基于向量式有限元的超高韌性水泥基復合材料疊合剪力墻非線性分析

劉 松 章紅梅 師振華

(同濟大學結構工程與防災研究所，上海200092)

1 引言

普通混凝土材料，即普通混凝土材料具有良好的抗壓強度，但其抗拉強度相對較弱，一旦混凝土受拉開裂，其內部鋼筋易腐蝕，致使其鋼筋混凝土構件性能下降甚至完全失效。為改善混凝土性能，超高韌性水泥基復合材料應運而生。超高韌性水泥基復合材料(UltraHighToughness Cementitious Composites)是當前發展起來的一種復合混凝土材料，其通過添加短纖維增強材料受拉特性，具有顯著的應變硬化特征，開裂時裂縫多且細密，極限拉應變可穩定地達到3%以上［1－2］。超高韌性水泥基復合材料最早由密歇根大學的Victor Lee教授和麻省理工學院的Leung教授基于微觀力學與斷裂力學原理，提出材料的基本設計理念［3］。經過不斷發展，超高韌性水泥基復合材料已經具有優良的抗拉性能、較高的應變硬化及多裂縫開裂能力。

剪力墻是一種抗震性能優良的結構構件，但普通混凝土由于受拉強度低，其邊緣混凝土在結構遭受強風或地震作用下容易拉裂、壓潰，使得剪力墻構件也往往因為邊緣混凝土的退出工作而導致整體構件的失效或難于修復。采用超高韌性混凝土材料替換剪力墻邊緣普通混凝土材料［4］，充分利用超高韌性混凝土抗拉強度高、裂縫分散等特點，可望使剪力墻獲得更高的抗震性能。

向量式力學是一門依托計算機技術而發展起來的計算科學的理論，它提供了一套關于結構分析簡潔明晰的系統理論模式，適合于分析結構的大變形和強非線性行為［5］。本文將基于新型非線性分析有限元理論——向量式有限元，開發新型板單元進行超高韌性混凝土邊緣構件剪力墻的強非線性模擬，從而了解超高韌性混凝土疊合剪力墻的非線性行為和抗震性能。

2 向量式有限元板單元相關概念

2．1 向量式有限元簡介

向量式有限元也稱有限質點法，將結構離散成有限個質點，利用牛頓第二定律建立控制方程，引入傳統有限元中單元的概念，描述質點系的相互作用。向量式有限元有三個核心新概念，即點值描述、途徑單元、虛擬的逆向運動［6－7］。

1)點值描述

在空間上，將結構看成質點系，質點之間采用單元連接，構件的連接可設置連接單元。單元沒有質量，用來描述質點之間的相互作用力，質點受到它周圍單元所施加內力，單元內力集成到節點上，即為節點內力，節點(質點)在內外力作用下的運動滿足牛頓力學第二定律，即

式中，M為質量矩陣;Pext表示外力;Pint表示內力。

2)途徑單元

將整個運動過程劃分為一系列足夠短的時間片段，稱之為途徑單元，在一個途徑單元內，單元既有剛體運動，也有變形，且運動連續。通過控制途徑單元的大小，可以控制變形為小變形，使得傳統基于小變形假設的理論能夠適用。運動的不連續僅發生在途徑單元之間(即途徑單元首末時刻)，而且結構組合和單元特性均可在途徑單元首末時刻改變。

3)虛擬的逆向運動

采用虛擬的逆向運動，以消除單元剛體位移，獲得單元的純變形，用公式表示，即

式中，Δui是節點在ta－tb時段內的位移;ΔuA是參考點在ta－tb內的位移。

向量式有限元對不同的結構形式，包括平面及三維的桁架、鋼架、固體和板殼等，以及復雜的力學行為，包括大變形、空間運動、材料性質的變化、斷裂和坍塌等，都可以用相同的概念和程序來處理。

2．2 向量式有限元二維板單元開發介紹

向量式有限元板單元的內力計算過程和傳統有限元板單元有一些區別，其內力計算過程如下所示［8－10］:

第一步是計算一個途徑單元內單元的純變形，通過剛體逆向平動與轉動，獲取單元的近似純變形，如圖1所示，單元在 tn到tn+1時刻的純變形為

其中，I是單位對角矩陣，轉動矩陣R為

為了提高計算效率，向量式有限元引入新的坐標系——變形坐標，新的坐標系的選取有很多種方法，本文變形坐標系取單元節點1為坐標原點，并令X軸平行于節點2的位移向量。在變形坐標系中，單元節點坐標與節點位移為

圖1 單元逆向轉動［10］Fig．1 Virtual reverse rotation of element［10］

由有限元理論可知單元應變與節點位移間的關系:

