基于熱電制冷器溫控系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模和參量辨識

王選擇，侯洪洋，翟中生，楊練根，劉文超

(1.湖北工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，武漢430068;2.湖北工業(yè)大學(xué)湖北省現(xiàn)代制造質(zhì)量工程重點實驗室，武漢430068)

引 言

在干涉測量中，半導(dǎo)體激光器(laser diode，LD)作為干涉測量系統(tǒng)的光源，半導(dǎo)體激光器的輸出功率與波長等受溫度的影響較大。一般溫度變化1℃導(dǎo)致輸出波長的改變?yōu)?.2nm～0.3nm，這會嚴重影響干涉測量誤差，因此對半導(dǎo)體激光器溫度控制很重要。目前一般采用半導(dǎo)體熱電制冷器(thermoelectric cooler，TEC)作為溫度控制執(zhí)行元件，而常用溫度控制的方法是用脈沖寬度調(diào)制技術(shù)控制TEC端電壓和比例-積分-微分控制器［1-5］對熱響應(yīng)進行調(diào)整。但實驗中發(fā)現(xiàn)TEC熱慣性非常小，制冷制熱速度很快，同時由TEC、溫度傳感器、模組(安裝著激光二極管)和散熱裝置組成的實驗系統(tǒng)［6-7］，溫度傳感的時間常數(shù)也很小，精度要求高，因此在溫度控制之前，亟待需要解決的問題是建立合理的熱分析數(shù)學(xué)模型，在此模型的基礎(chǔ)上進行系統(tǒng)熱響應(yīng)分析，這對溫度的預(yù)測和溫度控制顯得尤為重要。而對于裝有激光二極管模組溫度的實時監(jiān)控，運用基于相差識別的溫度傳感原理［8］。

為了在實際運用中實現(xiàn)溫度的有效控制。作者在建立溫控系統(tǒng)熱分析數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，重點研究了在輸入電壓恒定的條件下，基于TEC溫控系統(tǒng)輸入與輸出特性，仿真［9］與實驗驗證此模型的合理性，并應(yīng)用非線性曲線擬合最小二乘法對模型中的特性參量進行辨識。

1 實驗裝置

實驗結(jié)構(gòu)模塊如圖1所示，由散熱片、TEC、模組構(gòu)成，圓槽內(nèi)嵌入激光二極管，帶條紋的小方槽裝上熱敏電阻，分別檢測散熱片和模組溫度，且模組上的小方槽與圓槽在同一高度，保證激光頭和熱敏電阻在同一溫度梯度上。實驗中使用QSI系列50mW，650nm激光二極管、CP系列12mm×12mm×3mm的TEC和表面貼裝器件(surface mount decices，SMD)封裝負溫度系數(shù)熱敏電阻。另外，激光二極管與模組連接處涂覆導(dǎo)熱硅脂，熱敏電阻［10］、模組、TEC、散熱片連接處用導(dǎo)熱絕緣的環(huán)氧樹脂粘接固定。由于在上實際制造出的模組與TEC接觸面尺寸大小相等，因此可以忽略TEC與環(huán)境的熱交換及TEC與模組進行熱傳遞的熱損耗。

Fig.1 Structure module of experimental setup

2 實驗系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

2．1 熱力學(xué)分析

TEC制冷制熱原理利用了珀爾帖效應(yīng)，將冷面的熱量不斷轉(zhuǎn)移到熱面。由能量守恒定律可知，從冷面失去的熱能與熱面得到的熱能相等，因此系統(tǒng)的總熱能可認為電流通過TEC內(nèi)阻產(chǎn)生的內(nèi)能。分別用Pr和Pc表示內(nèi)阻熱功率和轉(zhuǎn)移熱功率。此外在TEC對結(jié)構(gòu)模塊進行溫度調(diào)節(jié)的同時，散熱片與模組不斷地與環(huán)境進行熱能交換，主要為散熱片釋放到環(huán)境的熱功率P1和裝有激光二極管模組吸收到環(huán)境的熱功率P4，分別滿足如下關(guān)系:

