不完備軟區(qū)分矩陣及其在決策問題中的應(yīng)用＊

楊 勇，宋娟萍

（西北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，甘肅 蘭州730070）

1 引言

為解決現(xiàn)實(shí)中遇到的不確定問題，相繼產(chǎn)生了一系列的數(shù)學(xué)理論和工具，比如粗糙集理論［1］、概率論、模糊集理論［2］等。但是，以上理論都存在其不完善的方面，主要不足之處是參數(shù)化工具的不完備。Molodstov D［3］于1999 年 提 出 了 軟 集（Soft Set），成功解決了其它方法不能解決的參數(shù)化不足問題。軟集參數(shù)的無約束性，使其解決不確定性問題的應(yīng)用更廣，也簡化了決策過程。隨后Maji P K 等學(xué)者［4］對軟集理論作了進(jìn)一步研究并給出了軟集在決策問題中的應(yīng)用［5］。近年來，軟集的理論研究已經(jīng)在很多領(lǐng)域取得了豐碩的成果［6～10］，與此同時(shí)，軟集在許多實(shí)際問題尤其是決策問題中得到了廣泛的應(yīng)用［11～14］。在文獻(xiàn)［15］中作者定義了軟矩陣，提出了軟矩陣算子以及解決決策問題的新方法。Feng Q 等［16］研究軟集和信息系統(tǒng)之間的關(guān)系提出了軟區(qū)分矩陣，并將其成功地用于決策問題，提出了全新的決策算法。

現(xiàn)實(shí)世界中會(huì)因數(shù)據(jù)測量的誤差、對數(shù)據(jù)理解或獲取的限制等因素，導(dǎo)致得到的信息系統(tǒng)往往是不完備的，基于此原因，本文結(jié)合不完備信息系統(tǒng)、軟集以及區(qū)分矩陣，提出了不完備軟區(qū)分矩陣，同時(shí)討論其相關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算。本文是對文獻(xiàn)［16］的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和補(bǔ)充，部分地解決了不完備信息系統(tǒng)中的決策問題。最后，通過實(shí)例來驗(yàn)證新方法在解決決策不完備問題中的有效性。

2 預(yù)備知識

2.1 信息系統(tǒng)

定義1［17］（信息系統(tǒng)） 四元組（U，A，V，f）稱為信息系統(tǒng)，或者是信息表。其中U為非空有限對象集合，稱為論域；A為非空有限屬性集合；V＝∪Vj，其中Vj表示屬性aj的值域；f：U×A→V是一個(gè)信息函數(shù)，指明每個(gè)對象的屬性值。

在一個(gè)信息系統(tǒng)中，若存在xi∈U，aj∈A，使得f（xi，aj）＝＊ ，這里的“＊”表示未知值，則稱該系統(tǒng)為不完備信息系統(tǒng)。如表1所示的信息系統(tǒng)就是一個(gè)不完備信息系統(tǒng)。

Table 1 An incomplete information systemS＝（U，A，V，f）表1 不完備信息系統(tǒng)S＝（U，A，V，f）

定義2［17］（劃分） 設(shè)R是U上的等價(jià)關(guān)系，由不可區(qū)分關(guān)系R決定的U上的一個(gè)劃分定義如下：A＝U｜R＝｛［xi］R：xi∈U｝，其中［xi］R＝｛xj：（xi，xj）∈R｝為包含元素xi的一個(gè)等價(jià)類。

2.2 軟集

定義3［3］（軟集） 設(shè)U為初始論域，E為參數(shù)集，P（U）為U上的冪集，A?E，F(xiàn)：A→P（U），稱（F，A）為U上的軟集。

換句話說，一個(gè)U上的軟集就是U上的一些子集構(gòu)成的參數(shù)族。對于任意的參數(shù)e∈A，F(xiàn)（e）可看作軟集（F，A）的e－元素的集合或者是軟集e－近似元素的集合。

定義4［18］（不完備軟集） 設(shè)U為初始論域，E為參數(shù)集，A?E，F(xiàn)：A→ ｛0 ，1/2，1 ｝U，則稱（F，A）為U上的不完備軟集。

注：本定義中1/2 表示不完備軟集中的未知值，即“＊”。

性質(zhì)1［19］任何軟集都是一個(gè)信息系統(tǒng)。

定義5［6］（軟 二 元 關(guān) 系） 如 果F：A→P（U×U）是參數(shù)集A到冪集U×U上的映射，則U×U上的軟集（F，A）稱為U上的一個(gè)軟二元關(guān)系。