其中，

最后，單元節點力采用虛功原理計算獲得

圖2 變形坐標［10］Fig．2 Deformation coordinate［10］

3 板單元程序計算流程圖

二維板單元程序計算流程圖如圖3所示。

圖3 計算流程圖Fig．3 The calculation flow chart

程序包含兩個主要部分:前處理和計算求解。前處理包括模型參數信息讀入和必要的參數設置，求解部分包括求解和結果輸出。必要的參數主要包括時間參數的設定和初始條件的設定。求解部分由兩層循環構成，最外層是按時間步循環，第二層循環包含兩類循環和一個輸入:點值循環、單元循環和外荷載輸入。點循環先調用內力子程序和外力子程序獲得tn時刻內、外力信息，然后利用tn時刻節點位置信息計算tn+1時刻節點位置坐標。單元循環利用點循環計算出的tn和tn+1時刻節點位置坐標，通過虛擬的逆向運動計算單元純變形，再利用有限元理論和虛功原理計算單元應力應變及單元節點內力，然后將單元節點內力集成到與其相連的質點上，并把結果返回給點循環，為點循環提供計算質點下一時刻位置的內力值。在單元循環中，每一次都要對單元做判斷，如判斷單元是否進入塑形，是否發生失效等，然后進行相關處理，在下一次進行單元循環時必須采用更新后的單元狀態。判定單元性質變化是一個難點，此過程涉及單元失效準則的選取，以及失效后如何處理，因此需要后續的開發。外荷載的輸入由外力子程序完成，可以輸入隨時間變化的外力值。

程序設計中有兩點需要注意:一是局部坐標系的選擇，局部坐標系既要能減少單元自由度，同時又要避免出現特殊狀態致使計算不能進行，處理好局部坐標系的選擇會大大增加計算的穩定性;另一個要注意的問題是本構關系的選取，因為內力是以增量的形式不斷累積的，所以材料的彈性模量要取切線模量。

向量式有限元是基于動力學的思想來分析結構行為，計算靜力及擬靜力模型時，為縮短計算時間，可采用按比例增大質點質量的方法或者增大阻尼，此方法可極大地減少計算時間，同時不影響結果的準確性。在計算動力模型上，向量式有限元的分析過程更加符合真實結構的行為過程，同時避免了求解結構剛度矩陣。

4 超高韌性水泥基復合材料剪力墻非線性分析

為了解超高韌性鋼筋混凝土剪力墻的抗震性能，本文選取同濟大學國家重點實驗室2006年進行的剪力墻變參數低周反復試驗中兩片典型剪力墻進行建模計算，并比較分析了邊緣采用超高韌性混凝土材料和普通混凝土材料鋼筋混凝土剪力墻的抗震性能差異。基于剪力墻低周反復試驗的力－位移骨架曲線與其推覆的力－位移曲線基本一致［11］的研究結論，為簡化計算，本測試中用推覆分析的方法對該試驗模型進行對比分析。

4．1 鋼筋混凝土剪力墻試驗參數與UHTCC剪力墻設計參數

1)鋼筋混凝土剪力墻試驗參數

兩片鋼筋混凝土剪力墻尺寸相同，為1 000 mm×2 000 mm×125 mm，編號分別為SW6－3和SW1－1。剪力墻上下端設置有頂梁和底梁，頂梁用作加載梁，底梁用以固定試件。剪力墻內鋼筋伸入頂梁和底梁內，且梁與墻整體澆筑，以保證剪力墻試件和頂梁底梁的有效連接。SW6－3剪力墻所用混凝土設計為C40，SW1－1剪力墻所用混凝土為C30。剪力墻配筋圖如圖4所示。

圖4 剪力墻配筋詳圖(單位:mm)Fig．4 Reinforcement details of shear walls(Unit:mm)

表1列出了兩片剪力墻詳細試驗參數。試驗測得C30與C40混凝土100×100×300棱柱體抗壓強度分別是 20．70 MPa 和 30．80 MPa［12－13］。

表1 試件試驗參數Table 1 Experimental parameters of specimens

2)UHTCC剪力墻設計參數

本文中UHTCC剪力墻采用與普通鋼筋混凝土剪力墻完全尺寸大小及配筋完全一致的設計方案，配筋詳圖可參看圖5。UHTCC剪力墻只將原剪力墻箍筋約束區普通混凝土材料替換成超高韌性水泥基復合材料，其余均不改變，表2給出了UHTCC剪力墻試件的具體設計參數，其中混凝土軸心抗壓強度是普通混凝土的取值，具體UHTCC強度的取值參考本構關系模型部分。