式中，Th為散熱片溫度，Tw為模組溫度，T為環(huán)境溫度，K1為散熱片散熱系數(shù)，K4為模組吸熱系數(shù)。

在實際的溫度測量中發(fā)現(xiàn)，TEC剛通電時，冷面和熱面的溫度變化得最快，隨著冷熱面溫差的加大，熱面溫度的上升和冷面溫度的下降都逐漸緩慢，由此可見，溫差越大，阻止熱量向冷面轉(zhuǎn)移的能力越大，在溫差達到最大時，TEC制冷功率為0，熱量不再從冷面轉(zhuǎn)移到熱面，冷面溫度不再下降。那么，用Pe表示抑制熱能轉(zhuǎn)移功率，它與冷熱面溫差ΔT關(guān)系為:

式中，Ke為溫度抑制系數(shù)。

2．2 數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)TEC熱量的轉(zhuǎn)移特性，可以認為內(nèi)阻產(chǎn)生的熱量Pr全部釋放到TEC的熱端面，為了能夠清楚表達熱傳遞的過程，建立了如圖2所示的等效熱傳遞模型，可以知道，散熱片凈熱功率ΔP1和裝有激光二極管模組的凈熱功率ΔP2滿足關(guān)系如下:

那么，散熱片溫度Th、模組溫度Tw分別滿足如下關(guān)系:

式中，K2，K3分別為散熱片、模組的質(zhì)量與其比熱容的乘積的倒數(shù)，Th(0)，Tw(0)分別為散熱片和模組的初始溫度，t為時間變量。

Fig.2 Equivalent model of heat transfer

Fig.3 Mathematical model of the system

依據(jù)以上分析，結(jié)合數(shù)學(xué)表達式和圖2的等效熱傳遞模型建立了系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，如圖3所示。圖中為積分環(huán)節(jié)，s為復(fù)變量。為了進行仿真分析和理論分析，使用階躍信號作為系統(tǒng)輸入，根據(jù)階躍信號的特性，零時刻之前的系統(tǒng)階躍響應(yīng)沒有意義，只有在零時刻之后，散熱片和模組才具有初始溫度，同時系統(tǒng)有了環(huán)境溫度。

3 系統(tǒng)模型參量的確定

考慮到系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中參量太多，在進行參量辨識時，不能完全依靠求解整個系統(tǒng)最優(yōu)來進行辨識，因此采用分步進行的方法。首先對系統(tǒng)的局部進行辨識，給出一個參量的范圍值，然后在這個范圍內(nèi)尋找全系統(tǒng)最優(yōu)值，保證所求的最優(yōu)解穩(wěn)定性好，能反映實際系統(tǒng)的傳熱過程。

3．1 特性參量 K1，K2，Ke，K3，K4 的確定

Fig.4 Temperature vs.time of K1，K2，Ke，K3，K4experiment

按照上述分步方案，首先進行了確定K1，K2，Ke，K3和K4參量的實驗。先讓TEC通電，調(diào)整通電方向，對裝有激光二極管的模組制冷，檢測到模組與散熱片到達合適的溫差后，讓TEC斷電。同時采集到散熱片和模組溫度特性曲線如圖4所示，依據(jù)熱力學(xué)定律，熱量不斷自發(fā)從熱面轉(zhuǎn)移到冷面，兩者溫度相等后，一起下降至室溫。在TEC斷電情況下，分析數(shù)學(xué)模型(見圖3)，冷面轉(zhuǎn)移到熱面的熱功率Pc和內(nèi)阻產(chǎn)生的熱功率Pr都為0，系統(tǒng)輸入為單位階躍信號，零時刻之后，散熱片和模組才具有初始溫度Th(0)，Tw(0)，同時系統(tǒng)有了環(huán)境溫度T，輸出為散熱片溫度Th，模組溫度Tw。

在TEC斷電的條件下，列出系統(tǒng)輸入Xi與輸出Xo的關(guān)系式:

分別消除 Xo，1，Xo，2可得單輸出與單輸入傳遞函數(shù)，在環(huán)境溫度不變的條件下，認為系統(tǒng)輸出為經(jīng)過其傳遞函數(shù)，輸入Xi為一常數(shù)階躍響應(yīng)，為了便于非線性曲線擬合，對其階躍響應(yīng)數(shù)學(xué)表達式進行歸一化簡化處理，輸出可以表示為:

