學生“數學素養”指標的理論分析

何小亞

學生“數學素養”指標的理論分析

何小亞

（華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

國內外的數學素養觀主要分為“知識”取向、“知識+能力”取向和“多維度”取向3種；“多維度”取向的數學素養觀存在3個缺陷；數學素養是指滿足學生自身發展和社會發展所必備的數學方面的品格和能力，是數學的知識、能力和情感態度價值觀的綜合體，其構成要素包括數學運算、數學推理、數學意識、數學思想方法和數學情感態度價值觀；數學素養可以由低到高分成數學知識和技能、數學過程和方法、數學情感態度價值觀這3個層次；數學素養的行為表現是，理解基本的數學概念和原理，具備一定的運算、抽象、推理能力，能運用數學解決問題，會用數學語言來表達和交流，形成良好的數學情感態度價值觀．

數學素養；內涵；構成要素

1 導 論

雖然數學新課程改革實施了十余年，但“知識+解題能力”的應試教育依然大行其道，素質教育仍然沒有得到真正落實．究其原因，除了以筆試成績作為評價學生數學表現的唯一標準的評價方式沒有真正改變這一核心因素外，數學課程、數學教學中數學素養的缺失是另一大原因．盡管2011年新修訂的九年義務教育數學課程標準[1]中有4處，高中數學課程標準[2]有10處出現了“數學素養”這一術語，但無論是課標還是課標解讀[3～4]都沒有對數學素養的內涵與外延進行界定，導致數學素養的培養無法具體落實．即將啟動的高中數學課程標準修訂需要數學素養頂層設計的指導．所以，數學素養內涵的界定，數學素養的構成，各個階段數學素養的具體要求成了亟待解決的問題．

采取文獻分析和系統分析的方法對相關數學素養研究進行梳理，最后回答以下3個問題：

問題1：什么是數學素養？

問題2：數學素養由哪些要素構成？

問題3：數學素養的具體要求有哪些類別？

2 國內外數學素養研究梳理

文獻的收集基于兩條線索：一是學生的數學素養研究；二是學校培養未來公民的數學素養研究．不考慮數學教師的數學素養研究．下面，按照國內與國外兩條線索進行梳理．

2.1 國內數學素養內涵的界定與構成要素研究

根據心理學的理論，“素質”既有先天的條件，又有后天的養成，而“素養”則只是后天學習獲得的結果，即素質包含素養．因此，將數學素質的研究文獻歸于數學素養的研究．

國內數學素養的研究可分為3個階段（康世剛，2009）：

第一階段（70年代末以前）：沒有明確提出“數學素養”的名詞，只是討論與數學素養相關的問題，如（1）雙基教學；（2）三大能力培養；（3）數學與實際生活的緊密聯系；（4）數學史教育；（5）提高數學學習興趣等．

第二個階段（70年代末到1983年以前）：使用了“數學素養（素質）”的名詞，但沒有給予明確的定義．從使用“數學素養”的話語中可以發現，數學素養有這樣的涵義：（1）進一步學習和研究數學的能力；（2）數學應用能力；（3）把數學素養作為教學目的與掌握數學思想方法；（4）擴展數學知識視野．

第三個階段（1983年以后）：把數學素養（素質）作為一個研究對象，直接討論數學素養的涵義．特別是在數學教學大綱中提出“提高學生數學素養”之后，把這一研究推向高潮．這一階段涌現出3種研究思路：（1）從數學角度解釋數學素質．（2）素質教育思想指導下的數學素養教育．

（3）如何在數學學科中落實素質教育思想[5]．

下面僅介紹第三階段的研究情況．

2.1.1 國內學者對數學素養內涵的界定與分類

國內對數學素養內涵的界定主要有兩類：

第一類是由素養（或素質）概念出發，演繹出“素養（或素質）＋數學教育術語”式的定義．例如，“MA”課題組（1997）：“數學素養是指以人的先天生理特點為基礎，在后天的環境和數學教育影響下形成并發展的心理方面的穩定屬性．”[6]

張建良等（2005）：“數學素養，是指在個人的先天素質的基礎上，受后天教育與環境的影響，通過個體自身的學習、認識和實踐活動等所獲得的數學知識、數學能力和數學思想觀念等的一種綜合修養，我們也稱之為數學品質．”[7]

