含有控制時滯的多輸入離散系統的變結構控制*

鄧 臻,陳紅燕，高存臣

(1.青島工學院基礎教育學院,山東 青島 266300;2.中國海洋大學數學科學學院,山東 青島 266100)

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含有控制時滯的多輸入離散系統的變結構控制*

鄧 臻1,陳紅燕1，高存臣2

(1.青島工學院基礎教育學院,山東 青島 266300;2.中國海洋大學數學科學學院,山東 青島 266100)

給出了多輸入離散系統的基于時變衰減冪次趨近律的滑模變結構控制方法，并通過時滯變換將結果推廣到含有控制時滯的情形。首先選取具有適當增益矩陣的線性切換函數以保證系統在切換面上的理想準滑模運動方程的極點可任意配置。其次基于時變衰減冪次趨近律設計了準滑?？刂破?，該控制器能夠保證兩類離散系統的運動軌跡在有限時間內到達準滑模帶，然后要么直接轉入理想準滑模，要么在準滑模帶中以指數冪速率快速趨于理想準滑模，并使系統的運動軌跡能夠漸近趨于狀態空間的原點，而不再是原點附近某鄰域中出現穩定抖振。最后的仿真結果進一步表明了這種方法的有效性。

離散系統；變結構控制；多輸入；時滯；抖振

時滯的存在使離散系統的分析與綜合問題變得更加復雜和困難，時滯往往是系統不穩定和性能變差的根源[10-11]。相應地，時滯離散系統的變結構控制也是現實需要解決的難題。雖然可以通過擴維技術將時滯離散系統轉化為無時滯系統，但對時滯較大和/或維數較高的系統，擴維后其系統維數將按幾何規律增加，而且對測量和/或控制時滯的離散系統，擴維后狀態反饋控制律一般是物理不可實現的[12-14]。

本文首先將時變衰減冪次趨近律推廣到了多輸入離散系統，然后進一步研究了含有控制時滯的多輸入離散系統的變結構控制問題。首先，可適當選取增益矩陣使系統在線性切換面上的理想準滑模運動方程可任意配置極點，其次，設計的時變衰減冪次趨近律能夠保證兩類離散系統的運動軌跡在有限時間內到達系統的準滑模帶，并以指數冪次趨于切換面，從而最終趨于原點，而不再是原點附近的小的抖振。仿真結果表明了本文方法的有效性和優越性。

1 多輸入離散系統

考慮多輸入離散系統

(1)

其中:x(k)∈Rn；u(k)∈Rm分別是狀態向量和控制輸入向量，常數矩陣A∈Rn×n，B∈Rn×m。假設矩陣B列滿秩，且(AB)完全可控。

不失一般性，假設

(2)

其中:B1∈R(n-m)×m;B2∈Rm×m，則可選取可逆線性變換將系統(1)化為簡約形式[3]，故不妨假設系統(1)已經是如下簡約型

(3)

其中:x1(k)∈Rn-m；x2(k)∈Rm。

取線性切換函數

s(k)=Cx(k)=C1x1(k)+C2x2(k)

(4)

其中：C1∈Rm×(n-m)；C2∈Rm×m為待定增益矩陣，且det(C2)≠0。

從s(k)=0中解出x2(k)代入式(3)即得理想準滑模的運動方程

(5)

由于(AB)完全可控，故(A11A12)完全可控[3]，可以選擇適當的增益矩陣C=[C1C2]使理想準滑模具有任意配置的極點集。下面還需要設計滑模控制器，一方面保證系統(1)對任意的初始狀態其解序列能在有限時間內到達準滑模帶，另一方面保證準滑模帶(或切換帶)的寬度足夠小，且使非理想準滑模穩定。為下文需要，在此引入2個引理。

引理1[9]對于文獻[8]提出的衰減冪次趨近律

(6)

其中：00；0

(2)任意給定初始值s(0)≠0，有

(3)sgn(s(k+1))=sgn(s(k))當且僅當

引理2[9]對于單輸入離散系統，文獻[9]提出了時變衰減冪次趨近律

(7)

其中：0

由引理1和2知，衰減冪次趨近律(6)并不能保證切換函數s(k)趨于切換面，其極限狀態是出現穩態抖振，穩態抖振的范圍是[-Δ,Δ]，其中Δ=[εT/(2-qT)]1/1-a，而時變衰減冪次趨近律(7)則保證了抖振的振幅Δ以指數冪次趨于零。

針對多輸入離散系統(1)與(4)，提出如下的時變衰減冪次趨近律

(8)

或如下分量形式

(9)

其中常數T是采樣周期，0

q=diag(q1,q1,…,qm),

ε=diag(ε1,ε1,…,εm),

將時變衰減冪次趨近律(8)代入系統(1)或(3)，可得如下2種形式的滑模變結構控制器(兩者等價)

(10)

或

(11)

將控制律(11)代回系統(3)即得滑模趨近過程的運動差分方程

(12)

注意該方程在切換面S0:s(k)=0是沒有定義的。實際上，切換帶內的非理想準滑模運動控制方程也是(12)，但必須要求方程的定義范圍是切換帶

(13)

或彼此的交集區域。

由于方程(12)并不直觀，取可逆線性變換

(14)