表2 UHTCC試件設計參數Table 2 Design parameters of UHTCC specimens

4．2 模型建立

4．2．1 剪力墻有限元模型

1)普通剪力墻有限元模型

普通剪力墻有限元模型示意圖如圖5所示，剪力墻有限元模型總共包含353個節點、306個四邊形二維實體單元以及466個link單元。因剪力墻兩側邊緣設置有箍筋，因此圖中黑色加深部分采用約束混凝土模擬，其余部分為普通混凝土材料，邊緣縱筋及箍筋按照實際情況采用桿單元建模，混凝土單元與鋼筋單元之間采用共節點方式連接，未考慮鋼筋與混凝土的粘結滑移。

圖5 普通剪力墻模型示意圖Fig．5 Sketch of RC wall model

2)UHTCC剪力墻有限元模型

如圖6所示，UHTCC剪力墻除邊緣箍筋約束區內采用UHTCC替代原普通混凝土材料外，其余模型信息與原普通剪力墻模型完全一致。

圖6 UHTCC剪力墻模型示意圖Fig．6 Sketch of UHTCC wall model

3)ABAQUS剪力墻有限元模型

ABAQUS中剪力墻有限元模型，采用實體單元C3D8R模擬混凝土及UHTCC，混凝土與UHTCC的本構關系都采用彈塑性損傷本構關系模型，本構關系曲線由試驗值確定，受壓、受拉應力峰值及對應應變均與VFIFE中取值相同。鋼筋本構關系也采用與VFIFE中完全相同的雙線性強化模型，模擬的邊界條件及加載過程與VFIFE中均相同。ABAQUS的求解器采用standard隱式求解器，與VFIFE的顯示求解是不同的。

4．2．2 本構模型

本文中VFIFE的模擬中普通混凝土本構關系模型采用Darwin-Pecknold模型，其等效單軸應力－應變關系曲線如圖7所示。此處普通混凝土應力應變關系受壓區采用Darwin建議曲線，上升段采用Saenz公式，下降段采用直線，殘余應力取峰值應力的 0．2 倍［14－15］，在受拉區采用 Hillerborg建議的雙折線模型［16］。

圖7 混凝土本構關系模型Fig．7 Stress－ strain curves of concrete

在剪力墻兩側各有一個箍筋約束區，按約束混凝土處理［17］。約束混凝土的特性與普通混凝土有所不同，其受壓時延性與強度都有很大提高，而受拉時無明顯影響。約束混凝土應力應變全曲線與普通混凝土的應力應變全曲線形狀一致，約束混凝土的壓應力峰值及屈服應變計算公式如下［18－19］:

式中，fcc，εcc為約束混凝土受壓應力峰值與屈服應變;fc0，εc0為普通混凝土受壓應力峰值與屈服應變;λv是配箍特征值(λv= ρ fyh/fc0，ρ為體積配箍率，fyh為箍筋屈服強度)。

添加短纖維的超高韌性水泥基復合材料雖然性能較普通混凝土有所改變，但仍屬于混凝土材料范疇，在選擇UHTCC本構模型時，本文仍采用Darwin－Pecknold二維本構關系模型，只在等效單軸應力應變曲線上發生改變。相較普通混凝土，UHTCC拉應力峰值未有明顯提高，而延性大大增加［20］，受壓應力峰值也無明顯影響，屈服應變穩定在0．005左右，高于普通混凝土的極限壓應變值［21－22］。本文對UHTCC本構關系的選取如圖7虛線所示，受拉區取理想彈塑性模型，拉應力峰值對應的應變與約束混凝土相同，其極限拉應變取0．03。考慮到UHTCC材料的特性與邊緣箍筋的約束作用，有關混凝土材料的本構關系取值列于表3中。其中，混凝土受拉應力應變參數參考《混凝土結構設計規范》(GB 50010—2010)［23］。

表3 混凝土參數Table 3 Parameters of Concrete

因UHTCC材料種類眾多，受力性能差別很大，本文的UHTCC剪力墻是在原剪力墻的基礎上改進而來，無具體的 UHTCC，僅模擬研究UHTCC對剪力墻性能的一般影響。根據超高韌性材料的有關實驗研究，本文的UHTCC本構關系曲線不改變受拉及受壓峰值應力，只對其受壓屈服應變及受拉開裂后的特性進行改變。這體現了UHTCC的主要力學性能特征，因此是合理的。

鋼筋本構關系采用雙折線強化模型，強化段切線模量取初始模量的1%，未考慮鋼筋斷裂情況，所有鋼筋的屈服應力及應變取值也都在表4中詳細說明。

表4 鋼筋材料參數Table 4 Parameters of reinforcement

4．2．3 模擬結果

圖8和圖9分別給出了兩種型號的普通混凝土剪力墻與超高韌性水泥基復合材料剪力墻側向承載力試驗曲線以及VFIFE和ABAQUS的模擬曲線。從兩張圖中可以看到，VFIFE與ABAQUS在彈性段對剪力墻側向承載力的計算結果與試驗曲線基本符合。在非線性階段，VFIFE對剪力墻的模擬結果與試驗曲線較為一致，相較ABAQUS，VFIFE模擬剪力墻側向承載力的下降段更為平緩。顯然，在彈性段，VFIFE和 ABAQUS有同樣優異的表現，而在線性階段，VFIFE對剪力墻的模擬稍好于ABAQUS。