王子興（2002）：“數學素養乃是數學科學所固有的內蘊特性，是在人的先天生理基礎上通過后天嚴格的數學學習活動獲得的、融于身心中的一種比較穩定的狀態．”[8]

顯然，第一種定義方法忽視了數學學科本身的特殊性，沒有真正揭示出數學素養的內涵．

第二類考慮到了數學學科的特殊性，從數學素養內涵的一個或幾個方面來界定數學素養．主要表現為以下3類數學素養觀：

（1）“知識”取向的數學素養觀．

“知識”取向的數學素養觀把數學知識作為數學素養的核心內容，較少考慮其它因素．

謝恩澤（1991）認為，數學素養指一個人擁有的相應的數學內容知識，如算術、代數、幾何、分析等[9]．

鄭強等（2006）認為，數學素養是在數學課程學習過程中，學生通過數學知識的學習，內化數學文化的成果，最終在自己身上體現一種新的價值或達到新的水平．這一觀點雖然強調了數學知識是數學素養的重要內容，但它并非只是簡單的數學知識，還包括了數學文化的內容[10]．

（2）“知識＋能力”取向的數學素養觀．

“知識＋能力”取向的數學素養觀把數學素養看成是一種能力或知識與能力的綜合．

束仁武（1997）認為：數學素養主要指運算能力、發展邏輯思維能力和空間觀念，辨別、猜想能力等[11]．

劉俊先（2009）認為，數學素養是指人們靈活運用數學的理論與方法，觀察、分析、解決問題的能力[12]．

蘇洪雨等（2010）認為，數學素養指的是對數學知識的理解以及進行數學教學活動過程中所展現的數學思想方法和數學能力[13]．

（3）“多維度”取向的數學素養觀．

“多維度”取向的數學素養觀，除了知識、能力之外，還考慮到了數學素養的其它因素．

朱德江（2004）認為，數學素養就是人們通過數學教育以及個體自身的實踐和認識活動，所獲得的數學知識、數學技能、數學能力、數學觀念和數學思維品質等方面的素質與修養[14]．

王子興（2002）認為，數學素養（也稱之為數學品質）為數學知識、數學能力和數學思想觀念等的一種綜合修養[8]．

姚麗行（1995）認為，人的數學素養在日常生活中表現為：在學習數學中形成的良好的個性品質；能自覺地用數學知識和數學思想方法去觀察、分析、處理周圍的生活和生產問題；語言表達準確、簡練、邏輯性強，具有較好的數學語言交流能力[15]．

張奠宙教授研究小組（1994）提出，數學素質應包括下面4個“層面”：

知識觀念層面：能用數學的觀念和態度去觀察、解釋和表示事物的數量關系、空間形式和數據信息，以形成量化意識和良好的數感；

創造能力層面：通過解決日常生活、實際情境和其它學科問題發展提出數學模型，了解數學方法，注意數學應用的創造型數學能力，并形成忠誠、堅定、自信的意志品格；

思維品質層面：熟悉數學的抽象概括過程，掌握數學中的邏輯推理方法，以形成良好的思維品質與合理思維習慣；

科學語言層面：作為一種科學的語言，數學也是人際交流不可能缺少的工具，數學素質應包括能初步運用這種簡約，準確的語言[16]．

康世剛（2009）認為，基于對數學素養具有境域性、個體性、綜合性、外顯性以及生成性的本質屬性的認識，從數學素養生成的角度把數學素養界定為：數學素養指主體在已有數學經驗的基礎上，在數學活動中通過對數學的體驗、感悟和反思，并在真實情境中表現出來的一種綜合性特征．廣義的講是一種綜合性特征，狹義的講，是指在真實情境中應用數學知識與技能理性地處理問題的行為特征[5]．

潘小明（2009）沒有給出數學素養的內涵，但建議對數學素養的認識應該從數學活動的視角、全球教育的視角去分析[17]．

劉喆（2011）認為：數學素養是在數學經驗積累的基礎上，生成并外顯出來的可用于指導特定背景或區域中數學活動的一種整體性思想和行為特征，這里的思想和行為特征主要是通過數學知識、數學能力和數學情感表現出來的[18]．