則運動方程(12)可化成如下形式[3]

(15)

這正是所期待的結果形式。

對于運動差分方程(15)，由引理2知，狀態s(k)將于有限時間內到達切換帶，并以指數冪次趨于切換面S0。而若取s(k)=0，則式(15)中的第一式即為理想準滑模的運動方程，它具有任意配置的極點集。因此，易得如下結論。

引理3 多輸入離散系統(1)在線性切換函數(4)和時變衰減冪次趨近律(8)作用下，系統狀態將于有限時間內到達準滑模帶，并在其內以指數冪次趨于切換面(也即理想準滑模)。如果理想準滑模具有任意配置的極點集，那么系統狀態將最終收斂于原點，從而消除了系統的穩態抖振。

注1 由于文獻[1-3]中的離散指數趨近律和文獻[8]的衰減冪次趨近律，s(k)都存在穩態抖振，因此其設計的滑?？刂破髦荒鼙ＷC系統狀態穩定到原點附近某鄰域Ω0內的小穩態抖振而非原點本身，其中鄰域大小是

(16)

注2 可取a(k)=1-e-pk(p>0)或a(k)=1-1/k，顯然前者要優于后者，當然也可以選取其他形式。

2 含控制時滯的多輸入離散系統

考慮多輸入多控制時滯離散系統

(17)

(18)

下面設計系統(17)的準滑模變結構控制器。

首先作如下時滯變換

(19)

則系統(17)的第一式變為

y1(k+1)=

(20)

然后分別引入第q步時滯變換

yq(k)=

(21)

一系列變換推導后得

(22)

仍取線性滑動模切換函數

s(k)=Cym(k)

(23)

(24)

類似的方法可以得到如下定理。

定理 多輸入離散系統(17)在線性切換函數(23)和時變衰減冪次趨近律(8)作用下，系統狀態將于有限時間內到達準滑動模態帶，并在其內以指數冪次趨于切換面(也即理想準滑模)。如果理想準滑模具有任意配置的極點集，那么系統狀態將最終收斂于原點，從而消除了系統的穩態抖振。

3 仿真實例

考慮如下多輸入離散系統狀態方程

x(k+1)=Ax(k)+B1u(k-2)

(25)

引入時滯變換(19)式，則方程(25)變成

(26)

圖1(a) 本文方法的狀態軌線

圖1(b) 文獻[8]方法的狀態軌線

圖1(c) 文獻[2]方法的狀態軌線

圖2(a) 本文方法的切換函數

圖2(b) 文獻[8]方法的切換函數

圖2(c) 文獻[2]方法的切換函數

由圖1～2可以看出，文獻[2]和[8]兩種方法都存在穩態抖振。根據給定的算例參數可知，文獻[2]方法下切換帶s(k)的穩態抖振的范圍是[-0.5 0.5]，文獻[8]方法下切換帶s(k)的穩態抖振的范圍是[-0.25 0.25]，文獻[8]改進了文獻[2]的趨近律，使穩態抖振有所減小，但并沒有消除穩態抖振。而本文方法下并不存在穩態抖振，抖振快速衰減并最終趨于零。因此，仿真結果表明本文方法是優越的。

4 結語

本文基于時變衰減冪次趨近律，研究了多輸入離散系統的變結構控制策略，通過時滯變換，將結果進一步推廣到了含有控制時滯的情形。時變衰減冪次趨近律導出的滑?？刂破髂軌虮ＷC系統狀態最終收斂到原點，而不再是原點鄰域中的某個穩態抖振。仿真結果表明了本文方法是有效的。本文方法還可以進一步推廣到其他形式的離散系統，如離散廣義系統等，具體結果尚待進一步研究。

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責任編輯 陳呈超

Variable Structure Control for Multi-Input Discrete Systems with Time-Delay in Control

DENG Zhen1, CHEN Hong-Yan1, GAO Cun-Chen2

(1. School of General Education, Qingdao University of Technology, Qingdao 266300, China; 2. College of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

The design method of variable structure control for multi-input discrete systems based on the time-varying attenuating power reaching law is proposed. This method is also extended to discrete systems with time-delay in control by a time-delay sate transform. Firstly, the gain matrix of linear switching function is chosen properly in order to assure that the poles of ideal quasi-sliding mode equation in quasi-switching manifold can be designed arbitrarily. Secondly, the quasi-sliding mode controller based on the time-varying attenuating power reaching law can ensure that the state trajectory of multi-input discrete systems with/without time-delay in control reaches a small neighborhood of quasi-switching manifold, and then the trajectory either arrives at the quasi-switching manifold in a next step or converges to the quasi-switching manifold quickly in a power exponential rate, the system state trajectory is guaranteed to converge into the origin of state space, not a stable chatting any more. Fainally a numerical simulation results demonstrate the proposed method is feasible and effective.

discrete system; variable structure control; multi-input; time-delay; chattering

國家自然科學基金項目(60974025)；青島工學院2014年董事長基金項目(2014JY002)資助

2013-06-20；

2014-10-10

鄧 臻(1977-)，女，講師。E-mail: dzh_52@163.com

TP273

A

1672-5174(2015)04-130-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20130269