“數學與思維”之深思

鄭毓信

（南京大學 哲學系，江蘇 南京 210093）

“數學與思維”之深思

鄭毓信

（南京大學 哲學系，江蘇 南京 210093）

有效促進學生的思維應當成為判斷數學課成功與否的主要標志，后者既是指“專業（數學）思維”的學習，也包括“常規思維”的改進．特別是，不僅應當幫助學生逐步學會“長時間的思考”，也應切實糾正“常規思維”的一些常見弊病．正因為此，就應從更為廣泛的視角去認識數學思想和數學思想方法的普遍意義．

數學與思維；數學教育；快思慢想

對于數學教育工作者、包括廣大一線教師而言，“數學與思維”當然不是一個全新的論題，特別是，新一輪課程改革對于“三維目標”的提倡，更有效地促進了人們對于這一論題的關注；另外，如果進一步拓寬視野的話，又顯然可以追溯到20世紀90年代在中國興起的數學方法論研究，因為，數學思維也是后者的主要關注．

盡管如此，對于“數學與思維”這一論題還是應當不斷進行新的思考與研究，包括已有工作的認真總結與反思，以及進一步的理論學習，因為，就只有這樣，才能不斷深化自身在這一方面的認識，將相關工作切實做好．

1 數學教育應當促進學生的積極思考

從教育的角度看，這無疑是這方面最為基本的一個問題：為什么應當特別重視“數學與思維”這樣一個論題？

對于上述問題并可說存在多種不同的解答；但在研究者者看來，這又主要涉及到了數學教育的基本目標或主要價值，包括應當如何去判斷一個數學教學活動的成功與否，也即究竟什么可以被看成好的數學教學的主要標志？

為了清楚地說明問題，在此并可首先聯系國際教育署（International Bureau of Education）和國際教育學會（International Academy of Education）2009年聯合頒發的指導性文件《有效的數學教學》做出具體分析[1]．

具體地說，盡管這一文件使用的是“有效的數學教學”、而不是“好的數學教學”這樣一個詞語，其主要內容也是關于“有效的數學教學”的10條標準；但這又是研究者在閱讀這一著作時的主要印象，即是對于“理解”（understanding）與“思維”（thinking）的突出強調．前者表明國際數學教育界何以會特別重視“有效的數學教學”，因為，“機械學習”正是西方各國數學教學的普遍性弊病．其次，對于“思維”的強調則又不僅因為這是實現“理解學習”的關鍵，而且也體現了關于數學教育目標的這樣一個認識：數學教育應當致力于促進學生更積極地去進行思考．

以下是這方面的進一步論據：

正如人們普遍認識到的，教學方法與模式是教學研究的一個永恒主題，特別是，對于某些新的教學方法或模式的大力提倡更可被看成新一輪數學課程改革的一個明顯特點，即如課改初期對于“情境設置”、“合作學習”、“自主探究”、“動手實踐”等新的教學方法的積極倡導，以及近年來得到迅速推廣的“先學后教”這樣一種教學模式，等等．

但是，無論教學方法或教學模式主要地又應被看成實現一定教育目標的手段或方法，從而，就不應脫離后者泛泛地去談論教學方法或模式；恰恰相反，就只有聯系數學教育目標去進行分析思考，才能更為深入地認識各種教學方法和模式的優點與局限性．

例如，以下就是數學特級教師賁友林老師經由多年教學實踐對“先學后教”優點的一個總結：“這可以讓學生更有準備地學；讓學生在深層互動中學；讓學生在研究性練習中學習．”

但是，正如作者在與賁友林老師的交談中所提出的，這又應被看成“先學后教”的核心，即是有利于學生更為積極地進行思考，并能逐步學會想得更深、更細、更合理、更有效．因為，如果忽視了這樣一點，無論是“更有準備地學”、還是“在深層互動中學”或是所謂的“研究性練習”，就都只是一句空話．

再例如，顯然也可從同一角度去理解，究竟什么是這一兩年來得到迅速發展的“翻轉課堂”的主要優點：

“‘翻轉課堂’將簡單的記憶、理解、運用放在課下，而高層次的綜合運用和創新則在課上發生．”