2.1.2 國內“多維度”數學素養要素的研究

按照研究成果發表年份的先后順序，列出國內主要“多維度”數學素養要素的研究（見表1）．

表1 “多維度”數學素養要素的研究

有一些研究是從數學學科分類的角度來研究數學素養．比如說，代數素養、幾何素養、統計素養、概率素養．目前，基于這一視角的研究，國內已經有兩篇博士論文．

蘇洪雨（2009）：幾何素養的內涵主要因素包括：幾何知識、幾何能力、幾何應用和幾何背景，兩個次要的因素：幾何學習態度和幾何文化[34]．

桂德懷（2011）：中學生代數素養的理解主要集中在五個維度：代數基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本能力和初步應用意識．其中，基礎知識主要是指符號、規則和關系；基本技能是指運算、推理和可視化；基本思想方法主要包括化歸思想、方程思想和函數思想；基本能力主要是指抽象概括能力、符號化能力和一般化能力；初步應用意識主要包括發現關系、建立模型、求解反思3個方面[35]．

此外，徐德均（2011）認為，南通中學之所以院士輩出，主要的原因是實施了“誠恒治學、積健為雄、名師垂范、激趣勵志、導學精進、文理兼修”的數學素質教育[36]．

2.2 國外數學素養研究梳理

國外研究大致通過兩種方式揭示數學素養的內涵，一是直接下定義；二是用對具備數學素養的人的描述來間接地解釋這一概念．從國際視野的角度來看，數學素養的內涵發展可以分為3個階段（劉喆，2011）：

第一階段（20世紀60至80年代中后期），是數學素養提出的早期階段，人們已經認識到數學素養在個人日常生活中具有重要作用，但它的內涵還比較狹窄，偏重于數量運算、估算能力和解釋圖表等所含數學信息的技能．

第二階段（80年代末期至90年代末期），是數學素養的內涵不斷拓展與豐富階段，既突出強調在家庭、工作場所、社區等生活背景中發揮數學素養的作用，也初步凸顯出數學素養是知識、技能和觀念的集合體（但是，1994年IALS的定義卻有所退步）．其中，知識涵蓋了數學思想方法；技能也由數、量的運算層面拓展到幾何、概率、統計等的推理、證明、測量層面，包括數學交流、問題解決和自我監控能力等；觀念則有懂得數學價值、理解和欣賞數學本質、對自己的數學能力有信心等．

第三階段（21世紀之后），是數學素養的定義逐漸明晰、內涵走向綜合的階段，“內容、過程和背景”成為揭示數學素養內涵的3條主線[18]．

2.2.1 國外學者對數學素養內涵的界定

國外與數學素養的有關的術語主要有：Numerate、Numeracy（數字計算）、Literacy（知能：讀、寫、算）、Quantitative Literacy（數量方面的知識能力）、Mathematical Literacy（或Matheracy，數學知識能力）．對于“數學素養”的解釋，不同時期有所不同，即使在同一時期，不同國家、組織機構，不同學者的理解也是不同的，目前尚無統一明確的定義．表2僅列舉出部分較具代表性的定義．

表2 國外對數學素養內涵的代表性描述

表2 （續） 國外對數學素養內涵的代表性描述

2.2.2 國外的數學素養觀分類

概括而言，國外的數學素養觀主要分4種類型：

（1）“背景需要”取向的數學素養觀．

“背景需要”取向的數學素養觀，是從家庭、工作、社會等特定區域情境對數學的需要來界定數學素養．這類研究強調，沒有真實的情境需要，數學素養就無法外顯、無法判斷，因而“背景”會成為定義的重要組成部分．

澳大利亞數學教師協會指出，“數學素養就是能有效地應用數學來滿足家庭生活、工作的需要，滿足參與社區和公民生活的需要．”[38]

