縮尺結構模型的相似荷載優化設計

宋泰宇 沈 殷 李國平

(同濟大學橋梁工程系，上海200092)

1 引言

結構模型試驗是確定或探索結構受力性能的重要手段之一。根據不同的試驗目的、要求和內容，結構模型通常可分為兩類:小結構模型和相似模型［1］。受試驗場地的限制，為了節約材料、降低荷載噸位，相似模型試驗大多采用縮尺模型進行。設計縮尺模型試驗時，首先需要根據相似原理將原型結構等效成理想縮尺模型。對于靜載試驗，相似原則包括幾何相似、邊界條件相似和物理過程相似三個方面［1－2］。而在物理過程的相似模擬中，相似荷載的確定往往是縮尺模型試驗設計中的難點。根據相似原理，若理想縮尺模型采用和原型結構相同的材料設計，則需要在縮尺模型上加載n－1(1:n為縮尺比)倍的自重進行恒載補償。縮尺比越小，需要補償的恒載就越大，而大噸位的均布荷載加載在試驗室條件下通常很難實現。

目前，對于簡單結構的簡單荷載工況，如簡支梁的恒載補償等，相似荷載的設計方法主要有:①采用等分點加載方式，相似荷載的設計滿足結構某一關鍵截面的某一內力等效［3］;② 采用等分點加載方式，相似荷載的設計基于合力相等原則，數據后處理時對試驗結果考慮一定的系數修正效應［4］，但文獻［4］并未詳細說明修正系數的等效原理。

對于連續梁等復雜結構，或在活載補償等復雜工況下，相似荷載的設計方法主要有:①采用等分點加載，滿足某些關鍵截面的內力等效［5－6］;②利用多點配重(方式包括堆攤和懸吊)或杠桿系統的方式進行擬均布荷載等效［5－15］，這種方法最常用，相似度也最好，但當縮尺比較小時，需要大量配重材料和多點加載設備，經濟性較差［16］;③當結構中某部分不是研究對象，并且其上作用的理想縮尺荷載不影響其他部分時，如斜拉橋橋塔的恒載補償等，可不施加相似荷載，而只將實測值與理想縮尺模型補償值進行疊加［9，14，16］。當前的縮尺模型試驗設計中，還缺乏明確的相似荷載優化設計方法，或采用經驗法，或針對某具體試驗模型而設計，適用范圍有一定的局限性。

本文針對縮尺結構模型的相似荷載優化設計方法進行了研究，在模型試驗中常用的有限多點集中力加載方式的基礎上，給出設計參數和自變量的集合，以約束條件推得因變量，以表征量的相似誤差函數為優化目標函數，提出了相似荷載優化設計的基本思路和流程，以此推導了簡支梁和連續梁的最優相似荷載設計的解析解，驗證了解析解和數值解的一致性，并在基本思路的基礎上，對優化設計中可能出現的多維度難點問題進行討論，且均提出了初步的解決方法，最后進一步根據空間桿系有限元方法，對空間曲線梁橋的恒載的相似荷載進行了優化設計。

2 優化設計思路

模型試驗中，相似荷載的模擬和施加常用多點集中力加載方式實現。加載點的數量通常由試驗加載的空間條件和設備條件來決定;而加載點的作用位置和荷載大小則是相似荷載的主要設計參數。根據模型試驗的試驗目的，部分截面的荷載效應是分析試驗模型的受力性能和特征的主要約束條件，對于這些主控荷載效應要求能夠完全等效，如簡支梁彎曲性能試驗中，跨中截面的彎矩或應力應完全等效［6］。當相似荷載設計參數數量大于約束條件個數時，設計參數可以有無窮多解。為此，相似荷載設計中可以進一步提取模型試驗中重要的表征量進行優化，如簡支梁彎曲性能試驗中，取主梁的彎矩為優化表征量。優化的目標函數采用優化表征量的均方根誤差，使所尋求的最優解滿足相似誤差最小的原則。當設計參數數量足夠多的時候，模型試驗的荷載效應可以在很多方面和理想縮尺模型相似，從而使模型試驗能夠盡可能的反映實際結構的受力性能，提高試驗的模擬效果。

縮尺結構模型的相似荷載優化設計屬于有約束的優化問題。優化的目標即使優化表征量的相似誤差函數取到極小值，尋求的優化解是相似荷載的設計參數，而優化解受到制定的約束條件的限制。可以表達為:

約束條件:gi(x)=0;i=1，2，…，m，m ＜ n，這里x=［x1x2… xn］T，表示相似荷載的設計參數;gi(x)=0表示設計參數的約束條件;W=f(x)表示優化目標函數;f，gi是設計參數的函數。優化設計的最優解即滿足約束等式gi(x)=0，且函數f(x)在其上取得極小值的特定集合根據上述基本思想和數學表達，縮尺模型的相似荷載優化設計的具體流程如下:

第一步:根據試驗的實際加載條件，確定相似荷載設計參數的集合X=［x1x2… xn］T;

第二步:根據模型試驗的試驗目的和模型結構的受力性能，設計約束條件gi(x)=0;i=1，2，…，m，m ＜n;

