數學解題后的“回顧與反思”與數學問題的提出
——探索一種通過“回顧與反思”來提出數學問題的模式與方法

徐彥輝

數學解題后的“回顧與反思”與數學問題的提出
——探索一種通過“回顧與反思”來提出數學問題的模式與方法

徐彥輝

（溫州大學 數學與信息科學學院，浙江 溫州 325035）

波利亞“怎樣解題表”中第四個步驟“回顧與反思”特別引人注意，也很容易被人所忽視．以判定“等腰三角形兩腰上的中線相等”為案例，說明“回顧與反思”步驟應該注重通過改編、引申和推廣原有的命題，從而提出新的問題．

波利亞；回顧與反思；改編、引申和推廣；等腰三角形；問題提出

喬治·波利亞（G. Polya，1887—1985年）是美籍匈牙利數學家、教育家、數學解題方法論的開拓者，他致力于數學問題解決的研究，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書．這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題表”，包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧與反思”4個步驟．由于數學解題及其教學大多關注如何找到解決問題的思路和方法，因此常常只關注解題表中的前3個步驟，而忽略了第四個步驟．

1 解題后的“回顧與反思”與提出新的數學問題

就“回顧與反思”這個步驟，波利亞曾指出：回顧已經完成的解答是解題工作中的一個重要且有啟發(fā)性的階段……當讀者完成了任務，而且他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他所做的一切，可能有利于探究他剛才所克服困難的實質．他可以對自己提出許多有用的問題：“關鍵在哪里？主要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒有察覺到這一點？要看出這一點我必須具備哪些知識，應該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學習的訣竅可供下次遇到類似問題時應用？”[1]波利亞還指出：“工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答，通過考察他（解題者）的工作過程和最后的解答形式，他會發(fā)現要觀察認識的東西真是千變萬化，層出不窮．他可以深思題目的困難之處及決定性的觀念，他可以嘗試去了解是什么阻礙了他，又是什么最后幫助了他．他可以注意尋找簡單直觀的念頭：你能一眼就看出它來嗎？他可以比較和發(fā)展各種方法：你能以不同的方式推導這個結果嗎？他可以嘗試通過將當前的題目和以前解過的題目作比較以使當前的題目更加清晰．他可以嘗試創(chuàng)造一些新題目，而這些新題目可以根據他剛剛完成的工作解答出來：你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎？”[2]總之，“回顧與反思”是對解題活動的“再認識”，是解題活動后的“元認知”，即一方面回顧問題被解決過程中所涉及的有關知識、解題方法以及理解題意的過程，而且更要反思問題一開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產生過哪些錯誤，為什么會出現這些彎路和錯誤等．通過“回顧與反思”，可以看到數學的第二個側面，也就是看到“處于發(fā)現過程中的數學”．如果沒有了“回顧與反思”，就錯過了解題一次重要而有效益的方面．通過“回顧與反思”所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個結果和得出這一結果的路子，可以鞏固所學的知識和發(fā)展解題的能力．

解題后的“回顧與反思”確實是一個極其重要的環(huán)節(jié)，然而，教師在教學實踐中又常常容易忽視這個步驟，只注重前3個步驟．忽略了解題后的“回顧與反思”這個重要環(huán)節(jié)，學生只知道大量做題，常常感到解題是“來也匆匆，去也匆匆”．既不知道解法是如何發(fā)現的，也不知道該題與其他概念、理論、方法和問題的廣泛聯系，更不清楚題目還會有怎樣的發(fā)展．即使有“回顧與反思”這個步驟，常常也只是就題論題、就題論法、就題論道，只囿于解答這個題目本身，局限于“檢查解答是否正確”或記憶回顧所解答問題的過程，這樣的“回顧與反思”就常常流于形式和低層次化，起不到培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的目的，也不符合波利亞原本所指“回顧與反思”的真正涵義．究其原因除了個人和社會因素之外，更多的則是對解題后回顧與反思的意義缺乏深刻的認識，因此有必要對“回顧與反思”的內涵和意義做進一步的探討[3]．事實上，解題后的“回顧與反思”有著極其重要的價值，可以說是學好數學的法寶和訣竅之一．通過解題后的“回顧與反思”，有利于養(yǎng)成“回到概念去”思考和解決問題的習慣，有利于發(fā)現數學問題及其解答的來龍去脈，有利于發(fā)現數學問題、方法和理論之間的廣泛聯系，有利于發(fā)現許多相關結果中的交匯點．