定義6［11］（軟等價(jià)關(guān)系） 設(shè)（F，A）是U上的軟二元關(guān)系，如果對任意的e∈A，有F（e）≠?且是U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，則稱（F，A）為U上的一個(gè)軟等價(jià)關(guān)系。

定義7［11］（等價(jià)類） 設(shè)（F，A）是U上的一個(gè)軟等價(jià)關(guān)系，則等價(jià)關(guān)系F（e）中包含元素x的等價(jià)類定義為：［x］F（e）＝｛y：（x，y）∈F（e），y∈U｝。

由上可知，軟集（F，A）可確定一個(gè)不可區(qū)分關(guān)系，這個(gè)不可區(qū)分關(guān)系就是由參數(shù)決定的所有等價(jià)關(guān)系的交，即IND（F，A）＝∩ei∈AF（ei）。

設(shè) （F，A）是U上 的 軟 集，其 中U＝｛h1，h2，…，hm｝，則 由 不 可 區(qū) 分 關(guān) 系IND（F，A）決 定 的U上 的 劃 分 為：U｜IND（F，A）＝｛c1，c2，…，ck｝（k≤m），其 中ci＝［hj］IND（F，A），hj∈U。

文獻(xiàn)［11］提出了決策參數(shù)的概念，決策參數(shù)D＝∑hij中的hij為第i個(gè)對象hi關(guān)于第j個(gè)參數(shù)ej的值。在軟集中條件參數(shù)和決策參數(shù)之間存在著很明確的關(guān)系，若使用粗糙集理論的屬性約簡方法可能會(huì)改變軟集中最優(yōu)對象的選擇。因此，本文不對屬性進(jìn)行約簡，通過建立區(qū)分矩陣來選擇最優(yōu)對象。為此介紹軟集一致決策表的相關(guān)基本概念，這些概念和粗糙集的相關(guān)概念類似。

定義8［5］（軟集的選擇值） 設(shè)（F，A）是U上的軟集，則對象hi∈U的選擇值di＝∑jhij，其中hij為軟集表中的元素。

決策參數(shù)值和每一個(gè)對象的選擇值是相等的，下文中兩者將不再區(qū)分。

定義9［16］（一致決策表） 設(shè)（F，A）是U上的軟集，A?E，T＝（U，A＝C，D）是軟集確定的決策表。當(dāng)C?D，即IND（C）?IND（D），T稱為軟集的一致決策表，其中C是條件參數(shù)集，D是決策參數(shù)集。

定義10［11］（決策表中的不必要參數(shù)集） 設(shè)T＝（U，A，C，D）是一致決策表，Tγ＝（U，A，Cγ，Dγ）是在條件屬性C中刪除屬性γ得到的決策表，其中Dγ表示刪除γ后的決策參數(shù)集，且滿足以下條件時(shí)稱γ在T中是不必要的：

（1）Tγ是一致的，即C－γ?Dγ；

（2）IND（D）＝IND（Dγ）。

否則，稱γ是決策表的必要參數(shù)或核參數(shù)。

由以上定義可知，在不完備軟集中當(dāng)且僅當(dāng)C?D，即IND（C）?IND（D）時(shí)，決策表是一致的，所以我們可得到以下性質(zhì)。

性質(zhì)2U上的任何一個(gè)不完備軟集都是一致的。

證明由粗糙集理論可知，對U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系R，有對任意的（xi，xj）∈R時(shí)，f（xi）＝f（xj）。由文獻(xiàn)［11］可知，（F，A）為U上的軟等價(jià)關(guān)系，在該關(guān)系中對任意的e∈A，F(xiàn)（e）是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，因此，∩F（e）也是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，它可以決定一個(gè)劃分。在不完備軟集（F，A）中決策參數(shù)D＝∑hij是由條件參數(shù)計(jì)算得到的，由條件參數(shù)決定的在同一個(gè)等價(jià)類中的對象必屬于由決策參數(shù)決定的一個(gè)等價(jià)類中，所以IND（C）?IND（D），即C?D。因此，U上的任何一個(gè)不完備軟集都是一致的。

性質(zhì)3設(shè)（F，A）是U上的不完備軟集，則IND（D）＝IND（Dγ）的必要條件是IND（Cγ）＝IND（C），其中Dγ表示從條件參數(shù)C中刪除屬性γ后的決策參數(shù)。