1992年，新西蘭教育研究委員會認為一個人像在課堂中一樣，在現實生活中能擁有運用數學的自信和技能，就稱為有數學素養的（Numerate）[38]．

I. Gal認為：“數學素養是技能、知識、信念、態度、思維習慣以及一般交流、問題解決能力的集合體，這是人們有效應對真實世界情境或含有數學、可計量元素的任務所必需的．”[44]

（2）“數學知識”取向的數學素養觀．

“數學知識”取向的數學素養觀，強調數學知識對于成為有數學素養的人來說是非常重要的．數學知識包括了數、測量、代數、幾何以及統計等領域．當然，不同的定義涉及的數學知識有差異．

John A. Paulos認為，數學素養是更好地理解個人情境中的有關數量[45]．

Jesse L. M. Wilkins 認為：“數學素養是對代數和幾何的全面理解．”[46]

（3）“數學過程”取向的數學素養觀．

“數學過程”取向的數學素養觀聚焦于問題解決、邏輯推理、數學交流、數學表達、數學運用、數學觀念、數學欣賞等各種數學過程，將能力和態度視為數學素養的核心內容．當然，這一類中的各種觀點的側重點有所不同．有的關注數學方法的理解和欣賞，有的重視數學態度和價值觀；有的強調基本技能（如算術運算），有的強調高水平思維能力和使用數量工具的能力．表2中的很多描述屬于這一類．

（4）“多維度”取向的數學素養觀．

“多維度”取向的數學素養觀，將“背景需要”、“數學知識”與“數學過程”3個因素綜合起來界定數學素養．為了使數學素養的定義變得明晰，PISA項目中數學素養設計主席Jan De Lange給出了一些解釋性的評論[47]：

用“素養”這一術語，我們是想強調那些在數學課程背景中已經被定義和可以定義的數學知識和技能不構成我們測評的核心內容．相反，我們所想的是以各式各樣、沉思的、基于洞察力的方式把數學知識放入大量背景的功能性運用中．

數學素養不能夠被簡化成數學術語、事實、程序以及完成某些運算、執行某些方法的各種技能等等知識．我們想強調“素養”這一術語不被限定在指示基本的、最低水平的功能性．相反，我們認為素養是一個連續的、多維的光譜（spectrum），從基本的功能性變化到高水平的技能知識掌握．

暗含在我們的數學素養概念中至關重要的能力是提出、表達和解決各種領域和環境中的數學問題．這些問題的范圍從純數學的到開始沒有呈現出、但能夠被問題提出者或解決者成功抽取出數學結構的問題．

態度和情感（如，自信心，好奇心，興趣，做事和理解事情的期望）不包括在數學素養定義的組成成分中．然而，它們是數學素養的重要的先決條件．原則上，沒有這些態度和情感也有可能擁有數學素養．然而實際上，一個人沒有一定程度的自信心、好奇心、興趣和期望做或理解包含數學成分的事情，是不可能發揮素養并應用在實際之中的．

綜上，PISA項目形成了比較綜合的定義：數學素養（Mathematical Literacy）是個體確認并理解數學在這個世界中所起的作用、做出有根據的判斷和從事數學活動的能力（capacity），以滿足個體在當前和未來生活中作為一個關注社會、有建設性意見和深思熟慮之公民的需要．

定義中的“這個世界”是指個體生活所在的自然、社會和文化環境；“從事數學活動”不是狹義的從事物理或社會活動，而是還包括數學交流、立場、評價和欣賞數學知識，不能僅局限于數學的功能性用途，而應體現數學的美學價值；“當前和未來生活”囊括個體的私人生活、職業生活、社會生活以及公民生活．

PISA不僅關注數學內容的掌握，還特別注重應用數學的過程，因而數學情境就是一個非常重要的方面，將數學與現實、靜態與動態結合在一起．由此可見，“多維度”取向的數學素養觀，將數學素養看作在現實情境中發揮功用的數學知識、數學能力與數學情感的統一體．

3 數學素養的內涵界定與構成要素研究

3.1 素養的本質

素養與素質密切相關．對“素質”這一術語的解釋有很多觀點，研究者比較認同這一觀點：素質是指人的先天遺傳特質和后天形成的能力，包括修養、精神、氣質、審美、愛好、志趣、習慣、思維、知識技能、實踐能力、生存能力等．（黃書光，2006）[48]

陽凌云（2005）認為，現代素質觀有3個共同點：一是素質包括先天和后天兩方面的素質；二是素質的形成和發展受環境和教育的影響；三是強調了素質形成過程中的“內化”機制[49]．