第三步:根據前兩步確定的設計參數和約束方程，合理確定自變量和因變量，因變量的個數等于m，記其集合為?X;自變量集合記為xk+n－m－1］?X，其個數等于 n －m;

第四步:根據試驗的研究目標，確定優化設計的表征量P，得到表征量的均方根誤差，即相似荷載的優化目標函數W=f(X);

第五步:利用解析法或數值法，對優化問題進行求解，得到最優化加載方案的設計參數完成縮尺模型的相似荷載優化設計。

3 解析法

在縮尺模型的相似荷載優化設計中，優化的目標函數采用優化表征量的均方根誤差。當目標函數可以顯式表達，且表達式較為簡單時，可以直接利用微分法求解最優解。相似荷載優化設計的解析解和目標函數表示如下:

式中，Wa=f(X)為解析解法的目標函數;f是自變量的連續函數;Pideal(x)，Psim(x)分別表示理想縮尺荷載和相似荷載的表征量，是變量的的連續函數;l表示考慮進行優化的范圍，其他符號同前。

令目標函數對每個自變量偏導為零，可得到n－m個方程，從而可解得n－m個自變量的解集再代回約束條件，可求解因變量集合二者的合集即為最優化相似荷載的設計參數集合

縮尺模型相似荷載的設計一般包括相似恒載補償和相似活載兩個荷載工況設計，對應的理想縮尺模型所受荷載一般包括均布力、均布力偶、集中力等。下面以結構模型試驗中最簡單、常見的等截面簡支梁為例，對其縮尺模型的恒載補償進行相似荷載優化設計，求解最優化設計參數的解析解。

等截面簡支梁的理想縮尺模型上需要補償的恒載為沿全梁長l的均布力q(圖1(a))，試驗加載條件假定為常見的分載梁對稱加載(圖1(b))。相似荷載的設計參數集合采用 X=［F L］T，其中，F為加載點荷載大小，L為加載點中距;考慮相似荷載與理想補償恒載作用下的模型跨中正彎矩相等，可得約束條件:

自變量集合取 Xdep=［L］，因變量集合為Xindep=［F］;優化設計的表征量P為主梁彎矩M(x)，優化設計的考慮范圍為全梁長l。理想補償恒載作用下和相似荷載作用下的結構模型的表征量，即主梁彎矩，可表示為(由對稱性這里取半結構):

圖1 相似荷載和理想恒載補償圖示Fig．1 Similar load and ideal reduced scale load

圖2 中繪出了相似荷載和理想補償恒載作用下的彎矩分布曲線，可以看出兩者在滿足式(2)的前提下，沿梁長的彎矩分布具有一定的誤差。優化的相似荷載是使兩者的均方根誤差達到最小值，進而滿足最優化解的要求。據此，求得表征量的均方根誤差，通過代入式(2)，消去因變量F，可得到目標函數f為自變量L的函數f(L):

表1中列出了常用梁式橋縮尺模型相似荷載的優化設計結果，其中最不利相似活載根據規范按影響線加載方式獲得。

圖2 相似荷載和理想補償恒載作用下的彎矩分布Fig．2 Bending moment under similar load and ideal reduced scale load

表1 常用梁式橋縮尺模型相似荷載的優化設計結果Table 1 Optimization design results of similar load on raduced scale beam model

4 數值法

優化問題的求解中，顯式、可導的目標函數可以得到解析解，但是對于多維復雜的目標函數，可能無法求得解析解，可采用搜索的方式求得數值解。當出現以下情況:①試驗結構的理想縮尺模型所受荷載較復雜，如變截面橋梁的縮尺模型恒載補償;②自變量較多，多維目標函數較復雜，偏導運算可能無法直接求解;③對于復雜結構，如預應力結構等，表征量表達式不易推導解析式，無法得到目標函數解析式;④試驗加載條件不同，等效加載模型的加載圖示無法統一時，相似荷載的優化設計參數的解析解求解費時或無法實現;另外，對某一特定模型結構，推導解析解也缺乏通用性，可基于有限元軟件分析結果，搜索得到某一特定縮尺模型相似荷載的設計參數數值解。優化相似荷載的數值解法采用搜索法進行求解，可以表達為

式中，Wn=f(X)為數值解法的目標函數;f是自變量的離散函數;Pideal，k，Psim，k分別表示理想縮尺荷載和相似荷載的表征量，是變量的的離散函數，n表示優化設計考慮單元的數目，其他符號同前。在可行域內選取一系列滿足約束條件的設計參數集X1，X2，…分別求解出對應的優化表征量，得到一系列目標函數數值f(X1)，f(X2)，…取到極小值時的自變量集合，自變量集合代入約束條件，可求解因變量集合X*dep，二者的合集即為最優化相似荷載的設計參數集合 X=根據微積分原理Wa，就是說，只要有限元模型單元劃分得足夠細，得到的數值解是足夠接近精確的解析解的。