又，“視頻比導學單更生動形象；前置的微視頻學習為課堂騰出了更多的時間和空間；有備而來讓課堂互動走得更深入更有效．”（關于“先學后教”和“翻轉課堂”并可見文[2]）

總之，這應當成為具體判斷一堂數學課成功與否的一個主要標志，即其是否有效地促使學生更積極地去進行思考，并能逐步學會想得更深、更細、更合理、更有效！

顯然，這也十分清楚地表明了深入研究“數學與思維”這樣一個論題的重要性．

在此并應特別強調這一論題的現實意義：數學教學決不應唯一地強調動手，而應更加重視動腦，后者更可被看成新一輪課程改革給予教育工作者的一個重要啟示或教訓．（詳見文[3]．應當提及的是，作為新一輪數學課程改革的必要總結與反思，研究者認為，除去各個具體的經驗和教訓以外，還應更為深入地去思考數學教育最為基本的一些道理，包括具體梳理出數學教育的各個關鍵詞（概念）．后者正是研究者目前在從事的一項工作，而“思維”恰就是這些概念中最為重要的一個．）

當然，“動手”與“動腦”的“對立”又只是數學教育中“強調思維”最為基本的一個涵義．對于后者在以下還將做出進一步的分析論述．

最后，從教師專業成長的角度看，上述分析顯然也已表明：相對于“實、活、新”這一傳統的要求（周玉仁語）而言，在當前即應更加強調一個“深”字，也即應當針對具體的教學內容深入地去思考其內在的數學思想和數學思想方法，并應將如何能夠通過自己的教學促進學生思維的發展看成搞好數學教學的關鍵．

2 “促進學生思維發展”的兩種涵義

鑒于在這方面已經有了多年的實踐，作為必要的總結，自然也應認真地去思考：這些工作的成效如何？又應如何去促進這一方面的工作，特別是，相關的教學工作如何才能更加有的放矢，更加有效？

為了解答前一個問題，不妨先思考這樣兩個問題（這方面的一些初步工作可見文[4]）：

（1）應當如何去理解“數學思維”、“數學思想”、“數學思想方法”等詞語的具體涵義，包括相互之間的聯系與區別？

毋庸諱言，無論是實驗稿的“數學課程標準”、還是2011年版的“新課標”，在這方面都應說表現出了不夠嚴謹的弊病，甚至可以說一定程度的混亂，而這當然是作為課程改革指導性文件所應避免的．

（2）什么是基礎教育各個學段最為重要的一些數學思想和數學思想方法？

以下則是相關人士的具體評論：由于新課標“沒有展開闡述‘數學的基本思想’有哪些內涵和外延，這就給研究者留下了討論的空間，而且由于它過去并沒有被充分討論過，所以可能仁者見仁，知者見智，不同的學者可能會有不完全一樣的說法”[5]．理論研究有多種不同的觀點十分正常，但作為數學教育的指導性文件出現這樣的問題顯然也很不應該，因為，這種不確定性必然會在教學實踐中造成一定的混亂，特別是，如果連教師本身都沒有弄清教學中究竟應當突出哪些數學思想和數學思想方法，又如何能夠期望通過他們的教學幫助學生學會數學地思維？

綜上可見，在這一方面的進展實在不能說很快，還有很長的路要走，因此必須更加努力，而決不能掉以輕心．

那么，究竟又應如何去促進這方面的工作呢？在研究者看來，一個首要的任務就是弄清“促進學生思維發展”的具體涵義？因為，只有做到了這樣一點，教學才能真正做到有的放矢，也才可能更加有效．

從理論的角度看，在此應當說存在兩個可能的方向：

第一，立足數學思維（數學家思維方式）的研究，并以此作為學生思維發展的必要規范．

顯然，這也正是“幫助學生學會數學地思維”、以及數學方法論研究的基本立場．

但是，這一做法顯然也有一定的問題．首先，是否真有必要幫助每個學生學會數學地思維？這也就是指，數學思維是否真的具有超出數學的普遍意義？其次，數學思維是否也有一定的局限性？