素質教育是根據人的發展和社會發展的實際需要，以全面提高全體學生的基本素質為根本目的，以尊重學生個性，注重開發人的身心潛能，注重形成人的健全個性為根本特征的教育．為此，2011年，中華人民共和國教育部從培養目標、課程與教學以及家庭、學校、社會3個角度提出了30條素質教育理念[50]．

素養不同于素質，素質含有先天遺傳特質的成分，而素養主要是靠后天的學習實踐活動形成的．也就是說，素質中有些東西是不可教的，也不可學的，而素養是可以培養的．

素養（competencies）不只是“知識（know ledge）”或“技能（skill）”或“能力（ability、capacity）”，也不是“知識+能力”，“知識+能力”就是“知能（literacy）”．知能最初的含義主要是指學科的一些能力，比如說聽、說、讀、寫方面的知識能力．PISA測試主要是測試學生在語言、數學、科學等學科方面的能力．而素養比知能的意義更為廣泛，它不但含有知識和能力，還包括了情感態度價值觀．當然，現在的PISA測試已將“知能（literacy）”的意義拓展到了“素養（competencies）”．

研究者認為，素養是學生為了滿足個人發展和社會發展所必需的、重要的、關鍵的知識、能力和情感態度價值觀．素養是可以培養的，它是一個有階段性的動態發展系統．

3.2 對“多維度”取向的數學素養觀的反思

由國內外數學素養研究的梳理部分可知，從歷史演變的角度，國內的數學素養觀的發展歷程為：

國外的數學素養觀的發展歷程為：

當今，不管是國內還是國外，人們對“多維度”取向的數學素養觀已經達成共識，數學素養包括了數學知識、數學能力和數學情感態度價值觀．

把數學知識、數學能力、數學情感態度價值觀作為數學素養的3大構成要素，是數學素養研究的一大進步，但這一要素結構存在著以下3個問題．

第一，這個三要素結構比較粗，不好具體區分落實，從而導致知識當能力、能力技巧化、有知識和能力但缺少深刻理解和良好態度的素養缺失教育．

第二，素養不是簡單的知識+技能+能力+情感態度的加法結果．

（1）知識與技能聯系緊密，數學認知技能需要知識的理解和思想的引領．

何小亞（2011）指出，在中國，人們長期以來把數學知識表述為數學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理．技能是按照一定的程序或步驟進行的一種機械性操作．人們經常說，學校教育既要傳授知識，也要形成技能．在教學實踐中，數學知識的教學較多地演變為知識的言語信息的記憶和機械的模仿操作．而技能則更多地被理解為動作操作，忽略了心智技能．

知識（傳統意義上的）與技能有著密切的聯系，技能在知識的學習過程中逐步形成和得到發展，反之，一定的技能是知識的學習的必要條件．因此，不應該將知識與技能割裂開．實際上，與現代認知心理學相比，傳統意義上的知識和技能分別對應著陳述性知識和程序性知識．

陳述性知識是關于事實的，能直接陳述的知識，它主要用于回答“是什么”的問題，它實際上是一系列的言語信息，主要以命題和命題網絡的形式表征．程序性知識是關于操作的產生式系統，它主要用于回答“會做什么”的問題．程序性知識分為智慧技能和認知策略，以產生式系統表征．

皮連生先生認為，技能分為動作技能和認知技能，動作技能是在練習基礎上形成的按某種規則或操作程序順利完成身體協調任務的能力，而認知技能是在練習基礎上形成的按某種規則或操作程序順利完成智慧任務的能力，它包括了智慧技能和認知策略[51]．數學智慧技能的習得和保持需要知識的理解，而認知策略則需要數學思想的引領．

（2）意會知識涉及到了情感體驗．

英國哲學家M. Planyi認為，人類大腦中的知識分為明確知識（explidt know ledge）和意會知識（tacit know ledge）．明確知識是指能言傳的，可以用文字來表述的知識．意會知識是指不能言傳的，不能系統表述的知識．意會知識是鑲嵌于實踐活動之中的，是情境性的和個體化的，只可意會，不可言傳．傳統的數學學習方式只注意到了數學明確知識的學習，忽視了數學的意識、思想和態度等數學意會知識的學習．意會知識隱藏在人類的實踐活動中，只有通過親身的活動體驗才能學會和提高[51]．

