隨機(jī)變量非正態(tài)分布且相關(guān)的機(jī)械零件單模失效可靠度分析

劉華漢，蔣 瑋，楊光輝，呂海霆

（大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

機(jī)械產(chǎn)品的可靠性設(shè)計(jì)不同于電子產(chǎn)品可靠性設(shè)計(jì).對(duì)機(jī)械系統(tǒng)來(lái)說(shuō)有3種不同形式的相關(guān)性問(wèn)題：一是考慮引起零件單模失效的隨機(jī)變量相關(guān)性問(wèn)題，二是考慮零件失效模式之間相關(guān)性問(wèn)題，三是機(jī)械系統(tǒng)零件間的相關(guān)性問(wèn)題.而對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)中單個(gè)零件的可靠度分析，應(yīng)充分考慮上述前兩種相關(guān)性問(wèn)題.目前的研究工作集中在零件失效模式間相關(guān)性問(wèn)題及機(jī)械零件（單模失效）間的相關(guān)性問(wèn)題［1－10］的研究方面，而對(duì)于機(jī)械零件隨機(jī)變量相關(guān)的單模失效問(wèn)題的研究鮮有報(bào)道.

機(jī)械零件可靠度計(jì)算的基本理論為應(yīng)力－強(qiáng)度干涉理論（又稱(chēng)為應(yīng)力－強(qiáng)度相干模型），在以往的文獻(xiàn)中，此理論都是在應(yīng)力和強(qiáng)度完全獨(dú)立的情況下導(dǎo)出的，但實(shí)際上并不是所有的零件可靠性問(wèn)題中的應(yīng)力和強(qiáng)度完全獨(dú)立，例如軸系零件設(shè)計(jì)變量的荷載、強(qiáng)度等因素之間存在程度不同的相關(guān)性［11］.同時(shí)，在需要考慮構(gòu)件的自重時(shí)，構(gòu)件的應(yīng)力和強(qiáng)度之間也存在相關(guān)性［12］.喻天翔等［13］通過(guò)非線性變換，建立了僅考慮應(yīng)力、強(qiáng)度兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)時(shí)的零件單模失效可靠度模型，并探討了相關(guān)系數(shù)對(duì)零件單模可靠度的影響及相對(duì)誤差，但假設(shè)隨機(jī)變量的分布都為正態(tài)分布且只考慮應(yīng)力、強(qiáng)度兩個(gè)變量相關(guān).

引起機(jī)械零件廣義應(yīng)力與強(qiáng)度隨機(jī)性的因素主要有材料、加工、制造、安裝、荷載等，如同種材料性能分布的不均勻、制造精度誤差.正是由于這些參數(shù)的隨機(jī)性才有了可靠度的概念.要想得到這些因素的實(shí)際隨機(jī)性參數(shù)是比較困難的，因此在理論分析中常常假設(shè)這些因素服從常見(jiàn)的分布，如正態(tài)分布、威布爾分布、指數(shù)分布等.現(xiàn)有的大多數(shù)文獻(xiàn)中假設(shè)隨機(jī)參數(shù)服從正態(tài)分布，但很多情況下并非如此.這時(shí)就需要探求隨機(jī)變量因素服從其他分布時(shí)的可靠度計(jì)算公式，探求將非正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布的方法，利用正態(tài)分布運(yùn)算的成熟的計(jì)算技術(shù)來(lái)求得零件可靠度.

本文針對(duì)引起機(jī)械零件單模失效的隨機(jī)變量為不相關(guān)正態(tài)隨機(jī)變量、相關(guān)正態(tài)隨機(jī)變量、不相關(guān)非正態(tài)隨機(jī)變量、相關(guān)非正態(tài)隨機(jī)變量4種情況，借鑒結(jié)構(gòu)可靠性求解理論，尋求建立機(jī)械零件單模失效可靠度求解模型的統(tǒng)一方法.主要是建立相關(guān)非正態(tài)隨機(jī)變量的可靠度求解理論模型.不相關(guān)正態(tài)隨機(jī)變量的可靠度理論是求解其他3種情況的基礎(chǔ).最后，通過(guò)齒輪傳動(dòng)的實(shí)例說(shuō)明本文所提方法的有效性.