3 不完備軟區(qū)分矩陣及其應(yīng)用

區(qū)分矩陣最初是由Skowron A 和Rauszer C在文獻(xiàn)［20］中提出的，主要用于屬性約簡。本文利用不完備軟集確定的區(qū)分矩陣來解決決策問題。下面將介紹不完備軟集上的區(qū)分矩陣，即不完備軟區(qū)分矩陣。

3.1 不完備軟區(qū)分矩陣

為了方便解決不完備信息系統(tǒng)下的決策問題，給出了以下定義。

定義11設(shè)U是論域，E是參數(shù)集，S＝（F，A）是U上的不完備軟集，A?E，則F是U×A到V上 的 函 數(shù)，即F：U×A→V。因 此，F(xiàn)（hi，el）∈V，其中，hi∈U（i＝1，2，…，|U|），el∈A（l＝1，2，…，|A|），V＝ ｛0 ，1，1/2｝ 。當(dāng)F（hi，el）未知時(shí)，F(xiàn)（hi，el）＝1/2。

定義12（基于對象的區(qū)分矩陣） 設(shè)S＝（F，A）是U上的不完備軟集，A?E，稱為（F，A）上 的 基 于 對 象 的區(qū) 分 矩 陣，其 中D（hi，hj）＝ ｛el∈A：F（hi，el）≠F（hj，el），hi，hj∈U｝為元素hi和hj的不完備軟區(qū)分參數(shù)集，F(xiàn)（hi，el）和F（hj，el）是對象hi和hj關(guān)于參數(shù)el的值。

綜上可知，在同一個(gè)劃分類中的對象將位于同一個(gè)決策類中，即它們有相同的決策值。因此，我們可以通過定義不完備軟集（F，A）上條件參數(shù)劃分類的區(qū)分矩陣來縮小不完備軟集（F，A）上區(qū)分矩陣的規(guī)模。

定義13（基于劃分類的區(qū)分矩陣） 設(shè)S＝（F，A）是U上的不完備軟集，A?E。S決定的劃分 為U｜IND（F，A）＝｛Ci：i≤|U|｝。稱為（F，A）上的基于劃分類的區(qū) 分 矩 陣，其 中D（Ci，Cj）＝｛el∈A：F（hi，el）≠）F（hj，el），?hi∈Ci，hj∈Cj｝為Ci和Cj的不完備軟區(qū)分參數(shù)集，F(xiàn)（hi，el）和F（hj，el）是Ci中的對象hi和Cj中的對象hj關(guān)于參數(shù)el的值。

在下文中選用基于劃分類的區(qū)分矩陣。接下來將給出例子來說明不完備軟區(qū)分矩陣的相關(guān)概念。

例1［21］設(shè)U上的不完備軟集（F，E）如表2所示，其中U＝｛h1，h2，h3，h4，h5，h6｝，條 件參數(shù)集E＝｛e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7｝，最后一列增 加 了決策參數(shù)D＝∑hij，根據(jù)定義13來構(gòu)造區(qū)分矩陣。

F（e1）的 等 價(jià) 類 為：｛h1，h4，h5｝，｛h2，h6｝，｛h3｝；

F（e2）的 等 價(jià) 類 為：｛h6｝，｛h1，h2，h4，h5｝，｛h3｝；

F（e3）的等 價(jià) 類 為：｛h1，h2，h6｝，｛h3｝，｛h4，h5｝；

F（e4）的等 價(jià) 類 為：｛h2｝，｛h3，h4，h5｝，｛h1，h6｝；

F（e5）的 等 價(jià) 類 為：｛h1｝，｛h3，h4，h5，h6｝，｛h2｝；

F（e6）的等 價(jià) 類 為：｛h2，h6｝，｛h4，h5｝，｛h1，h3｝；

F（e7）的等價(jià)類為：｛h2，h3｝，｛h1，h4，h5，h6｝。

Table 2 Incomplete soft set in example 1表2 例1中的不完備軟集

Table 3 Discernibility matrix of Table 2表3 表2的區(qū)分矩陣

因?yàn)閰^(qū)分矩陣是對稱的，所以我們只需表示出矩陣的一半元素，在本文中我們采用下三角的形式來表示區(qū)分矩陣。

軟集經(jīng)常被用來解決決策問題，從上面的定義中可知一個(gè)不完備軟集就是一個(gè)不完備信息系統(tǒng)，而區(qū)分矩陣的定義形式也類似于信息系統(tǒng)，因此可以利用區(qū)分矩陣來解決不完備軟集中的決策問題。