第三，“數學知識”與“數學能力”不宜作為數學素養的一級指標．

從教學實踐的操作性和教育評價的可測量這兩個角度考慮，較抽象、較復雜和易混淆的“數學知識”與“數學能力”不宜作為數學素養的一級指標．而數學運算、數學推理、數學意識、數學思想方法和數學情感態度價值觀這5個要素則比較符合共同性、操作性和可測量的要求．

算術中有數值計算，代數中有代數運算，而幾何、統計與概率也離不開這兩種運算．

代數中需要數學推理，幾何離不開數學推理，統計與概率需要數學推理，問題解決更需要數學推理．

算術需要數的意識、代數需要符號意識、幾何需要空間觀念、統計與概率需要數據分析意識、問題解決中需要應用意識．

數學思想方法是數學中重要的內容，其中的數學思想是數學的靈魂，它們貫穿與各個數學領域之中．數學思想靈魂的缺失是過去數學教育的一大失敗．

數學情感態度價值觀是各個數學領域的學習中都共有的，它屬于內隱的心理結構，不是明確知識，而是意會知識，無法通過傳授而直接獲得，必須通過學生的過程性學習間接獲得．它是教師以知識技能為基礎，以過程方法為途徑，在引導學生學習數學的過程中形成的[52]．

不可否認，數學情感態度價值觀的內容及測量是最困難的．數學情感態度價值觀的界定及內容分類將在3.3和4.1小節中介紹．其測量也有了文獻[53]的研究作為基礎．

3.3 數學素養的內涵及構成要素

基于上述國內外數學素養研究成果的分析、梳理和篩選，將學生數學素養的內涵界定為：數學素養是指學生為了滿足自身發展和社會發展所必備的數學方面的品格和能力，是數學的知識、能力和情感態度價值觀的綜合體．

選擇數學素養構成要素的5個標準：一是反映數學的學科特色；二是在數學較多領域中共有；三是可以培養；四是容易分學段闡述；五是可以測量．根據這一標準，確定數學素養的構成要素為：數學運算、數學推理、數學意識、數學思想方法和數學情感態度價值觀．

數學運算是指，根據算理和算法對數與式進行的運算．它要求運算要正確、迅速、合理，并對運算結果的正確性進行判斷、驗算．它包括：◆數值計算 ◆代數運算．

數學推理是指，由一個或幾個已知判斷得出一個新的數學判斷的思維形式．它包括：

◆演繹推理：從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照推理規則進行的推理．其形式既有形式邏輯方面的分析、綜合、抽象、概括、比較、分類、完全歸納、演繹、系統化、證明、反駁，也有辯證邏輯方面的已知與未知的互化、直與曲的互化、有限與無限的互化、化陌生為熟悉、化繁為簡、正難則反、順推與逆推之結合、動與靜之轉化、一般與特殊之轉化，等等．

◆合情推理：從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過不完全歸納、類比和想象等方式來推斷某些結果的推理．

數學意識是個體在思考問題時在數學方面的自覺意識或思維習慣．它包括：

◆數的意識：對數的意義的理解；數的表示；數的大小的相對性；用數進行交流；算法的選擇；數值的估算與解釋．

◆符號意識：能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，所得到的結論具有一般性，能用符號進行交流．

◆空間觀念：指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形，圖形的分解與組合，等等．

◆數據分析意識：意識到數據中隱藏著重要信息；有收集數據、分析數據、用數據說理的習慣；意識到數據分析方法的多樣性與合理性；通過數據分析體驗隨機性．

◆應用意識：有兩個方面的含義，一方面有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題；另一方面，認識到現實生活中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決．

數學思想方法是數學思想和數學方法的統一，它既含有觀念層面的數學思想又含有操作層面的數學方法．它包括：數學表示、數形結合、公理化、化歸、RM I原則、數學建模、統計思想、隨機思想、微積分思想，等等．