僅就問題解決的一個周期而言，問題提出是問題解決的開始，而對數學家或好的問題解決者來說，一個問題的解決往往孕育著新問題的產生．數學家總是積極地以已經得到解決的問題為基礎不斷地提出新的問題，從而不斷地達到新的更大的抽象高度，得到更一般性的結果．如在某些看上去并無聯系的數學問題之間是否隱藏著某種普遍性的理論?這些數學問題能否被納入某個統(tǒng)一的數學結構？等等．因而，提出問題→解決問題→提出較高層次的問題→解決較高層次的問題→提出更高層次的問題→…如此形成一個螺旋上升的“問題鏈”，而問題提出和解決是其中的一個結點，有時很難界定它們之間的包容關系[4]．實踐中，數學家們也從來就不滿足于澄清手邊的問題，總是在取得了某些新知識以后，利用它去揭示更新的知識，而且往往是更具重要意義的知識．數學家的本然就是傾向于改編、引申和推廣已有的數學命題，數學家總是專心致志地圍繞著所解決的問題，從中推導出所有能夠得出的結果．數學家解決問題固然是很重要的，但基于所解決的問題從而提出更多、更有價值的問題，在解決問題的過程中不斷創(chuàng)造新的理論、工具和方法，這應該是更有價值的事情，也更能體現數學家解決問題的特征和本質．蔡金法等（2006）也指出：當學生解答了一個問題后，常常就認為完成了使命并停止進一步探索．為此，他們提出3種方法（即尋求不同的解答方法、提出新的問題和作出推廣）鼓勵學生解題后進行“回顧與反思”，這能充分拓展學生進一步深入學習和研究的機會[5]．Jacobbe（2007）也提出：運用“回顧與反思”步驟，可以作為幫助學生精心組織自己思維的方法以克服轉化困難[6]．因此，數學解題及其教學應該注重通過“回顧與反思”來提出新的問題，從典型的問題出發(fā)去變式、去引申、去發(fā)現，這樣常常可以得到一些意想不到的結論，更為重要的是探索過程對培養(yǎng)學生的探究思維和創(chuàng)新意識以及學會數學家的思維方式是大有好處的．

2 通過“回顧與反思”提出數學問題的一個案例及分析

為了更好地理解和體現波利亞“怎樣解題表”中“回顧與反思”步驟的真正含義，研究者以浙教版初中數學八年級上冊課本中一道課后題（P28）為例，來說明如何通過解題后的“回顧與反思”來引申、推廣和改編命題，從而提出新的問題．通過對這個案例周密詳盡的描述和分析，從中提出一個通過解題后的“回顧與反思”來提出數學問題的一般模式或方法，以使在以后類似的情況下起著指引的作用．

問題：如圖1，BD、CE分別是等腰三角形ABC兩腰AC、AB上的中線．問BD與CE相等嗎？請說明理由．（解答過程略）

回顧與反思：

第一步：分析原問題中的已知條件（等腰三角形及其中線）和需要證明的結論（兩腰上的中線相等）．可將原命題的條件和結論互換，即得原命題的“逆命題”：證明有兩條中線相等的三角形是等腰三角形．

圖1 等腰三角形ABC

第二步：分析原題目中的關鍵詞，1：等腰；2：三角形；3：中線．先討論關鍵詞1（等腰），在中學數學中，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，所以，將關鍵詞1“特殊化”，即可提出一個“特殊化”問題（證明等邊三角形的中線相等）．同樣，還可以提出和證明該“特殊化”命題的逆命題，也可以在此基礎上提出其它的“特殊化”命題．

第三步：將關鍵詞1“一般化”，即可得到一個“一般化”命題（任意三角形的中線之間是否相等？）．由于沒有發(fā)現任意三角形中線之間的明顯關系，然而，通過測量三角形各邊的長度，有可能會注意到平時難以發(fā)現的微妙關系，即：“在任意三角形中，最長的中線對應最短邊”；反之亦然（很顯然，從這個命題中，也可得出“等腰三角形兩腰上對應的中線相等”）．

第四步：三角形中還有一類特殊的三角形：直角三角形．它既不是等腰三角形的特殊情形也不是一般情形．直角三角形有一個性質：斜邊上的中線等于斜邊的一半．結合第三步，可以拓展這個性質，提出“證明直角三角形的中線大于或等于對應邊長度的一半（拓展性問題）”．