式中，s1和s2為方程s2+Es+F=0的根。E和F為方程系數(shù)。顯然a1，a2不獨立，且b1，b2也不獨立，根據(jù)拉斯變換初值定理可知，a1+a2=-1，b1+b2=-1，同時它們滿足如下的關(guān)系:

調(diào)用MATLAB的非線性最小二乘法曲線擬合函數(shù)，按照最小二乘法原理，要求實驗曲線Xo，1與擬合曲線 Xo，1′滿足如下關(guān)系:

按照(6)式同時對模組和散熱片數(shù)據(jù)進行歸一化處理，也就是對 TEC 斷電條件下的系統(tǒng)輸出 Xo，1，Xo，2進行歸一化處理。然后按照最小二乘法原理對歸一化實驗曲線進行特征辨識。擬合結(jié)果為:a1=-0.4339，a2=-0.5483，b1=0.4484，b2=-1.4744，s1=-0.0029，s2=-0.0170，歸一化實驗擬合曲線如圖5所示。再將擬合的結(jié)果代入(7)式的4個方程，同時由(4)式可以知道，K3為模組質(zhì)量與其比熱容的乘積的倒數(shù)，且模組是為鋁制材料，質(zhì)量為2.9g，先確定K3=0.392的條件下，求解 K1，K2，Ke，K4這 4 個未知數(shù):K1=0.021，K2=0.14169，Ke=0.0265，K4=0.0066。

Fig.5 The normalized experimental curve and fitting curve of Xo

3．2 參量 Pr，Pc的確定

在確定了 K1，K2，Ke，K3，K4參量后，進行了優(yōu)化參量Pr，Pc的實驗。讓TEC通電，對模組制冷，采集到裝有激光二極管模組溫度下降和散熱片溫度上升溫度曲線，如圖6所示。系統(tǒng)輸入為單位階躍信號，零時刻之后，散熱片和模組初始溫度為Th(0)，Tw(0)，系統(tǒng)環(huán)境溫度為T，在環(huán)境溫度不變的情況下，模組和散熱片初始溫度與環(huán)境溫度相等，即T=Th(0)=Tw(0)，輸出為散熱片溫度Th，模組溫度Tw。根據(jù)圖3中的數(shù)學(xué)模型列出系統(tǒng)輸入Xi與輸出Yo的關(guān)系:

式中，Yo，1，Yo，2表示模組和散熱片初始溫差和環(huán)境溫度相等、以及TEC通電條件下的系統(tǒng)輸出。分別消除Yo，1，Yo，2，可得單輸出與單輸入傳遞函數(shù) H1=Yo，1/Xi和H2=Yo，2/Xi，那么TEC通電條件下的階躍響應(yīng)為:

將 s1，s2，K1，K2，Ke，K3，K4代入(11)式，調(diào)用MATLAB的非線性曲線擬合 lsqcurvefit函數(shù)，按照(10)式對Pr和Pc進行特征辨識，要求擬合曲線Yo，1′，Yo，2′與實時曲線 Yo，1，Yo，2平方和最小，得到參量的值為:Pr=0.986W，Pc=1.3214W。最后用SIMULINK建立如圖3所示的仿真模型，再用擬合參量值進行仿真，在MATLAB中分別用實線、長虛線、短虛線繪制了實驗曲線、擬合曲線和仿真曲線，如圖6所示。這3條曲線所反映的熱電制冷器的制冷制熱特性和規(guī)律是一致的，在冷面與熱面溫差最大時，TEC的制冷功率就小于抑制熱能轉(zhuǎn)移功率，模組溫度開始上升，散熱片溫度跟隨上升。

Fig.6 Temperature curve with experiment simulation and fitting of Pr，Pc experiment

4 結(jié)論

提出了半導(dǎo)體激光器溫控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模塊的數(shù)學(xué)模型，運用時域分析的方法計算了模組和散熱片的階躍響應(yīng)，對比數(shù)學(xué)模型的仿真分析，驗證了模型仿真分析與理論分析的一致性，在基于相差識別溫度采集系統(tǒng)基礎(chǔ)上，利用非線性曲線擬合最小二乘法對數(shù)學(xué)模型的各個參量進行特征辨識，此方法為進一步半導(dǎo)體激光器溫度控制奠定了基礎(chǔ)。

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