復數在坐標正反算計算中的應用

楊偉星

(中國電建集團西北勘測設計研究院有限公司，西安 710065)

文章編號：1006—2610(2015)03—0015—03

復數在坐標正反算計算中的應用

楊偉星

(中國電建集團西北勘測設計研究院有限公司，西安 710065)

通過引進復數對測量中坐標方位角計算進行公式推導、分析研究、合理優化相關數據驗證，得出了計算坐標方位角簡便公式。優化CASIO編程計算器編程程序，避免在測量中計算方位角繁瑣的象限判斷條件，從而提高測量中的工作效率。

復數;象限；坐標方位角;坐標正反算；CASIO編程計算器

鑒于復數運算的諸多優點，本文主要通過對復數的模和復角的幾何意義的應用，引進到坐標方位角計算中。使得坐標正反算變得簡單化，方便CASIO編程計算器編程，提高了工作效率。

1 數學笛卡爾坐標系復平面與測量高斯平面直角坐標系復平面

數學笛卡爾坐標系與測量高斯平面坐標系復數表示法關系如圖1。

復數的表達形式有直角坐標、極坐標和指數形式3種表達方式[1-2]。其中直角坐標系和極坐標系也稱復數的幾何表達，CASIO編程計算器只能對前兩種復數表達形式進行計算。

z=x+yi=r∠θ=reiθr>0

(1)

式中：r∠θ是復數的極坐標表示形式；r是復式z的模Abs(absolute)；θ是復數z的復角Arg(argument)。

圖1 數學笛卡爾坐標復平面與測量高斯平面坐標系復平面表達法關系示意圖

在圖1(1)中所示數學笛卡爾坐標系中，當z點位于Ⅰ、Ⅱ象限時方向角θ取逆時針，此時0° ≤θ≤180°；當z點位于Ⅲ、Ⅳ象限時方向角θ取順時針，此時0° ≤θ≤-180°。

在圖1(2)中所示測量高斯平面直角坐標系中，當z點位于Ⅰ、Ⅱ象限時方向角θ取順時針，此時0°≤θ≤180°；當z點位于Ⅲ、Ⅳ象限時方向角θ取逆時針，此時0°≤θ≤ -180°。

由數學坐標復平面和測量坐標系復平面之間關系可知，計算坐標方位角時完全可以借助復數的模和復角進行求解。兩點之間距離r=Abs(z)即復數的模，兩點之間方位角α=Arg(z),θ≥0時則α=θ，θ≤0時則α=θ+360°。

2 坐標正反算推導原理

坐標正算是通過坐標方位角和距離求待求點的坐標，坐標反算通過已知2點的坐標計算2點之間距離和方位角[3-4]。

測量高斯平面坐標系與測量高斯平面坐標系復平面表達關系如圖2。

圖2 測量高斯平面直角坐標系與復平面坐標系表示法示意圖

2.1 測量高斯平面直角坐標系下坐標正反算公式推導

2.1.1 坐標正算

已知點A(xa,ya)，兩點之間距離Sab、方位角θab，求B(xb,yb)，由圖2(1)可得到：

Δxab=Sabcosθab=xb-xa

(2)

Δyab=Sabsinθab=yb-ya

(3)

因此可得：

xb=xa+Sabcosθab

(4)

yb=ya+Sabsinθab

(5)

式(4)、(5)即在測量高斯平面坐標系下坐標正算公式[3,5]。

2.1.2 坐標反算

已知A(xa,ya)、B(xb,yb)兩點坐標，求AB兩點之間的距離Sab、方位角θab。由圖2(1)可知：

(6)

(7)

式(6)、(7)即為坐標反算公式。由于公式中坐標方位角的計算是兩點之間的反正切值，因此，需要進行象限條件判斷，具體求法有多種，下面給出一種通用求法。

(8)

當xb-xa>0且yb-ya≥0,則Ⅰ象限，此時方位角θab=θab(銳角)；

當xb-xa<0且yb-ya≥0,則Ⅱ象限，此時方位角θab=180°-θab(銳角)；

當xb-xa<0且yb-ya<0,則Ⅲ象限，此時方位角θab=180°+θab(銳角)；

當xb-xa>0且yb-ya<0,則Ⅳ象限，此時方位角θab=360°-θab(銳角);