1 零件單模失效可靠度求解統(tǒng)一模型建立

全面考慮引起機(jī)械零件單模失效的各個(gè)因素：隨機(jī)變量是否服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量之間是否具有相關(guān)性，隨機(jī)變量之間是否為線性關(guān)系.機(jī)械零件單模失效可靠度求解統(tǒng)一模型框圖如圖1所示.設(shè)零件單模失效的極限狀態(tài)方程為M＝G（X），其中X＝（X1X2…Xn）T為隨機(jī)變量，它們共同影響失效狀態(tài)函數(shù)中的應(yīng)力強(qiáng)度.這些隨機(jī)變量中可能含有非正態(tài)隨機(jī)變量，各個(gè)隨機(jī)變量之間可能存在相關(guān)性.下面將對(duì)統(tǒng)一模型由簡(jiǎn)單到復(fù)雜展開(kāi)說(shuō)明.

圖1 機(jī)械零件單模失效可靠度模型Fig.1 Single failure mode reliability model of the mechanical components

1.1 隨機(jī)變量正態(tài)分布不相關(guān)時(shí)零件單模可靠度求解理論

此為求解零件可靠度最簡(jiǎn)單也是基礎(chǔ)的模型，如圖1中Ⅰ框所示，計(jì)算步驟如下：

步驟1 正態(tài)隨機(jī)變量正則化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量.

假設(shè)影響極限狀態(tài)方程的隨機(jī)變量為Y＝（Y1Y2…Yn）T，極限狀態(tài)方程為

其中Yi～N（μi，σ2i），各隨機(jī)變量不相關(guān)，通過(guò)式（2）正則化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Z＝（Z1Z2…Zn）T，則極限狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為式（3）的形式：

步驟2 零件單模可靠度的求解.

將極限狀態(tài)方程（1）以正則化后的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量表示為式（3），則式（3）分為兩種情況：隨機(jī)變量Zi的線性組合或非線性組合，下面分別表述：

（1）若極限狀態(tài)方程（3）為n維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Zi的線性組合：

可靠度指數(shù)

可靠度

（2）若極限狀態(tài)方程（3）為非線性組合，則可采用兩種方法求解.

①一 次 二 階 矩（first－order second－moment，F(xiàn)OSM）法［17］.

將式（3）在平均值處一階泰勒展開(kāi)，僅保留一階項(xiàng)：

則

零件單模可靠度可由式（5）、（6）求得.

②改進(jìn)的一次二階矩（advanced first－order second－moment，AFOSM）法［18］.

通過(guò)求解式（9）得到可靠度指數(shù)β，代入式（6）求得可靠度.對(duì)于式（9）的求解可以采用Lagrange乘子迭代法導(dǎo)出的公式進(jìn)行迭代計(jì)算，將在2.1中詳細(xì)介紹.

1.2 隨機(jī)變量正態(tài)分布相關(guān)時(shí)零件單模可靠度求解理論

假設(shè)影響極限狀態(tài)方程的隨機(jī)變量為X＊＝（X＊1X＊2…X＊n）T，極限狀態(tài)方程為

步驟1 正態(tài)隨機(jī)變量正則化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量.

按照式（2）、（3）的形式將相關(guān)的非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量X＊＝（X＊1X＊2…X＊n）T正則化為相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Y＊＝（Y＊1Y＊2…Y＊n）T，然后根據(jù)下述步驟2、步驟3進(jìn)行零件單模可靠度的求解.

步驟2 相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為不相關(guān)的正態(tài)隨機(jī)變量.

將相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Y＊＝（Y＊1Y＊2…Y＊n）T線性變換為不相關(guān)的正態(tài)隨機(jī)變量Y＝（Y1Y2…Yn）T，Yi～N（μi，σi2）.

變換過(guò)程如下：

設(shè)隨機(jī)變量Y＊＝（Y＊1Y＊2…Y＊n）T的協(xié)方差矩陣為

由線性代數(shù)理論可知，矩陣CY＊ 可通過(guò)式（12）線性變換成對(duì)角矩陣：

其中A是一個(gè)正交矩陣，它的列向量等于矩陣CY＊ 的特征向量，對(duì)角矩陣CY由式（13）計(jì)算：

對(duì)角矩陣CY的對(duì)角元素σ2Yi等于矩陣CY＊ 的第i個(gè)特征值.由式（12）可得互不相關(guān)的正態(tài)隨機(jī)變量Y＝（Y1Y2…Yn）T.