僅依據(jù)表3我們還是很難得到?jīng)Q策問題的答案。但是，由表3可知，決策值最大的對象將被選為最優(yōu)對象，決策值的大小是由值為1和1/2的那些條件參數(shù)決定的，從而最優(yōu)對象的條件參數(shù)的值為1和1/2的數(shù)量多于其它對象。由此可見，可以通過統(tǒng)計(jì)對象的參數(shù)值為1和1/2的那些參數(shù)的個(gè)數(shù)來確定最優(yōu)對象。下面將給出不完備軟區(qū)分矩陣的定義以及解決決策問題的算法。

定義14（不完備軟區(qū)分矩陣） 設(shè)（F，A）是U上的不完備軟集，A?E。（F，A）決定的劃分U｜IND（F，A）＝｛Ci：i≤｜U｜｝。不完備軟區(qū)分矩陣 定 義 為：其 中i，j≤U｝稱為Ci與Cj的不完備軟區(qū)分參數(shù)集，其中：

從以上定義我們可知Ei是在Ci中值為1且在Cj中值不為1的那些參數(shù)的集合，是在Ci中值為1/2且在Cj中值不為1/2的那些參數(shù)的集合；Ej是在Cj中值為1且在Ci中值不為1的那些參數(shù)的集合，是在Cj中值為1/2且在Ci中值不 為 1/2 的 那 些 參 數(shù) 的 集 合。 根 據(jù) 在D（Ci，Cj）中|Ei|、|Ej|、可以得到Ci和Cj的序關(guān)系。

根據(jù)定義14，通過再次分析Kong Z 在文獻(xiàn)［21］中的例1，得到例1的軟區(qū)分矩陣如表4所示。

根據(jù)例1，不可區(qū)分關(guān)系IND（F，E）將U劃分為五類：C1＝｛h1｝；C2＝｛h2｝；C3＝｛h3｝；C4＝｛h4，h5｝；C5＝｛h6｝。

我們只給出D（C2，C1）的計(jì)算，其它不完備軟區(qū)分矩陣參數(shù)的計(jì)算方式相同。在C1中只有一個(gè)對象h1，C2中只有一個(gè)對象h2。從表3中可知D（C2，C1）＝ ｛e1，e4，e5，e6，e7｝，從 表2 可 知F（h1，e1）＝1且F（h2，e1）＝0，F(xiàn)（h1，e5）＝1且F（h2，e5）＝1/2，因此F（h1，e4）＝1/2 且F（h2，e4）＝ 1，F(xiàn)（h1，e6）＝ 1/2 且F（h2，e6）＝1，所 以又F（h2，e4）＝1且F（h1，e4）＝1/2，F(xiàn)（h2，e5）＝1/2且F（h1，e5）＝1，F(xiàn)（h2，e6）＝1 且F（h1，e6）＝1/2，F(xiàn)（h2，e7）＝1且F（h1，e7）＝0，故所以，D（C2，C1）＝E1∪根據(jù)定義14得到的不完備軟區(qū)分矩陣如表4所示。

注：對于C4，其中的對象h4和h5的決策值是相等的，因此可以選擇其中的任意一個(gè)元素和其它類進(jìn)行比較。

Table 4 Incomplete soft discernibility matrix of Table 2表4 表2的不完備軟區(qū)分矩陣

性質(zhì)4設(shè)（F，A）是U上的不完備軟集，其中U＝｛h1，h2，…，hm｝，則（F，A）上的不完備軟區(qū)分矩陣有如下性質(zhì)：

（1）D（Ci，Ci）＝? （?i≤m）；

（2）D（Ci，Cj）＝（Cj，Ci）（?i，j≤m）。

性質(zhì)5設(shè)（F，A）是U上的不完備軟集，其中U＝｛h1，h2，…，hm｝。設(shè)d（Ci，Cj）＝｜D（Ci，Cj）｜，其 中D（Ci，Cj）表 示 集 合D（Ci，Cj）的基數(shù)。則d（Ci，Cj）有如下性質(zhì)：

（1）d（Ci，Ci）＝0（ ?i≤m）；

（2）d（Ci，Cj）＝d（Cj，Ci）（?i，j≤m）。

由 定 義14 和 性 質(zhì)5 可 知：d（Ci，Cj）＝當(dāng)時(shí)，為了更好地解決決策問題，令因此，在做決策時(shí)只需要計(jì)算和便可得到Ci和Cj的序關(guān)系，因此得到如下性質(zhì)：