當xb-xa=0且yb-ya>0，此時方位角θab=90°；

當xb-xa=0且yb-ya<0，此時方位角θab=270°。

2.2 測量高斯平面直角坐標系復平面下坐標正反算公式推導

2.2.1 坐標正算

在測量高斯平面直角坐標系復平面下，已知點A(xa,yai)，A、B之間距離rab(復數模)、方位角θab(當復角θab>0即為方位角，當復角θab<0時方位角360°-θab)。由復數性質及圖2(2)則有：

zb=za+rab∠θab=xa+yai+rab∠θab

(9)

式(9)即為測量高斯坐標系復平面下的坐標正算公式。

2.2.2 坐標反算

在測量高斯平面直角坐標系復平面下，已知點A(xa,yai)、B(xb,yb)，求A、B兩點之間距離rab(復數模)、方位角θab，由復數性質及圖2(2)知：

za=xa+yai=ra∠θa

(10)

zb=xb+ybi=rb∠θb

(11)

zab=xab+yabi=(xb-xa)+(yb-ya)i=rab∠θab

(12)

式中：rab為復數的模；θab為復角，當復角θab>0時方位角為θab，當復角θab<0時方位角為360°+θab。

式(12)為在測量高斯平面直角坐標系復平面下的坐標反算公式。

3 2種坐標正反算的分析比較

坐標正反算在工程測量中有著極其重要作用，通過坐標正反算公式的優化可以提高現場工作人員的工作效率。下面就以測量高斯平面直角坐標系與復平面系下坐標正反算的計算流程進行分析。

3.1 測量高斯平面直角坐標系與復平面系坐標的正算流程

測量高斯平面坐標系與復平面系坐標正算流程如圖3。

圖3測量高斯平面坐標系與復平面系下坐標正算流程圖

由圖3可知，復平面系下將坐標正算公式用一個復數形式表達，較測量高斯平面直角系下用2個公式形式表達簡化。

3.2 測量高斯平面直角坐標系與復平面系坐標的反算流程

測量高斯平面坐標系與復平面系坐標反算流程如圖4、5。

圖4 測量高斯平面坐標系下坐標反算流程圖

由圖4、5可知，在引入復數進行坐標反算時可以大大簡化計算公式，計算可以起到事半功倍作用。

3.3 復數在坐標正反算CASIO編程中的應用

某工程測量中公路直線兩端點復數坐標M(A,Bi)、N(C,Di),兩點之間距離T，方位角F。以CASIO-4800P編程計算器為例，對MN兩點進行坐標正反算編程。程序如下：

LBIA:{A，B}:Z=0=>Goto 1：≠>Goto2 坐標正反算判斷條件，

LBI 1：{C，D}：Pol(C-A,(D-B)i):S=I◢F=J◢J<0=>F=J+360°◢ 坐標正算，

GotoA：LBI 2:{S，F}：Rec(S,F):C=A+Ii◢D=B+Ji◢GotoA坐標反算。

由上面的程序可知：編程計算器對坐標正反算進行程序編寫時，通過引入復數，使得程序變得簡潔、明了，提高了工作效率。

圖5 測量高斯平面坐標系復平面下坐標反算流程圖

4 結 語

在測量中通過引進復數求解坐標正反算可以得到以下結論：① 坐標正算中使公式變得更加簡單化，方便CASIO編程計算器編程。② 坐標反算中尤其是方位角計算中大大減少了方位角象限的判斷，為工程測量中CASIO編程提供便利。

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Application of Complex Number in Coordinate Positive and Negative Calculation

YANG Wei-xing

(POWERCHINA Xibei Engineering Corporation Limited, Xi'an 710065,China)

By application of complex number, calculation of the coordinate azimuth in survey is verified by formula calculation, analysis, study and optimized relevant data. Therefore, a simplified formula for calculation of coordinate azimuth is derived. Program of the CASIO programming calculator is optimized, avoiding the complicated conditions of quadrant judgment for azimuth calculation in survey and improving the survey efficiency.

complex number; quadrant; coordinate azimuth; coordinate positive and negative calculation; CASIO programming calculator

2014-08-15

楊偉星(1979- ),男,河南省平頂山人，助理工程師，碩士,從事電站的質量控制與變形觀測工作.

TP391

A

10.3969/j.issn.1006-2610.2015.03.005