相位解包裹中欠采樣問題的實驗研究

郭 媛，陳小天，毛 琦

(齊齊哈爾大學計算機與控制工程學院，齊齊哈爾161006)

式中

引 言

數字散斑干涉測量技術是激光技術與數字圖像處理相結合的光測方法。它具有精度高、靈敏度高、非接觸無損測量等優點［1-3］。在數字散斑測量中，待測光場的相位分布是通過求反正切運算得到的，得到的包裹相位值被限制在(-π，π］之間，這就需要通過相位解包裹技術得到真實相位。近年來，隨著光學測量技術的發展，很多相位解包裹方法被提出，如路徑跟蹤算法、最優估計算法、最小范數算法等［4-6］。其中最常用的算法是基于最小范數的最小二乘解包裹算法，最小二乘方法最后得到泊松方程，求解泊松方程的方法有迭代法［7］和直接法［8-9］。同時，最小二乘相位解包裹又分為非加權最小二乘相位解包裹和加權最小二乘相位解包裹［10-11］。

欠采樣是由于干涉條紋較密集，而現有的CCD的有限空間帶寬限制，使得計算機的取樣間隔過大造成信息丟失造成的。CCD的空間寬帶積越小，欠采樣現象越嚴重。應用傳統的相位解包裹算法將不能從欠采樣包裹相位圖中解出正確的連續相位分布，致使解包裹失敗，這個問題一直是相位解包裹中的一個難點。

剪切干涉測量是光學測量中的一種重要的測量方法，它通過同一光波與它的一個小錯位后的光波之間的干涉完成測量，根據剪切方向可分為橫向剪切、徑向剪切、旋轉剪切和方向剪切等。有學者將橫向剪切的理論引入欠采樣相位解包裹中，能夠有效地解決欠采樣問題［12-15］。橫向剪切干涉能夠有效地去除欠采樣現象的原因在于它利用波前相位與其自身小的錯位之間的偏差往往很小的特點，然后通過對偏差進行處理，進而實現對欠采樣包裹相位的恢復。但是，橫向剪切只是在一定的范圍內能夠解決欠采樣問題，當欠采樣較嚴重、相位變化過快時，現有的橫向剪切算法就會失效，不能正確地恢復正確的相位分布。本文中在橫向剪切最小二乘相位解包裹算法(least square algorithm based on lateral shearing interferometry，LSBLS)的基礎上提出新的相位解包裹算法，解決了欠采樣帶來的誤差，提高了原有的相位解包裹算法的抗采樣干擾能力，并通過理論分析和實驗驗證了其正確性和有效性。

1 橫向剪切最小二乘算法原理

數字散斑干涉測量中，從相干圖像提取的包裹相位為 ψi，j(- π≤ψi，j≤π)，與之對應的真實相位為 φi，j，并有:式中，ki，j為整數，(i，j)是 M × N 圖片中像素點的坐標，0≤i≤M-1，0≤j≤N-1。

定義x方向和y方向上的包裹相位差分別為Δxi，j和 Δyi，j:

式中，W為包裹算子，其目的是對包裹相位偏導數進行加減 2π，從而確保 Δxi，j和 Δyi，j位于(- π，π］之間。

最小二乘相位解包裹算法的基本思想是尋求真實相位的偏導數和包裹相位差的差分的值最小，即:

對(3)式φi，j求導數并令其為0，整理得泊松方程:

式中

因為相位微分在包裹相位圖像邊緣是無效的，故泊松方程的Neumann邊界條件為:

顯然最小二乘相位解包裹算法轉化為對泊松方程的求解，常用的求泊松方程的方法有迭代法和離散余弦變換(discrete cosine transform，DCT)或者快速傅里葉變換(fast Fourier transform，FFT)。

傳統的方法是用上述方法求出包裹相位，當相位變化快而使解包裹失敗。為解決這個問題，從而LSBLS算法被提出，其不同于傳統的解包裹方法是引入剪切干涉的原理，在(2)式的基礎上建立一個等效的2維復光場:

將兩光場相除，即可得到新的光場:

式中，Im()和Re()分別表示取復函數的虛部和實部運算。同理，在y方向上有:

將(10)式和(11)式代入(5)式中，通過DCT解包裹即可求出連續相位。

2 LSBLS算法的改進

盡管LSBLS方法可以有效地克服欠采樣帶來的麻煩，與傳統最小二相位解包裹相比存在優勢，但當欠采樣非常嚴重時，就會導致LSBLS方法失效，真實相位而不能解出。

為解決現有的LSBLS方法的缺點，作者在現有的LSBLS方法的基礎上進行改進。同樣將剪切干涉的原理引入到相位解包裹中，在(5)式的基礎上構建一個等效的 2 維復光場:

同樣沿x方法作1pixel的平移，創建新的光場:

將兩光場相除有:

則:

同理在y方向上有:

則(5)式變為:

故用常規的求解泊松方程的方法即可求出連續相位。與原有的LSBLS算法相比，改進后的LSBLS算法并不會改變原有的LSBLS算法的計算量，在理論上，兩種算法的計算時間是相同的。經過實驗研究，作者發現改進后的LSBLS算法沒有影響原有的LSBLS算法的計算時間，但在解決欠采樣問題上，改進后的LSBLS算法有明顯的優勢。

盡管DCT能夠滿足常用的最小二乘相位解包裹，但是，當殘差點較多時DCT非加權權最小二乘相位解包裹算法的計算結果比較平滑，從而有學者引入權重，抑制誤差的傳播，稱為加權離散余弦變換(weighted discrete cosine transform，WDCT)。為補償其平滑作用，采用加權來對最小二乘方法進行改進。權重定義

式中，pi，j和 qi，j分別為 x 方向和 y 方向相鄰包裹相位差分之差，unit()為歸一化處理，filt［］為均值濾波，求出權重 ui，j后，用 ui，j對 ρi，j進行加權處理:

式中，ρui，j表示對 ρi，j加權處理的結果，然后利用(4)式泊松方程的求解即可求出連續相位。鑒于WDCT算法的優勢，本文實驗中采用WDCT算法解泊松方程。

3 實驗與結果分析

為了驗證本文中改進后的LSBLS方法的有效性，用MATLAB編程，以100倍的peaks函數構建一個2維相位分布(512pixel×512pixel)進行實驗驗證，該2維相位分布的相位最大值和相位最小值分布為-655.1120rad和810.6041rad。用LSBLS算法解該2維相位如圖1所示。

Fig.1 Results of unimproved LSBLSa—original phase b—wrapped phase c—unwrapped phase by LSBLS d—comparison between unwrapped phase by LSBLS and original phase

圖1a是原始相位，圖1b是原始包裹相位，圖1c是用LSBLS算法解包裹的結果，圖1c和圖1a相比可以直觀看出LSBLS解包裹誤差很大，圖1d是坐標y為256pixel時的切面輪廓圖，從圖1d可以看出，LSBLS解包裹誤差極大。綜合圖1可以看出，LSBLS算法在原始相位變換太快時，欠采樣帶來的影響較為嚴重，相位解包裹失敗。

下面采用本文中改進的LSBLS相位解包裹方法，為了對比，同樣采用100倍的peaks函數進行實驗，改進后的LSBLS算法解包裹實驗如圖2所示。

Fig.2 Results of improved LSBLSa—unwrapped phase by improved LSBLS b—comparison between unwrapped phase by improved LSBLS and original phase

從圖2可以看出，改進后的LSBLS算法不僅能夠解出其包裹相位，而且改進后的LSBLS算法誤差較小。另外，改進后的LSBLS算法在運行時間上對原有的LSBLS算法運行時間沒有影響，改進前后的LSBLS算法的運行時間都為3s左右。

在現實情況中由相移技術得到的包裹相位都存在一定的噪聲，本文中根據現實情況對有噪聲的包裹相位進行了研究，對有噪聲的欠采樣相位解包裹問題的研究如圖3所示。

圖3是對有噪聲的包裹相位，通過窗口傅里葉濾波［16-18］后用改進的LSBLS方法解包裹的結果。圖3c和圖3d、圖3b相比可以看出，原有的LSBLS算法解包裹失敗了，而改進后的LSBLS算法能夠還原原始相位。圖3e是坐標x=256pixel時的剖面輪廓圖，圖3e更是明確地說明了改進后的LSBLS算法對欠采樣較嚴重的包裹相位能夠很好地解出真實相位。通過一系列的實驗可知，本文中改進的LSBLS算法對欠采樣問題的解決有較大的實用性。

Fig.3 Results of phase unwrapping of the undersampling wrapped phase with noisea—wrapped phase with noise b—original phase c—unwrapped phase by LSBLS d—unwrapped phase by improved LSBLS e—comparison between two LSBLS algorithms and original phase

4 結論

相位變化太快而發生欠采樣，導致不能順利完成相位解包裹。欠采樣問題一直是相位解包裹中的一個難點，盡管LSBLS算法有一定的抗欠采樣能力，但當欠采樣嚴重時，該算法同樣不能得到滿意的結果，甚至會解包裹失敗。本文中依據現有的LSBLS算法，對LSBLS算法加以改進，并通過實驗驗證了改進后的LSBLS算法的正確性和有效性。

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