步驟3 變量正態(tài)分布相關(guān)時(shí)零件單模可靠度求解.

經(jīng)過(guò)步驟1、步驟2所述方法變換后，可靠度的求解轉(zhuǎn)化為1.1中討論的問(wèn)題，按照1.1中提供的方法就可以得到考慮隨機(jī)變量正態(tài)分布且相關(guān)時(shí)的零件單模失效下的可靠度.

1.3 含有非正態(tài)隨機(jī)變量且相關(guān)時(shí)零件單模可靠度求解理論

研究發(fā)現(xiàn)，自然界中大多數(shù)的物理量在經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的統(tǒng)計(jì)分析后都近似服從正態(tài)分布，因此有關(guān)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)、特征、數(shù)字特征等研究也最多，發(fā)展了許多可用的結(jié)論及大量的可供參考查閱的數(shù)據(jù).基于此現(xiàn)行對(duì)于由高維極限狀態(tài)函數(shù)表示的可靠度關(guān)系式的求解都是以各隨機(jī)變量服從正態(tài)分布為前提下得出的.然而面對(duì)多維極限狀態(tài)函數(shù)中含有非正態(tài)隨機(jī)變量的情形，只有將非正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為正態(tài)隨機(jī)變量，才能利用現(xiàn)有成熟的、計(jì)算精度高的可靠度理論進(jìn)行機(jī)械零件可靠度的求解，本節(jié)將對(duì)隨機(jī)變量中含有非正態(tài)隨機(jī)變量的情形進(jìn)行研究.

假設(shè)機(jī)械零件單模失效的極限狀態(tài)方程為

其中X＝（X1X2…Xn）T，為影響應(yīng)力、強(qiáng)度分布的隨機(jī)變量，X中含有非正態(tài)隨機(jī)變量且各隨機(jī)變量之間具有相關(guān)性.此種情況下機(jī)械零件單模失效可靠度求解步驟如下：

步驟1 將X中的非正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為正態(tài)隨機(jī)變量.

（1）Rosenblatt變換（Rosenblatt transformation，RT）［14］

Rosenblatt證明：任意非正態(tài)隨機(jī)變量X，理論上都可以通過(guò)Rosenblatt變換轉(zhuǎn)化為線性無(wú)關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Z.但這種變換具有局限性，需要知道n維隨機(jī)變量X的聯(lián)合累積分布函數(shù)，具體變換形式如下：

設(shè)n維隨機(jī)變量X的聯(lián)合累積分布函數(shù)為FX（X），則n維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)線性無(wú)關(guān)隨機(jī)變量Z可以通過(guò)式（15）得到：

按順序反求式（15）中的方程，可以得到n維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)線性無(wú)關(guān)隨機(jī)變量Z：

式（16）中的條件概率密度函數(shù)通過(guò)聯(lián)合概率密度函數(shù)按式（17）、（18）求得：

同理可通過(guò)逆變換按順序反求式（16）得到X＝（X1X2…Xn）T.由式（16）變換求得不相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Z＝（Z1Z2…Zn）T.

（2）R－F變換［15］

設(shè)Xi為臨界破壞面上的特定點(diǎn)，通過(guò)令原始分布FXi（Xi）和當(dāng)量正態(tài)分布在特定點(diǎn)Xi處具有相等的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)，則可求得當(dāng)量正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

由式（19）得

變換得到正態(tài)隨機(jī)變量X＊＝ （X＊1X＊2…X＊n）T.

步驟2 含有非正態(tài)隨機(jī)變量且相關(guān)時(shí)零件單模可靠度求解.

利用Rosenblatt變換方法進(jìn)行非正態(tài)隨機(jī)變量的正態(tài)化時(shí)，必須利用隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，這一點(diǎn)在實(shí)際中較難實(shí)現(xiàn)；但經(jīng)過(guò)此種變換后，含有非正態(tài)隨機(jī)變量且相關(guān)的隨機(jī)變量經(jīng)轉(zhuǎn)換后直接轉(zhuǎn)化為不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，此時(shí)利用1.1中所述的方法就可以快速地求出其可靠度.