第五步：已經提出了“等腰三角形兩腰上中線相等”的“特殊化”問題、“一般化”問題和“拓展性”問題．當然，還可以繼續(xù)通過改變問題的關鍵詞而得到其它的新問題．這些新問題（以區(qū)別于前面生成的拓展問題）稱為進一步拓展問題．進一步拓展問題可以通過綜合“特殊化”問題、“一般化”問題和“拓展性”問題，或者改編“特殊化”問題、“一般化”問題和“拓展性”問題而得到．如將中線變?yōu)楦呔€、角平分線、中垂線．中學數學教材對“高線”和“角平分線”的長度都有準確的定義（三角形頂點到對應邊或其延長線的距離．如圖2，高線的長度定義為CE，角平分線的長度為BD）．然而，中學數學教材沒有“中垂線”長度的定義．為了克服這個障礙，可以考慮相對應的長度，如該線段的中垂線與鄰邊（或其延長線）的交點之間的距離（如圖2中的FG或者FH）．于是，就得到了進一步拓展性問題“等腰三角形兩腰上對應的高線（角平分線、中垂線）相等”．

第六步：同樣，也可根據第五步產生的問題經過逆、特殊化、一般化和拓展的過程提出新的問題．例如：第五步提出了三角形高線的相關命題，也可提出角平分線和中垂線相類似的問題，如圖3提出一個進一步拓展性問題的逆問題（等腰三角形兩腰的中垂線問題）．

圖2 高線(CE)角平分線(BD)中垂線(FG或FH)的三角形

圖3 等腰三角形兩腰的中垂線問題

還可以提出一個角平分線的問題，即：“如果一個三角形兩角的角平分線相等，證明這個三角形是等腰三角形”，這就是著名的斯坦納—萊默斯定理．解決這個問題后，還可以繼續(xù)提出新的問題（證明等腰三角形兩底角的外角的角平分線相等），其中，外角平分線的長度定義為“角的頂點與外角的角平分線與對應邊延長線的交點連線之間的距離”（如圖4中BD為∠ABC的外角平分線）．同樣，可以根據這個問題再提出新的問題．例如，“若三角形有兩個外角的角平分線相等，這個三角形一定是等腰三角形嗎？（逆問題）”．當然還可以繼續(xù)提出更多的問題，可以用其它幾何圖形（如平行四邊形、梯形等）來替換三角形．毫無疑問，這樣可以提出很多很多的問題．當然，所有這些提出的新問題，都是基于原先給定的問題（基本問題）．根據上面論述，可以給出一個模型來說明解題后的“回顧與反思”步驟如何基于基本問題提出新的問題．如圖5，一個基本問題可以經過證明、逆、特殊化、一般化、拓展和進一步拓展等途徑來提出新問題，同時，產生的新問題又可看作為基本問題，再經過這些途徑，提出更多的新問題．

3 啟示與建議

總之，數學問題之間不是孤立的，都是有其產生的背景，體現了數學知識之間的相互聯系．一個好的數學問題應當具有這樣的性質：它能自動地產生或提出許多相關的問題，從而，借助于這一“問題”，可以順利地去做出相應的發(fā)現．在此，可以采用問題鏈方法實現上述目標．所謂問題鏈方法就是以問題為主線，以提出問題—解決問題—再發(fā)現問題為全過程的，兼具收斂性和發(fā)散性的數學思維方法[7～10]．在一個完整的解題過程中，應該既包括嚴格意義上的發(fā)現，也應包括所謂的檢證，亦即所謂的啟發(fā)性及證明性兩種程序．問題解決之后的“回顧與反思”步驟在一定程度上能擺脫關于發(fā)現與驗證嚴格區(qū)分的思維框架，并進而提出新的問題和新的想法．正如波利亞所指出：教師的首要職責之一是不能給學生下列印象：數學題相互之間幾乎沒有什么聯系，與其它事物也根本毫無聯系．當回顧一個題目的解答時，自然有機會來考察這個題目與其它事物之間的相互系……然而，即便是相當優(yōu)秀的學生，在得到了題目的解答，并將整個論證簡潔地寫下來以后，就會合上書，去找別的事做．他們這樣的做法，遺漏了解題中一個重要而且有益的步驟．通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結果及導致結果的途徑，他們能夠鞏固知識，并培養(yǎng)他們的解題能力．一個好的教師必須理解這些，并使他的學生深刻地認識到：沒有任何一個題目是徹底完成了的．總還會有些事情可以做[2]．通過解題后的“回顧與反思”來改編、引申和推廣問題，有利于發(fā)現數學問題與問題之間、方法與方法之間、概念與概念之間、體系與體系之間的包含關系、相似關系、相聯關系等，并進一步發(fā)現數學內部之間各種各樣的有機網絡結構．解題之后進行推廣引申，不僅可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，還能幫助學生洞察本質，提高認識、居高臨下、跳出題海[11]．