在此并應特別提及這樣兩個基本事實：（1）思維形式的多樣性，如科學思維、文學思維、藝術思維、哲學思維等，各種思維形式并應說都有一定的合理性和局限性；（2）數學思維也有一定的局限性；在一些學者看來，更應清楚地看到“數學的惡”[6]．

顯然，這也為廣大教育工作者更為深入地去開展研究提供了重要背景．

第二，現實問題的分析，也即立足于常規思維的研究，并通過揭示其不足之處從而為這方面的具體工作指明努力方向，也即，教師如何能夠通過數學教學幫助學生改進思維．

上述主張顯然與“大教育”的立場比較接近；但就國內的現實情況而言，這又是一個比較薄弱的環節．與此相對照，國際上近年來在這方面有一些十分重要的工作，從而就為積極開展新的研究提供了重要背景．

應當指出的是，盡管后一方面的研究對于增強教學工作的針對性十分有益；但在充分肯定“改進常規思維”的重要性的同時，又應積極地去思考新的發展可能性，也即如何能夠通過數學學習幫助學生形成一些新的思維方式．顯然，這事實上也就十分清楚地表明了上述兩個研究方向之間的辯證關系，這也就是指，在清楚地看到兩者不同點的同時，又應高度重視它們的相互滲透與必要互補．例如，數學思維的研究即在很大程度上為人們更為深入地去理解“長時間的思考”提供了重要啟示；另外，就思維的進一步發展而言，顯然也不應單純地從數學的角度去分析，而應更加重視各個數學思想與數學思想方法的普遍意義．

總之，就這方面的進一步工作而言，應當同時開展兩個方面的研究與實踐：常規思維的改進，與專業（數學）思維的學習，并應很好地處理兩者之間的辯證關系．

這也正是數學教育中“強調思維”的第二層涵義．

相信讀者至此也已對以下問題有了自己的看法：數學教育究竟應當提倡“幫助學生學會數學地思維”還是“通過數學學會思維”？特殊地，這也正是作者何以采用“數學與思維”這樣一個標題的直接原因．

以下兩節就將分別對所說的兩個方向上的研究做出更為具體的論述．

3 數學教育與“常規思維”的改進

從數學教育的角度看，這或許就可被看成“改進常規思維”最為直接的一個涵義，即是逐步學會“長時間的思考”．由以下論述即可初步地認識數學教育中明確提出這樣一個主張的重要性及其現實意義．

“數學是自己思考的產物，首先要能夠自己思考起來，用自己的見解與別人的見解進行交談，會有很好的效果，但是思考數學問題需要很長時間，我不知道中小學數學課堂，是否能夠提供很多的思考時間．”[7]

“思考問題的態度有兩種：從專業角度看一種是花費較短時間的即時思考型；一種是較長時間的長期思考型．所謂的思考能人，大概就是指能夠根據思考的對象自由自在分別使用這兩種類型的思考態度的人．但是，在現在的……教育環境不是一個充分培養長期思考型的環境……沒有長期思考型訓練的人，是不會深刻思考問題的……無論怎樣訓練即興性思考，也不會掌握前面談過的智慧深度．”[8]

另外，相信大多數讀者依據自身的經歷也會同意中國著名數學家姜伯駒先生在回答“什么是數學對自己最重要的影響”時給出的如下解答：數學使我學會長時間的思考，而不是忽忙地去做出解答．（教育頻道，2011年5月2日）

除去對于“長時間的思考”的積極提倡以外，在此還應提及另一相關的研究：“即興性思考（快思）”的特點與局限性．這也正是國際上近年來在思維研究上所取得的一個重要成果．

具體地說，這正是2002年諾貝爾經濟學獎得主康納曼（D. Kahneman）的一部名著：《快思慢想》[9]，而其主要特點就是集中于“常規思維”的研究，包括其特點、作用與局限性等．應當指明的是，康納曼所說的“常規思維”事實上也就是指一般所謂的“快思”，因為，在他看來，這正是人類思維的一個重要特點，即是“快思”（稱為“系統一”）占據主導的地位，從而就可被看成“常規思維”的基本形式．另外，在明確肯定“快思”對于人類認識活動重要作用的同時，康納曼所關注的又主要是這樣一個事實：“常規思維”在現實中常常會導致一些系統性的錯誤，以下則是他在這方面的一個主要研究結論：這種錯誤存在一定的心理機制，即“捷徑與偏見”（heuristics and biases）．