數學情感態度價值觀是指，個體對數學學科、數學活動、數學對象的喜好、立場觀念等．

心理傾向．它包括：對數學有自信心，認識到數學的科學價值、應用價值和文化價值，能感受數學的精確性、抽象性、概括性、應用性、簡潔性、整齊性、對稱性、和諧性、統一性等獨特之美，等等．

4 數學素養的層次與行為表現

4.1 數學素養的層次

按照學生獲得的先后順序和難易程度，數學素養的表現水平可以由低到高分成3個層次：數學知識與技能、數學過程與方法和數學情感態度價值觀[52]．

4.1.1 數學知識與技能

這一層次指的是數學基礎知識和基本技能．其內容主要包括3類：一類是數學概念、數學原理（即數學定理、性質、公式、法則）、基本的數學事實結論這樣一些用于回答“是什么”問題的陳述性知識，它屬于言語信息；第二類是涉及到數學概念、數學原理、基本的數學事實結論的運用，用于回答“做什么”的問題的程序性知識，它屬于認知技能；第三類是數學操作性技能，它屬于動作技能．

知識與技能層次的要求還可以分成以下4個層次：

了解：能回憶出知識的言語信息；能辨認出知識 的常見例證；會舉例說明知識的相關屬性．

理解：能把握知識的本質屬性；能與相關知識建立聯系；能區別知識的例證與反例．

掌握：在理解的基礎上，能直接把知識運用于新的情境．綜合運用：能綜合運用知識解決問題．

4.1.2 數學過程與方法

過程與方法的內容是：通過數學學習過程，把握數學思想方法，形成數學能力，發展數學思維、數學意識和創新意識，提高問題解決能力，積累數學活動經驗．

4.1.3 數學情感態度價值觀

這里的情感是指在數學活動過程中比較穩定的情緒體驗．數學態度是指對數學活動、數學對象的心理傾向或立場，表現出興趣、愛好、喜歡與否、看法立場．數學態度可以演變為數學信念——對數學持有的較為穩定的總體看法、觀念．數學態度包括對數學學科的態度（即數學信念）、對數學的興趣、對數學具體內容的態度．這一層次的內容還包括宏觀的價值觀和數學審美觀．

4.2 數學素養的行為表現

以數學素養提高為目的的數學教育，要求學生理解基本的數學概念和原理，具備一定的運算、抽象、推理能力，能運用數學解決問題，會用數學語言來表達和交流，形成良好的數學情感態度價值觀．

5 數學素養的要求領域分類模型

根據數學素養的定義與構成要素，無論是在小學、初中階段，還是在高中階段，學生的數學素養要求領域分類可以統一為如表3所示的模型．

表3 數學素養要求分類模型

[1] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[2] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[3] 數學課程標準研制組．全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）解讀[M]．北京：北京師范大學出版社，2002．

[4] 數學課程標準研制組．普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M]．南京：江蘇教育出版社，2004．

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Theoretical Analysis of the Students’ M athematical Com petence’ Indicators

HE Xiao-ya
(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

Mathematical competence concept in the domestic and overseas is divided into three types of “know ledge” orientation,“know ledge + ability” orientation and “multi-dimension” orientation; The mathematical competence of “multi-dimension”orientation exists three defects; Mathematical competence refers to the personality and capability on the aspect of math necessarily required to meet the self-development of students and social development, it is the combination of mathematical know ledge and ability as well as emotional attitude values, whose composing factors include mathematical operation, deduction, consciousness, ideological methods and emotional attitude values; Mathematical competence can be divided three levels from low to high, which are mathematical know ledge and skills, processes and methods of mathematics and mathematics emotional attitudes and values ;Behavioral expression of mathematical competence is that one understands basic mathematical concepts and principles, has certain operation and abstract and inferential capabilities, can use mathematics to solve problems, can use mathematical linguistics to express and communicate, and forms good mathematical emotion, attitude and value.

mathematical competence; connotation; constituent elements

G40-03

：A

：1004–9894（2015）01–0013–08

[責任編校：周學智]

2014–10–06

教育部哲學社會科學研究重大委托項目——我國高中階段學生核心素養的模型及指標體系研究（13JZDW 009）

何小亞（1964—），男，貴州荔波人，教授，主要從事數學教學與數學學習心理研究．