圖4 三角形ABC的外角平分線問題

圖5 基本問題框圖

解題后的“回顧與反思”不僅僅提供找到一個更優(yōu)美或更簡單解答的可能性，它還能讓學生體驗到如何提出數學問題，體驗到真正“做數學”的味道，而不僅僅是去記憶背誦或消化吸收已經做好了的數學．這是某種短暫而動人心魄的感受，也是重要而激動人心的數學思維方法．“回顧與反思”步驟是數學解題過程中內在的一個重要組成部分，是一種積極的思維活動與探究行為，是探索、是發(fā)現、是創(chuàng)造的源泉，有利于培養(yǎng)學生提出問題的能力和創(chuàng)新精神，有利于學生發(fā)現新的規(guī)律并加以拓展、延伸與推廣，有利于學生提高數學素養(yǎng)和改進對數學的真正理解，是一個在數學解題、學習和研究中不能忽視的關鍵環(huán)節(jié)．正如波利亞曾指出：回顧已經完成的解答是工作中的一個重要且有啟發(fā)性的階段……當你找到第一個蘑菇或做出第一個發(fā)現后，繼續(xù)觀察，再四處看看，就能發(fā)現一堆蘑菇，因為它們總是成群生長[2]．“蘑菇格言”在數學解題及其教學中很有啟發(fā)：就是要善于運用好解題后的“回顧與反思”．許多學生難以學好數學就是缺乏這種“回顧與反思”的意識和能力，不知道如何通過“回顧與反思”來提出新的問題并進而產生新的發(fā)現．同樣，對于一個教師來說，問題解決過程的一個重要組成部分就是盡力去創(chuàng)造相似或相關的問題，幫助學生由被動地回答教師所提出的各個問題逐步過渡到學生自己去提出問題．為此，教師必須時刻注意尋找能讓學生做出引申、推廣和提出猜想的機會，教師必須努力創(chuàng)造條件讓學生尋找到數學問題與其它問題之間的廣泛聯系，解題后的“回顧與反思”能幫助教師實現這些目標．

[1] G·波利亞．數學的發(fā)現——對解題的理解、研究和講授（第一卷）[M]．歐陽絳譯．北京：科學出版社，1982．

[2] G·波利亞．怎樣解題：數學教學法的新面貌[M]．涂泓，馮承天譯．上海：上海科技教育出版社，2002．

[3] 王宏賓，羅增儒．例談解題回顧的意義[J]．數學教學，2007，（5）：3．

[4] 聶必凱，汪秉彝，呂傳漢．關于數學問題提出的若干思考[J]．數學教育學報，2003，12（2）：24．

[5] Jinfa Cai, M ichael Brook. Looking Back in Problem Solving [J]. Mathematics Teaching, 2006, (196): 42.

[6] Jacobbe T. Connecting Research to Teaching: Using Polya to Overcome Translation Difficulties [J]. Mathematics Teacher, 2007, (101): 390-393.

[7] 李三平．關于數學思維[J]．數學教育學報，1996，5（1）：17．

[8] 李莉．關于數學思維的特點[J]．數學教育學報，1995，4（1）：31．

[9] 黃光榮．對數學本質的認識[J]．數學教育學報，2002，11（2）：22．

[10] 王池富．淺談數學思維的誘導[J]．數學教育學報，1995，4（1）：52．

[11] 錢從新．運用推廣與引申的方法培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力[J]．數學教育學報，2003，12（1）：98．

On Looking-Back in Problem Solving and M athematical Problem Posing

XU Yan-hui
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Zhejiang Wenzhou 325035, China)

Since Polya’s putting forward the table of how to solve problem, the last stage is especially conspicuous and often overlooked. Based on the case study whether the central lines of two equal sides of isosceles triangle are equal, this paper describes how to push beyond getting a solution for a problem to adapting and generalizing the problem in the looking-back step.

Polya; looking-back; extension and generalization; isosceles triangle; problem posing

G420

：A

：1004–9894（2015）01–0009–04

[責任編校：周學智]

2014–09–20

教育部人文社科2012年青年基金項目——數學理解的認知科學基礎及其應用研究（12YJC880131）

徐彥輝（1975—），男，江西豐城人，副教授，博士，從事數學教育的理論與實踐研究．