R－F變換方法簡(jiǎn)單，較容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，并不需要聯(lián)合概率密度函數(shù).將非正態(tài)隨機(jī)變量正則化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Y＊＝ （Y＊1Y＊2…Y＊n）T；然后按照1.2中所述方法將相關(guān)正則化正態(tài)隨機(jī)變量Y＊＝ （Y＊1Y＊2…Y＊n）T線性變換為不相關(guān)正態(tài)隨機(jī)變量Y＝ （Y1Y2…Yn）T；最后按照1.1中所述方法求解得到考慮隨機(jī)變量為非正態(tài)分布且相關(guān)時(shí)機(jī)械零件單模可靠度值.

2 機(jī)械零件單模失效可靠度求解算法

本章將根據(jù)第1章介紹的機(jī)械零件單模失效可靠度求解統(tǒng)一模型理論探討可靠度求解的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)算法，機(jī)械零件單模極限狀態(tài)方程為式（14）描述的n維方程，含有非正態(tài)隨機(jī)變量，且各隨機(jī)變量之間存在相關(guān)性.算法中非正態(tài)隨機(jī)變量利用R－F變換方法正則化為正態(tài)隨機(jī)變量；可靠度指數(shù)β的求解采用H－L 方法，利用Lagrange乘子迭代法導(dǎo)出的公式進(jìn)行迭代計(jì)算.

2.1 Lagrange乘子迭代法推導(dǎo)

Lagrange乘子迭代法詳細(xì)敘述如下：

設(shè)

求L的極小值得

令

則式（23）可表示為

因此

所以

則

將式（28）代入式（26）得

將式（29）代入式（21）得

采用數(shù)值方法可以計(jì)算出

則式（24）、（29）、（30）即可組成Lagrange乘子迭代法計(jì)算的迭代公式.

2.2 機(jī)械零件單模可靠度求解算法

假設(shè)影響零件單模可靠度的非正態(tài)隨機(jī)變量為X＝（X1X2…Xn）T，由以上敘述得到可靠度求解算法的完整步驟如下：

步驟1 設(shè)置初始點(diǎn)x＝（x1x2…xn）T.

步驟2 在設(shè)計(jì)點(diǎn)x＝（x1x2…xn）T處利用式（19）、（20）進(jìn)行R－F 變換，得到，將非正態(tài)隨機(jī)變量在xi處轉(zhuǎn)換為正態(tài)隨機(jī)變量x＊i.

步驟4 對(duì)相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量y＊＝（y＊1y＊2…y＊n）T按照式（11）～（13）線性變換為互不相關(guān)的正態(tài)隨機(jī)變量y＝ （y1y2…yn）T.

步驟5 將y＝（y1y2…yn）T由式（2）正則化為互不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量z＝（z1z2…zn）T，形成臨界破壞面g（z）＝0.

步驟6 在z處計(jì)算

步驟7 將zT＝βηα代入g（z）＝0并解得β＝β＋min.

步驟8 采用步驟7計(jì)算得到的β重新計(jì)算zT＝βηα.

重復(fù)步驟6～8直到計(jì)算結(jié)果收斂（以z穩(wěn)定作為收斂指標(biāo)）.

步驟12 由式（5）求得可靠度指數(shù)，式（6）求得機(jī)械零件單模失效可靠度.

3 算 例

本文以某1.6 MW 風(fēng)力發(fā)電機(jī)平行級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)風(fēng)機(jī)齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)受力分析得到直齒圓柱齒輪傳動(dòng)各項(xiàng)參數(shù)：齒輪材料及熱處理為17CrNiMo6低碳合金鋼、滲碳淬火，小齒輪轉(zhuǎn)矩T1＝2.542 8×107N·mm，小齒輪轉(zhuǎn)速n1＝1 600r／min，齒數(shù)Z1＝19，Z2＝94，齒輪模數(shù)m＝12mm，齒寬系數(shù)φd＝0.4，重合度εa＝1.36，齒輪精度7 級(jí)，表面粗糙度Ra＝3.2，使用壽命為20a，高速、輕微振動(dòng).本文僅針對(duì)齒輪傳動(dòng)的齒面接觸疲勞可靠性進(jìn)行分析.

