基于螺旋理論的球面并聯機構構型分析

隨 磊， 李瑞琴， 李曉潤， 王明亞

（中北大學機械與動力工程學院，山西 太原 030051）

概述

球面并聯機構是一種特殊的空間并聯機構，其結構一般是由固定平臺、支鏈及動平臺構成。它的運動特點是動平臺可以繞著機構中心自由轉動，它有三個轉動的自由度，可以實現在三維空間中的任意旋轉。基于其比較特殊的運動規律，可以用在機器人的腕關節［1］、腰關節［2］、肩關節［3］等，也可以用在衛星天線的空間方位跟蹤系統、機床加工等方面。

由低副（即轉動副R和移動副P）鏈接而構成的球面并聯機構，目前研究較多的是3－RRR球面并聯機構，而且對其應用也較為廣泛和成熟，如電子靈巧眼［4］和數控回轉臺［5］。由于復合運動副（圓柱副C，虎克較U等）都可以看成是轉動副和移動副復合而成，因此本文只研究由低副鏈接構成的球面機構的構型，其他類型的球面并聯機構都可以在此基礎上進行演化拓展。

1 基于螺旋理論的構型綜合

本文研究的是對稱的三支鏈球面并聯機構，在進行構型分析時，選取其中的一條支鏈進行分析即可。由轉動副R、移動副P根據不同的排列方式可以組成8種不同空間排列形式［6］，即 RRR、PPR、RPP、PRP、RPR、RRP、PRR、PPP，如圖1所示。

圖1 轉動副和移動副的各種排列組合方式

圖1中的幾種組合中又因為轉動副軸線以及移動副軸線的平行、垂直或者成一定的角度關系，可以得到多種不同的機構構型。

下面利用雅可比矩陣的螺旋形式來進行三支鏈的球面并聯機構的型綜合。空間并聯機構動平臺上目標點的速度可以表示為：

由螺旋理論，球面并聯機構動平臺的瞬時運動可表示為：

式中：q·ji表示的是i支鏈j關節強度；＄ji表示連接在i支鏈j關節上的單元螺桿；Ci表示運動副（本文中運動副均為低副，自由度為1）數目。

當每條運動鏈的驅動副鎖閉時，第i條運動鏈的自由度減少為Ci－1，這樣運動鏈的反螺旋包括6－Ci個約束和6－Ci＋1個反螺旋。這里假定6－Ci＋1個反螺旋是驅動力矩，令第i條運動鏈的第一個為驅動副，將這個驅動表示為＄Ta，i，對方程（2）兩邊求反螺旋，得：

令ki＝1／＄Ta，i＄1i，則第i條支鏈驅動副的速度可表示為：

公式（4）又可表示為：

Ja是并聯機構的驅動雅可比矩陣，其行向量是驅動力＄a，i與常數ki的乘積。

對于球面并聯機構，動平臺上的每個自由度都應該對應一個電機驅動，故機構的運動方程可以表示為：

式中：ti表示機構的輸出；qi表示第i條支鏈驅動副的強度。

球面并聯機構雅可比矩陣的標準形式可以表示為：

由公式（5）和（7）可得：

由公式（8）可以看出機構的各個驅動副互相垂直。本文中機構的驅動副是轉動副或移動副，故驅動是沿轉動副的軸線而力是沿移動副的軸線，這樣，驅動和驅動副的軸線就是一致的，并聯機構動平臺的運動是機構所有運動鏈運動的交集。故滿足三支鏈球面并聯機構的條件為：球面并聯機構每條運動鏈應該有三個旋轉自由度；運動鏈的驅動副是互相垂直的。

2 2R1P型機構構型分析及自由度驗證

僅考慮由2個轉動副、1個移動副組成的三支鏈球面并聯機構即2R1P型的球面并聯機構，那么對于每一條支鏈，都包含兩個轉動副和一個移動副，根據其轉動副軸線互相平行和轉動副軸線互相垂直兩種情況，共得到9種構型，如圖2所示。

圖2 2R1P型機構的構型

根據以上9種構型，在SolidWorks中建模分別得到如圖3所示的RPR、PRR、RPR三種球面并聯機構的模型，并且通過計算機構的自由度的計算來驗證可行性。

圖3 2R1P型球面并聯機構模型

在三維空間中，假設有n個不受約束的剛體，若以其中一個剛體為參照物，則其他任意一個剛體相對參照物都有6個自由度，n個剛體就有6（n－1）個自由度，如果所有的剛體間用k個具有fi自由度的運動副連接起來，則機構的自由度為：

這就是 Kutzbach Grubler公式［7］。式 中：F 為 機構的自由度；n為機構的構件數；K為運動副數；fi為第i個運動副的相對自由度。

隨著近年來機構學的研究發展，Hunt提出了更具有普遍性的計算空間機構自由度的公式：

式中：d＝6－λ，d為機構的階；λ為機構的公共約束數。

對一般的沒有公共約束的空間機構，λ＝0，d＝6；但是對平面機構和球面機構都有三個公共約束［8］，λ＝3，因此公式（10）中d＝3。本文所述的3支鏈2R1P球面并聯機構構件數為8，3個移動副和6個轉動副，移動副的相對自由度為1，轉動副的相對自由度為1，代入公式（10）得機構的自由度為3。

3 結語

本文主要利用螺旋理論的知識對各支鏈全是由平面低副連接的三自由度球面并聯機構進行構型分析，得出通過轉動副和移動副不同的組合的8種形式，并通過雅克比矩陣得出構成三支鏈球面并聯機構的拓撲條件：球面并聯機構各支鏈都應有三個旋轉自由度；各支鏈的驅動副相互垂直。之后又通過前面得出的結論對2R1P型的球面并聯機構根據轉動副軸線的位置關系得出9種具體的構型，并從中選取3種構型利用三維軟件建造比較實用的模型，通過對自由度的計算驗證模型的可行性和正確性。通過本文的研究可對球面并聯機構的應用提供選型基礎和對球面并聯機構的其他結構創新提供參考。

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［5］ 曾憲菁，黃田，曾子平.3－RRR型數控回轉臺的精度分析［J］.機械工程學報，2001，37（11）：42－46.

［6］ Feng Gao，Jialun Yang，Qiaode Jeffrey Ge.Type synthesis of parallel mechanisms having the second class GF sets and two dimensional rotations［J］.Journal of Mechanisms and Robotics，2011，3（1）：1－8.

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