的半正交非均勻 B樣條小波，并建立了完整的理論和算法，此種小波不但應用方便，而且計算效率較高。本文基于此種小波多分辨率分析技術來研究NURBS曲面的幾何建模，并有效實現了對其曲面整體與局部自由型特征的編輯、控制和處理。

1 二維半正交非均勻B樣條小波

在 BS[a, b]空 間 嵌 套 的V0? V1?…? Vj?…子空間中，根據B樣條節點插入理論， Vj和 Vj-1空間中基函數向量滿足：Nj-1=NjPj，Pj為 (nj+ 1)× (nj-1+ 1)階矩陣；Vj和Wj-1空間中基函數向量滿足：ψj-1=NjQj，Qj為(nj+ 1)× mj-1階矩陣。只要 Qj為列滿秩矩陣，且：

那么 Wj-1空間必定是 Vj-1在 Vj空間中的半正交補空間，即 Vj=Vj-1⊕Wj-1，Vj-1空間和 Wj-1空間中的函數離散內積為零。ψj-1即為半正交非均勻 B樣條小波， Wj-1就是 Vj-1的半正交小波補空間。

Vj-1和 Wj-1空間中基函數 Nj-1和ψj-1之間關系可以進一步表示為：

式(2)兩端乘以 Mj-1可得到：

根 據 Vj=Vj-1⊕Wj-1， Vj中 任 意 函 數fj=Njdj則 可 以 分 解 為 兩 部 分 ：fj= fj-1+ gj-1=Nj-1dj-1+ψj-1wj-1， fj-1稱為分解得到的 fj全局光順部分， gj-1稱為 fj的細節特征部分。

矩陣 Pj和 Qj稱為小波重構矩陣，矩陣 Aj和 Bj稱為小波分解矩陣。

在二維參數空間中，必須建立相應的二維小波基。二維小波基函數的標準構造包含了全部的一維基函數張量積。設在 L2[ a, b]空間中有嵌套空間[7-8]：…，及相應的細分尺度函數為 Nk1(u)和定義j尺度下的二維尺度空間為：

其中符號?表示空間相乘。

令 Wj和j分別為 Vj和j在 Vj+1和j+1空間中的半正交補空間，即：

則：

2 NURBS曲面的多分辨率表示

由NURBS曲面的齊次坐標表示可知，二維張量積NURBS曲面具有下面所述的矩陣表示形式：

其中D為控制頂點矩陣，構成了NURBS曲面的控制多邊形網格。 Nk1和分別為參數u和v的非均勻 B樣條基函數向量。根據曲面的矩陣表示和二維張量積標準小波變換形式，?1jV+空間上NURBS曲面的多分辨率數學表示具有下面的形式：

也可以表示為：

圖1給出了多分辨率分解矩陣層次結構關系，反映了在二維張量積標準小波變換形式下NURBS曲面的控制頂點矩陣的多分辨率分解關系。

圖1 多分辨率NURBS曲面控制頂點矩陣的層次關系

3 曲面自由型特征處理

數據的分析、可視化和處理作為科學工程中的核心內容。數據的形式千差萬別，可能是一維參數的函數，也可能是二維參數下的函數，相對于這二者還有比較簡單的點序列形式。多分辨率方法的基本思想就是利用一族系數來表示函數，每個系數提供了關于函數的位置和頻率的相關信息。函數的小波多分辨率表示包含了結構的全局特征和不同分辨率層下的細節特征。

通過上節內容的分析可知，小波多分辨率技術使NURBS曲面以B樣條基函數為基礎的數學表示形式被變換到多尺度下的整體結構和局部細節的自由型特征表示形式。對NURBS曲面的編輯和處理就轉變為對其曲面自由型特征的編輯和處理。對 NURBS曲面多尺度下的自由型特征的處理主要包含兩個方面：其一是指對自由型特征自身的編輯，比如：自由型特征的修改、放大、縮小等等；其二是指自由型特征在不同曲面之間的復制和粘貼。本文主要針對第二個方面進行分析討論。NURBS曲面自由型特征的復制和粘貼包含兩種類型，即曲面之間及曲面自身的特征復制和粘貼。

3.1 曲面之間自由型特征的處理

在不同的 NURBS曲面之間進行特征的多分辨率處理包含如下3個過程：

(1) 曲面特征的復制，即局部特征的提取。令SJ(u, v)為原曲線， DJ為其控制頂點矩陣。如圖2所示，通過多分辨率分解，曲面的所有特征信息皆包含在各分辨率層的小波加權系數矩陣中。