所謂“捷徑”，在此是指人們在面對不確定的情況時頭腦中常常會自動和迅速地出現某個比較簡單的想法，盡管用之未必可以有效地解決所面對的問題，但主體卻又往往會對此充滿自信．“這些發生得非常快，而且全部同時發生，得到一個自我強化的認知、情緒和生理反應形態，這個反應形態是多樣的和整合的．”[9]

顯然，這種迅速和自動的反應在很多情況下是必不可少的，又由于所說的“捷徑”集中體現了主體已有的經驗和知識，從而也就有一定的合理性，后者并就是康納曼何以常常將自己所提到的各個“捷徑”稱為“可用性捷徑”的主要原因；但在現實中又常常可以看到某些與之密切相關的“偏見”，如用案例去完全取代類的分析，或是不自覺地為“第一印象”所支配（“錨點效應”），等等．

另外，所謂的“以偏蓋全”（Wysiarti）與“促發效應”（編故事，找理由等）則就集中地體現了這樣一種常見的心態，即人們往往會不自覺地去追求一致性，在此并可清楚地看到一種“自我強化”的現象．“系統一不擅長懷疑，它會壓抑不確定性，而且會自動去建構故事，使一切看起來合理，除非這個信息被立刻否定．”[9]

再者，這也是這方面十分重要的一個事實，即人們的思維并不完全屬于認知的范圍，而也與情感、動作密切相關，后者有時還起到了決定性的作用，盡管當事者常常沒有意識到這樣一點．“一般人是受到情緒指引而不是理智，我們很容易因不重要的細節而改變心意．”[9]特殊地，這也正是康納利何以專門引入“情感捷徑”這樣一個概念的直接原因．

由于康納曼清楚地指明了與“系統性錯誤”直接相關的若干心理機制，從而，作為進一步的工作，自然也就應當考慮如何才能有效地避免或減少所說的錯誤？然而，又如康納曼本人所明確承認的，后者正是他的工作較為薄弱的一個方面，也即只是給出了若干一般性的建議，卻未能做出更為深入和全面的研究．從而，這事實上也就為如何能夠結合自己的專業在這方面做出新的工作提供了現實的可能性．確實，如果數學教學能在減少“快思”（常規思維）的局限性這一方面發揮積極的作用，這就將是數學教育的重大進展．

以下就是這方面的一些初步想法，即在數學教學中應當有意識地強調這樣一些思想或方面，從而更好地發揮數學教學對于糾正上述各種常見性錯誤的積極作用：

強調全面的分析，即如要求更多的實例，更多的理由，加強比較等；幫助學生更好地認識和處理特殊與一般之間關系；幫助學生學會“客觀地研究”，從而切實避免主觀情感的影響；大力提倡懷疑精神和批判精神，包括積極的自我批判；等等．

進而，如果說上面的想法較為一般的話，那么，以下的兩個實例或許就可被看成更為具體地指明了究竟應當如何結合自己的專業去開展工作：

第一，與“用案例完全取代類的分析”（可稱為“隱喻式思維”）相對照，這正是數學思維的一個重要特點：“文本式思維”．從而，在教學中也就應當更為明確地去強調兩者的區分與必要互補．

第二，由于現實中明顯地存在如下的“情感配對”：“好心情、直覺、創造力、易相信和對系統一的依賴，是聚集在一起的；悲傷、警覺、懷疑、分析和努力是聚集在一起的．快樂的心情會解開系統二對行為的控制：當人們心情好時，直覺和創造力會增強，但同時也較不警覺．”[9]因此，從系統一和系統二（也即“快思”和“慢想”）的必要互補這一角度去分析，也可清楚地看出唯一強調“愉快學習”的局限性．

最后，作為這方面的一個具體實踐，建議讀者還可認真地去思考這樣一個問題：“數學課程標準”中所提到的各個關鍵詞，特別是“數感”、“符號意識”、“代數思想”等，所涉及的究竟是哪種思維方式，是“快思”、還是“慢想”？