按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的方法計(jì)算或查線圖得到與齒面接觸疲勞可靠性相關(guān)各參量的均值［19］和文獻(xiàn)［20］中給出的方法估算原則得到各參量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如下：Ft＝（81 785.964 9，4 089.298 2）N，d1＝（228，1.14）mm，b＝（91.2，0.456）mm，KV＝（1.323，0.145 5），KHβ＝（1.348 4，0.044 5），KHα＝（1.225 4，0.040 4），ZV＝（0.949 2，0.031 3），KA＝（1.5，0.049 5），σHlim＝（1 450，174）MPa，ZN＝（1，0.033），ZL＝（1，0.033），ZR＝（2.783 6，0.091 9），ZW＝（1，0.005），ZX＝（0.958，0.004 8），ZH＝（2.494 6，0.012 473），ZE＝（189.8，0.949）定義極限狀態(tài)方程為

以上各參數(shù)的含義及應(yīng)力σH、強(qiáng)度σ′Hlim的計(jì)算式參考國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB 3480—1997.下面分3 種情況對(duì)該齒輪傳動(dòng)的可靠度進(jìn)行求解.

（1）假設(shè)各隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，其均值和方差如前所述，各隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立，此種情況下根據(jù)文獻(xiàn)［21］提供的方法計(jì)算得到可靠度指標(biāo)β＝1.374 112，R＝0.915 330 5.

（2）假設(shè)各隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，相關(guān)隨機(jī)變量之間的相關(guān)性以齒面接觸疲勞應(yīng)力－強(qiáng)度干涉理論中應(yīng)力σH與強(qiáng)度σ′Hlim之間的相關(guān)性代替，相關(guān)系數(shù)為ρ.由文獻(xiàn)［21］方法得到該齒輪傳動(dòng)的齒面接觸疲勞應(yīng)力S為σH～N（2 887.905 4，205.214 62），齒面接觸疲勞強(qiáng)度δ為σ′Hlim～N（3 670.270 5，531.088 12），則得到可靠度指標(biāo)

當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ在區(qū)間［－1，1］內(nèi)變化，得到可靠度指數(shù)β、可靠度R隨ρ變化曲線如圖2所示.

圖2 ρ－β、ρ－R 曲線Fig.2 ρ－β，ρ－Rcurves

由圖2可知，在相關(guān)系數(shù)ρ從－1 增大到1（即應(yīng)力、強(qiáng)度相互獨(dú)立到應(yīng)力、強(qiáng)度完全相關(guān)）時(shí)，可靠度指數(shù)β從1.063 1增大到2.400 8，相應(yīng)的可靠度R從0.856 010增大到0.991 802，可靠度R的相對(duì)變化率為15.86%，變化較大.此時(shí)若忽略應(yīng)力、強(qiáng)度之間的相關(guān)性將會(huì)產(chǎn)生兩種結(jié)果：若實(shí)際為正相關(guān)，此時(shí)利用獨(dú)立假設(shè)理論就會(huì)低估系統(tǒng)本身可靠性，通過(guò)改變?cè)O(shè)計(jì)來(lái)提高其可靠度時(shí)設(shè)計(jì)成本增高，造成不必要的浪費(fèi)；若實(shí)際為負(fù)相關(guān)，則高估了系統(tǒng)的可靠性，按照此可靠性設(shè)計(jì)的產(chǎn)品，因過(guò)早的失效破壞而達(dá)不到設(shè)計(jì)要求.

以簡(jiǎn)單的應(yīng)力、強(qiáng)度雙變量相關(guān)的模型為基礎(chǔ)，分析相關(guān)系數(shù)對(duì)不同零件單模可靠度的影響.以應(yīng)力、強(qiáng)度相互獨(dú)立時(shí)可靠度為基準(zhǔn)，求解可靠度隨相關(guān)系數(shù)在［0，1］內(nèi)的變化曲線，通過(guò)對(duì)多種具有不同基準(zhǔn)可靠度的機(jī)械零件ρ－R曲線分析知，基準(zhǔn)可靠度越小，考慮與不考慮相關(guān)系數(shù)時(shí)的可靠度差別越大.因此可以得出結(jié)論，當(dāng)在假設(shè)變量相互獨(dú)立情況下求得的可靠度較大時(shí)（如0.999），變量之間的相關(guān)性可以忽略，以它們相互獨(dú)立求得可靠度，這樣不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算，還不會(huì)影響機(jī)械零件可靠性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)的精度.