圖8 SW1－1和SWU1－1側向承載力曲線Fig．8 Lateral bearing capacity of SW1 －1 and SWU1－1 wall

圖9 SW6－3和SWU6－3側向承載力曲線Fig．9 Lateral bearing capacity of SW6 －3 and SWU6－3 walls

從VFIFE和ABAQUS對超高韌性水泥基復合材料對剪力墻的模擬結果中可知，將原墻兩側暗柱部分替換成超高韌性水泥基復合材料后，SWU1－1的承載力有比較明顯的增加，而延性變化并不明顯。SWU6－3的延性有比較明顯的增加，承載力稍微有一些增加。由此可以看出，不同軸壓力下，把剪力墻邊緣替換成UHTCC材料對剪力墻的影響也不同，在軸壓力較低時，剪力墻的承載力提升較為明顯，而高軸壓力時，對剪力墻的延性提升更為突出。

圖10(a)和圖10(b)是普通剪力墻在頂部側向位移為15 mm時的Mises應力云圖，剪力墻側向位移15 mm時，其側向承載力在峰值點偏右一點，可以明顯看到剪力墻開裂區域及高應力區域。從應力云圖可以看出，左側區域大面積開裂，裂縫區域斜向下發展，右下角區域受壓破壞，與實際情況基本一致。圖10(c)和圖10(d)分別是相同點的的兩片UHTCC剪力墻Mises應力云圖，和普通剪力墻Mises應力云圖相比，兩片UHTCC剪力墻的受拉開裂區域明顯增大，右下角受壓高應力區域減小，破壞區域減少。這說明，UHTCC剪力墻的裂縫更多，裂縫平均寬度也更小。

圖10 頂端側向位移15 mm時剪力墻Mises應力云圖(單位:N/m2)Fig．10 Mises stress contour of walls at 15 mm(N/m2)

5 分析結果與討論

由普通剪力墻與UHTCC剪力墻的模擬結果對比分析可知:

(1)在破壞模式上，采用超高韌性水泥基復合材料后，總體破壞模式并未發生非常大的改變，但剪力墻總體應力分布有所改變，受壓高應力區域面積有所減少，破壞面積也相應減少。

(2)在抗側承載力方面，新材料提升作用并不明顯，這與UHTCC材料的本構關系設定有關(不改變受拉、受壓應力峰值)。在原鋼筋混凝土剪力墻承載力開始下降時，UHTCC剪力墻側向承載力未出現明顯下降，下降速率緩慢，變形有持續增加的趨勢，由此說明UHTCC剪力墻后期工作性能有較大改善，延性增強，塑性變形能力增強，抗震性能更加優異。

(3)在受拉裂縫開展模式方面，UHTCC剪力墻受拉開裂區域增大，裂縫數量增多增密，裂縫平均寬度減小。

由ABAQUS和VFIFE的模擬結果對比分析可知，在彈性段，兩者表現一致，都能很好地模擬剪力墻承載力－位移曲線彈性段，而在非線性階段，VFIFE模擬結果要更加貼近試驗曲線。

6 結論

本文簡單介紹了向量式理論及向量式有限元板單元程序編制過程，利用自開發程序VFIFE以及ABAQUS，對比分析了普通鋼筋混凝土剪力墻與超高韌性水泥基復合材料剪力墻擬靜力推覆過程，并與試驗值作以比較，由此得出如下幾個結論:

(1)向量式有限元在模擬混凝土剪力墻的非線性行為時能夠取得與試驗結果較為一致的結果。

(2)UHTCC剪力墻的剛度降低并不明顯，并且開裂后期的工作性能得到有效改善，低軸壓力時，剪力墻的承載力提升作用明顯，而高軸壓力時，剪力延性提升作用更加突出。

(3)超高韌性水泥基復合材料剪力墻的受拉開裂區域增大，裂縫更加細密。

超高韌性水泥復合材料的彈性模量比一般混凝土材料都要低很多，應力峰值一般都有較大程度的提高，本文中對超高韌性水泥基復合材料本構關系的選取仍有很多不足，其初始彈性模量、應力－應變曲線、損傷量的計算等需要更好的考慮。UHTCC總體是偏軟的，延性遠好于普通混凝土材料，采用UHTCC替換剪力墻兩側暗柱，在保證剪力墻的剛度情況下，改善剪力墻后期工作性能，增強了剪力墻的延性，提升了剪力墻構件的抗震性能，因此具有良好的應用前景。

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