4 通過數學學會思維

在具體論及“數學思維的學習”前，有必要強調兩點：

第一，應當清楚地區分無意識的思維活動與有意識的方法論研究．這事實上也是康納曼特別強調的一點：盡管他在對“常規思維”進行分析時所使用的也是“捷徑”（heuristics）這樣一個詞語，但他同時也明確強調了后者與數學思維研究中經常提到的“數學啟發法”之間的區別：“波利亞的啟發法，是需要系統二去完成的策略程序，但是我……所談到的捷徑并不是特意選的，它們是心智發散性的結果，是我們對問題的回應不精確控制的結果．”[9]

更為一般地說，如果接受關于“快思”與“慢想”的二分，那么，數學思維顯然就屬于“長時間的思考”（康納曼稱為“系統二”）的范圍．

第二，又如前面所提到的，相對于“常規思維的改進”，數學思維的學習主要體現了思維發展的新的可能性；當然，在具體從事后一方面的工作時，又應采取更為廣泛的視角，也即應當更加重視數學思想和數學思想方法的普遍意義．

由以下分析即可大致地看出數學在這一方面的積極作用[10]．應當指出的是，盡管這一分析以康納曼的工作作為直接的背景，但其內容則已超出了這一范圍，特別是，即是賦予了“慢思”（“長時間的思考”）若干新的涵義：

快思 慢想如何做？（工具性理解） 為什么可以這樣做？（關系性理解）問題解決（解題沖動） 策略性思考與調控（元認知）特殊（model of） 一般（model for）

以下則是關于深入開展這一方面研究的一些具體意見：

第一，數學思維的具體形式．特別是，可圍繞“數學活動”的基本形式對此做出具體分析：

（1）概念的生成、分析與組織．主要包括抽象思維（特別是，數學抽象的建構性質）；結構性觀念與邏輯分析；反思與自反抽象（更高層次上的抽象）；數學的自由創造（由現實到可能）；等等．

（2）問題的提出與解決．特別是，序的觀念（整體性觀念）和元認知（調控）；另外，解題策略的研究由于具有重要的方法論意義顯然也應引起高度重視．

第二，思維品質的提高．

從“促進學生思維的發展”這一基本目標出發，相對于各個具體的思維方式或方法而言，顯然又應更加重視思維品質的提高，特別是，思維的清晰性（包括清楚地表述），思維的合理性和有效性（適當的說明與論證，直至演繹），思維的深刻性與嚴密性（必要的審視與批判），思維的靈活性、綜合性與創新性，等等．

第三，思維與理性精神的培養．

這主要反映了這樣一個認識：從更為深入的層次去分析，數學思維的學習十分有利于人們“理性精神”的培養．

應當指出的是，數學思維的研究事實上可被看成為研究者更為深入地去理解“理性”這樣一個概念提供了重要的背景，或者說，正是這一方面的研究賦予了“理性”這一概念更為豐富的內涵．

最后，還應強調的是，在此應注意防止這樣一種簡單化的認識，即是將“快思”（系統一）和“慢想”（系統二）簡單地等同于“錯”和“對”，乃致完全否定了“快思”的作用，或是認為應當用“慢想”去完全取代“快思”．

事實上，由“快思”在人類認識活動中的主導地位，即可清楚地認識所說的取代是不應被提倡的，因為，這對于人們的日常生活與工作不可或缺；另外，也正由于“快思”的存在及其在認識活動中的首要地位是由人們的生理機制和生活方式直接決定的，因此，所說的取代也根本不可能實現．

從同一角度去分析，盡管以下的提法確有一定道理，即是“應當抑制低層次思維的過分膨脹”；但這顯然又是更為合適的一個主張，即是，應當努力增強自身在這一方面（包括快思與慢想）的自覺性，從而切實避免或減少所說的系統性錯誤．