（3）假設(shè)各隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，通過(guò)分析國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB 3480—1997 中各隨機(jī)參數(shù)的計(jì)算知某些隨機(jī)變量之間具有相關(guān)性：Ft、KV、KHα、KHβ、ZV、b與d1具有相關(guān)性；KHβ與b具有相關(guān)性.

定義可靠度極限狀態(tài)方程中各隨機(jī)變量為

根據(jù)各隨機(jī)變量計(jì)算式設(shè)定相關(guān)隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)為

假設(shè)相關(guān)隨機(jī)變量線性變換為非相關(guān)變量后的隨機(jī)變量為z＝（z1z2…zn）T，利用本文介紹的求解算法求解此種情況下的可靠度，設(shè)初始值為z＝（1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1）T，以前后兩次迭代z向量之間的距離作為收斂判據(jù)：經(jīng)過(guò)3次迭代后可靠度指數(shù)β穩(wěn)定在4.216 7，并且經(jīng)過(guò)6次迭代后距離L達(dá)到7.637 1×10－5.所以求得的可靠度為R＝Φ（4.216 7）＝0.999 987 6.

（4）假設(shè)隨機(jī)變量Ft、KV、KHα、KHβ、ZV、b、d1服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，7個(gè)變量間的相關(guān)性情況與（3）中所述相同；其他隨機(jī)變量服從正態(tài)分布；所有隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差同上.利用本文介紹的求解算法，求解此種情況下的可靠度.外層經(jīng)5次循環(huán)，內(nèi)層循環(huán)分別為63、65、67、68、69次時(shí)，可靠度指數(shù)β穩(wěn)定在4.202 1，此時(shí)精度為1×10－6.所以求得的可靠度為R＝Φ（4.202 1）＝0.999 987 2.

由以上討論可知，本文介紹的變量相關(guān)的機(jī)械零件單模可靠度求解算法是可行的，且具有較高的收斂速度，對(duì)于復(fù)雜的變量相關(guān)的可靠度的求解具有重要的應(yīng)用價(jià)值.另外，從考慮各個(gè)變量之間的相關(guān)性與將只考慮廣義應(yīng)力、強(qiáng)度之間單相關(guān)性求得的可靠度可以看出，差別很大，因此在求解變量相關(guān)可靠度時(shí)，為使求得的可靠度比較精確，應(yīng)盡量將各個(gè)相關(guān)變量的相關(guān)性做單獨(dú)處理，不要將其等效為應(yīng)力、強(qiáng)度之間的相關(guān)性.

4 結(jié) 論

（1）本文以系統(tǒng)中機(jī)械零件的單模失效為研究對(duì)象，通過(guò)探討影響單模失效極限狀態(tài)方程的隨機(jī)變量的不同特征：是否含有非正態(tài)隨機(jī)變量、隨機(jī)變量間是否相關(guān)，建立了考慮含有非正態(tài)隨機(jī)變量和隨機(jī)變量具有相關(guān)性時(shí)的機(jī)械零件單模失效下可靠度求解的統(tǒng)一模型，并對(duì)統(tǒng)一模型求解的理論進(jìn)行了詳細(xì)的論述.

（2）基于所建立的機(jī)械零件單模失效下的可靠度求解統(tǒng)一模型，提出了高效的計(jì)算機(jī)求解算法.

（3）通過(guò)算例說(shuō)明了隨機(jī)變量之間的相關(guān)性對(duì)零件單模失效可靠度的影響，表明在零件單模失效求解中忽略隨機(jī)變量的相關(guān)性將會(huì)帶來(lái)較大的誤差.通過(guò)分析得到，當(dāng)基準(zhǔn)可靠度較大時(shí)（如0.999 9），變量之間的相關(guān)性可以忽略，這樣在不影響優(yōu)化設(shè)計(jì)精度的前提下簡(jiǎn)化了可靠度的計(jì)算.

（4）本文提出的理論為含有非正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)零件單模失效下可靠度的求解提供了一個(gè)很好的方法.實(shí)例證明，所提出的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)算法收斂速度快，具有很強(qiáng)的實(shí)用性.

本文所建立的機(jī)械零件單模失效下可靠度求解模型可應(yīng)用于機(jī)械零件任意一種失效模式下的可靠度求解，如熱疲勞、磨損、溫度失效等，這對(duì)機(jī)械零件考慮多模失效下可靠度理論的發(fā)展也具有指導(dǎo)作用.

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