圖2 NURBS曲面的特征提取

圖3 目標曲面的多分辨率分解

(3) 特征的粘貼，是使原曲面與目標曲面的細節特征合并，通過多分辨率重構實現特征在目標曲面上的粘貼，如圖4所示。

圖4 曲面細節特征的粘貼

經過粘貼后，目標曲面中新的細節特征包含在小波加權系數矩陣之中，隨后即可以通過NURBS曲面多分辨率局部特征重構完成曲面細節特征的粘貼。

圖5為不同NURBS曲面之間細節特征進行復制和粘貼的實例。從圖中可以看出，采用多分辨率分析技術能夠有效地實現在 NURBS曲面之間自由型特征的復制和粘貼。

圖5 曲面細節特征的復制與粘貼

3.2 曲面自身之間特征的處理

NURBS曲面的細節特征不僅可以在不同的曲面間實現多分辨率的復制和粘貼，也可以在同一曲面上進行。實現過程，包含4個步驟：

圖6 細節特征的提取

(2) 特征重構。將最低分辨率層 D0賦予即將的各個元素都置為零，即令：

圖7 曲面特征重構

將步驟(1)得到的各分辨率層中代表整體結構的尺度函數控制頂點矩陣與進行重構，得到，如圖8所示。

圖8 曲面整體結構重構

圖9 曲面自身特征的復制和粘貼

從 NURBS曲面的自由型特征的處理可以看出，基于多分辨率技術自由型特征的復制和粘貼可以考慮創建一個包含不同自由型特征的NURBS曲面特征庫。這些特征可以互換地應用于不同的曲面之中。通過各種不同形式進行特征的獲取，比如通過函數所創建的曲面，以及在逆向設計中測量得到的曲面等都可以成為獲取特征的來源。而且特征的來源并不僅限于連續的曲面形式，可以擴展到離散點云形式的曲面，或者其他的一些表示形式。

4 結 論

以參數化B樣條為基礎創建的NURBS曲面在其傳統的編輯和處理過程中不但繁瑣而且費時，對 NURBS曲面的自由型特征則不能進行有效地處理。小波多分辨率分析技術將單一尺度幾何空間 NURBS曲線數學表示形式轉化為多尺度空間下的頻域表示形式，有效提取了NURBS曲面的整體結構和局部細節信息，并分別將其轉換為NURBS曲面的整體與局部自由型特征。文中的實例表明，多尺度自由型特征的獲取可實現對其特征的編輯、操作和處理，也有效實現曲面之間以及曲面自身之間特征的編輯和處理。基于自由型特征對 NURBS曲面進行幾何建模不僅可以提高其設計的效率、加速產品的概念設計、創新設計等，而且對有效利用企業的信息和知識也具有重要的價值。

[1]Lyche T, M?rken K, Quak E. Theory and algorithms for non-uniform spline wavelets [M]. Multivaritate Approximation and Applications, Cambridge: Cambridge University Press, 2001: 152-187.

[2]劉 建, 關右江, 秦開懷. 任意NUBS曲線的小波分析和造型技術[J]. 中國圖象圖形學報, 2002, 7(9): 894-900.

[3]Li Denggao, Qin Kaihuai, Sun Hanqiu. Curve modeling with constrained B-spline wavelets [J]. Computer Aided Geometric Design, 2005, 22(1): 45-56.

[4]Bertram M. Single-knot wavelets for non-uniform B-spline [J]. Computer Aided Geometric Design, 2005, 22(9): 849-864.

[5]Pan Rijing, Yao Zhiqiang. Biorthogonal nonuniform B-spline wavelets based on a discrete norm [J]. Computer Aided Geometric Design, 2009, 26(4): 480-496.

[6]李愛民, 方宗德. NURBS曲線曲面的多分辨率幾何建模[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2010, 22(8): 1339-1343.

[7]時 寶, 王興平, 蓋明久. 泛函分析引論及其應用[M].北京: 國防工業出版社, 2006: 185-216.

[8]彭玉華. 小波變換與工程應用[M]. 北京: 科學出版社, 1999: 36-62.

Research on Processing Methods for Free-Form Features of NURBS Surfaces

Li Aimin, Niu Qinyu, Kou Farong, Tian Haibo
(School of Mechanical Engineering, Xi'an University of Science and Technology, Xi'an Shaanxi 710054, China)

Because of imparametrization and no determinate boundary of a NURBS surface with free-form features, representing, editing or operating them is still troublesome. The multi-resolution representation of a NURBS surfaces is realized by a new kind of wavelet multi-resolution analysis technology, and representation of the NURBS surfaces is transformed from single-scale geometric space to multi-scale frequent space. Through wavelet filter banks, the total configurations and local details of models are transformed to total and local multi-resolution free-form features. This makes it easy for editing, operating, and controlling a NURBS surface. This approach not only raises efficiency of the NURBS surface geometric modeling, but also overcomes miscellaneousness and troublesomeness in the conventional modeling.

NURBS surface; free-form feature; B-spline wavelet; multi-resolution analysis

TP 317

A

2095-302X(2015)01-0017-05

2014-03-27；定稿日期：2014-07-02

陜西省教育廳自然科學基金資助項目(11jk0859)

李愛民(1972–)，男，河南洛陽人，講師，博士研究生。主要研究方向為計算機輔助幾何設計、計算機圖形學、CAD/CAM/CAE等。E-mail：li_aimin@sina.com