另外，還應提及的是，這也是康納曼在這方面的一個重要建議，即是相對于“常規思維”而言，應當努力發展“專家型直覺”，因為，后者與前者相比更加可靠．

當然，即使就“專家型直覺”而言也應不斷增強自身在這一方面的自覺性，后者事實上也正是康納曼的一個直接論題：如何才能成為專家？進而，由于“專家型直覺”又并非完全可靠，因此就應當深入地去研究：什么時候可以相信專家？（詳見文[9]第三章）

容易想到，后一結論對于數學思維研究也是同樣適用的．即如：

第一，不要過于聰明，而應提倡“聰明人下笨功夫”（季羨林語）．顯然，從這一角度去分析，也可更好地領會“經驗”的重要性：數學思維的學習應當堅持必要的實踐與逐步的經驗積累，而不應過早地上升到一般性方法．

第二，所有的方法都有一定的局限性，更不應成為束縛人們思維的桎梏；恰恰相反，這是做出真正的創造性工作的一個必然途徑：“以正合，以奇勝”．

5 結 束 語

以上主要從宏觀角度指明了深入研究“數學與思維”這一論題對于數學教育的特殊重要性，特別是，這更應被看成數學教育的一個基本目標，即是努力促進學生思維的發展，包括常規思維的改進，與專業（數學）思維的學習，從而逐步學會想得更深、更細、更合理、更有效．

當然，從實踐的角度看，這又是更加重要的一個問題：應當如何去從事數學教學才能很好地實現上述目標？

顯然，后一問題的解答同樣有待于深入地研究，包括積極的教學實踐與認真的總結與反思．以下則是研究者的一個初步認識，即在這一方面應當特別重視這樣幾個環節：（1）“問題引領”；（2）數學地交流與互動，從而幫助學生很好地實現優化：（3）文化熏陶，言傳身教．另外，在教學中又應依據學生的具體情況切實加強工作的針對性，包括很好地實現以下幾個階段的區分與合理過渡，即由“深藏不露”逐步過渡到“畫龍點睛”，由“點到為止”逐步過渡到“系統論述”，由“教師介紹”逐步過渡到“學生的自我總結和自覺應用”．

希望廣大數學教育工作者、特別是一線教師都能在上述方面做出自己的貢獻．

[1] Anthony G, Walshaw M. Effective Pedagogy in Mathematics [R]. UNESCO, 2009.

[2] 鄭毓信．數學教育改革15誡[J]．數學教育學報，2014，23（3）：1-7．

[3] 鄭毓信．由“先學后教”到“翻轉課堂”[J]．教學月刊，2014，（9）：4-8．

[4] 鄭毓信．小學數學概念與思維教學[M]．南京：江蘇教育出版社，2014．

[5] 顧沛．數學基礎教育中的“雙基”如何發展為“四基”[J]．數學教育學報，2012，21（1）：14-16．

[6] Schwartz J. The Pernicious Influence of Mathematics on Science [A]. In: Kac M, G-C Rota, Schwartz J. Discrete Thought [C]. Birkhauser, 1986.

[7] 張奠宙．我親歷的數學教育[J]．南京：江蘇教育出版社，2009．

[8] 代欽．對日本精英教育的懷舊及其借鑒作用——日本數學家藤田宏教授訪談錄[J]．數學教育學報，2010，19（2）：82-84．

[9] Kahneman D. Thinking, Fast and Slow [M]. Penguin Books, 2011.

[10] 林福來．數學教育理論的二維結構[R]．首屆全國數學教育哲學論壇，2014．

Some Remarks on “M athematics and Thinking”

ZHENG Yu-xin
(Department of Philosophy, Nanjing University, Jiangsu Nanjing 210093, China)

It should be a basic aim for mathematics education to promote effectively students’ thinking, which means not only to learn to think mathematically, but to improve ordinary thinking as well. Especially, we should help students to learn to think slow ly and to prevent the common mistakes in ordinary thinking, and in doing so, a more general view should be taken in analyzing mathematical thinking methods.

mathematics and thinking; mathematics education; thinking fast and slow ly

G40-03

：A

：1004–9894（2015）01–0001–05

[責任編校：周學智]

2014–10–20

鄭毓信（1944—），男，浙江鎮海人，教授，博士生導師，國際數學教育大會（ICME-10）國際程序委員會委員，主要從事數學哲學、數學教育研究．