性質(zhì)6在不完備軟區(qū)分矩陣中，如果表示Ci與Cj在相同的決策類中；如果，則表示Ci與Cj之間有一個(gè)序關(guān)系，即Ci優(yōu)于Cj或Cj優(yōu)于Ci。

性質(zhì)7在不完備軟區(qū)分矩陣中，如果則有以下兩種情況：

3.2 基于不完備軟區(qū)分矩陣的決策算法

算法基于不完備軟區(qū)分矩陣的決策

輸入：U上的不完備軟集S＝（F，A），其中U＝｛h1，h2，…，hm｝。

輸出：所有對象的序關(guān)系。

步驟1計(jì)算U的劃分以及不完備軟區(qū)分矩陣＝（D（Ci，Cj） ）i.j≤U。

步驟3根據(jù)性質(zhì)7給出Ci和Cj的序關(guān)系。

步驟4根據(jù)步驟3輸出所有對象的序關(guān)系。

接下來將繼續(xù)使用例1來闡述上文給出的算法。

例2不完備軟集如表2所示，利用算法1給出所有對象的序關(guān)系。

步驟1從表2 我們得到U的劃分為：｛｛h1｝，｛h2｝，｛h3｝，｛h4，h5｝，｛h6｝｝，這 五 個(gè) 類 分別標(biāo)記如下：C1＝｛h1｝；C2＝｛h2｝，C3＝｛h3｝，C4＝｛h4，h5｝和C5＝｛h6｝。不完備軟區(qū)分矩陣如表4所示。

同理，

步驟3根據(jù)性質(zhì)7 以及步驟2 步可得：有知C2優(yōu)于C1，即h2＞h1。同理：C1優(yōu)于C6，即h1＞h6；C3優(yōu)于C4，即h3＞｛h4，h5｝；C5優(yōu)于C3，即h6＞h3。其它一樣，這里將不再一一列出。

步驟4根據(jù)步驟3 得到對象的序關(guān)系為：h2＞h1＞h6＞h3＞｛h4，h5｝。因此，最優(yōu)對象為h2。

實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)候我們不僅需要得到最優(yōu)對象而且需要次優(yōu)對象，該方法可以獲得所有對象的序關(guān)系，在實(shí)際中將會(huì)有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值。且該方法使用區(qū)分矩陣來解決不完備信息的決策問題，后期可以使用該方法來研究不完備信息系統(tǒng)下的屬性約等問題。接下來通過另一個(gè)例子來說明該方法的有效性。

例3設(shè)（F，E）是U上的不完備軟集，其中U＝{h1，h2，h3，h4，h5，h6，h7，h8}，條件參數(shù)集E＝｛e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8，e9，e10，e11，e12，e13，e14，e15｝，不完備軟集F，（E） 如表5所示。利用算法1給出所有對象的序關(guān)系。

觀察表5發(fā)現(xiàn)，e3、e13和e15的值全是0和1，所以這三個(gè)參數(shù)不會(huì)出現(xiàn)在任何集合的區(qū)分矩陣中，因此刪除這三個(gè)參數(shù)對最后的決策沒有任何影響，即這三個(gè)參數(shù)是不必要的，并且在建立的不完備軟區(qū)分矩陣表6中也沒有出現(xiàn)。故該方法不僅可以用于解決決策問題，還可以用于屬性約簡，這將在后期加以研究。

Table 5 Incomplete soft set in example 3表5 例3的不完備軟集

Table 6 Incomplete soft discernibility matrix of example 3表6 例3的不完備軟區(qū)分矩陣

4 結(jié)束語

基于已提出的軟區(qū)分矩陣在決策問題中的應(yīng)用，本文首先提出了不完備軟區(qū)分矩陣概念及其相關(guān)性質(zhì)，并給出了不完備軟區(qū)分矩陣的決策算法。最后通過實(shí)例表明，該算法僅需一次掃描不完備軟區(qū)分矩陣，便可得到所有對象的序關(guān)系，不僅可選擇出最優(yōu)對象也可得到次優(yōu)對象。在此基礎(chǔ)上，今后我們將通過實(shí)踐，進(jìn)一步研究不完備軟集在決策問題中的應(yīng)用以及將不完備軟區(qū)分矩陣用于屬性約簡。

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