為了方便討論，仍以等截面簡支梁為例，進行相同條件下的恒載補償優化設計。相似荷載的設計參數、約束條件、自變量集合、因變量集合、表征量、優化設計的考慮范圍均不變，與解析解法中相同。利用Midas軟件建立等截面簡支梁的縮尺模型，模型梁長l=3 m，沿梁長等距劃分100個單元，假設理想縮尺恒載補償為q=45 kN/m，自變量L在0 m到1．68 m等距選取15個離散值和三分距1．0 m。根據式(2)確定因變量F，輸出理想縮尺荷載和16個相似荷載作用下的單元彎矩值(圖3)。根據式(7)得到各自變量對應的目標函數數值曲線(圖4)。

由目標函數數值曲線可以發現，目標函數隨自變量的增加先遞減后遞增，且當自變量L=1．0 m時，目標函數值達到極小值，故最優化相似荷載的設計參數數值解為 X*=［F*L*］T=［50．63 kN 1．0 m］T。

圖3 相似荷載和理想補償恒載作用下的彎矩分布Fig．3 Bending moment under similar load and ideal reduced scale load

圖4 各設計方案目標函數值變化曲線Fig．4 Objective function values in different designs

將該結果與 X*=［F*L*］T=［0．375ql l/3］T進行對比，代入已知條件 q=45 kN/m，l=3 m，得到相應解析解為［50．625 kN 1 m］T，與數值法的結果一致(圖4)，說明數值解法是正確的，其結果的精度也是很高的。

5 多維度難點問題

上面討論的是在兩點對稱加載基礎上的等截面簡支梁恒載補償的優化設計，是優化設計中最簡單的情況。實際縮尺結構模型的相似荷載優化設計可能會較為復雜，下面對優化設計中可能出現的多維度難點問題進行討論，并提出初步的解決方法。

(1)多自變量求解。采用數值法求解時，當自變量個數為一個時，目標函數值由自變量唯一確定;當自變量個數為兩個時，目標函數值由一個二維數組確定;當自變量個數為n時，目標函數值由n維自變量矩陣確定。要找到目標函數值的極小值，需要對每一自變量在其可行域內取離散值，搜索次數呈方次增加，工作量巨大。為減少計算量，可以采用變量分離、反復迭代的思路，將多變量極值問題化為單變量極值問題進行求解。下面以三個自變量為例，求解目標函數值W=f(A，B，C)取到極小值Wmin時最優化相似荷載的設計參數集合［A*B*C*］的流程圖如圖5所示。

圖5 多自變量目標函數求解流程圖Fig．5 Flow chart of solution of objective function with multiple variables

(2)多目標函數加權。當優化設計的表征量為多個時，對應的目標函數也為多個，而不同目標函數取到極小值時的自變量可能不同，需要將多個目標函數綜合為單目標函數以進行比較，故可將多個目標函數加權平均為一個“綜合目標函數”，該綜合目標函數取到極小值時的自變量為最優化相似荷載設計的自變量，相應的設計參數為最優化設計參數。目標函數的加權平均公式:

式中，t表示表征量，即目標函數W的個數;ωi為Wi的權重，其他符號同前。

對于不同目標函數，其物理意義不同，單位不同，對綜合目標函數的影響強度也不同，所以權重確定可分為兩個方面:①統一目標函數的比較尺度;②量化目標函數的重要程度。對應方法是:

(1)將不同目標函數值均除以所有方案中該目標函數的最小值:

(2)當目標量較少(不超過3個)時，試驗者可根據經驗和試驗目的直接判斷，給出權重系數當優化表征參數超過3個時，可利用層次分析法，由成對比較陣求權向量的特征根法確定權重系數ω(2)i。最后，給出Wi的組合權重系數為

(3)如果優化設計時只考慮結構模型中一部分截面上的表征量時，則式(1)的積分區間用該部分截面的區間，式(5)的累加單元用該部分截面的單元。

(4)根據試驗研究目的和構件的重要性和自身特點，可在目標函數中加入不同截面的權重系數，人為給出各截面在優化時的加權量B(x)或B(k)，則式(1)、式(6)用下面兩式替代。當表征量為彎矩，權重系數為柔度系數時，目標函數的意義類似于彎曲能量的誤差函數。

(5)當優化設計的約束條件為不等式時，可將設計參數均當做自變量考慮，應用解析法或數值法求解，并檢驗其最優解是否滿足不等式約束，若滿足，則即為最優設計參數;若不滿足，則將不等式取邊界值化為等式，求解等式約束問題。

6 三跨曲線梁的相似荷載優化設計

基于國家自然科學基金項目《體外預應力混凝土曲線橋復雜空間力學行為及失效機理》的縮尺模型靜載試驗，應用上述設計方法，對一三跨體外預應力曲線梁的恒載(自重+二期)進行相似荷載的優化設計。模型梁采用1:8縮尺比，中心線弧長(3+3．75+3)m=9．75 m，曲率半徑 5 m，配置四根體外預應力鋼束，一次落架施工。利用Midas軟件建立縮尺模型，主梁采用梁單元，體外束采用桁架單元。

試驗加載條件為每跨一分載梁對稱加載，即有6個加載點。相似荷載的設計參數:①中跨加載點荷載;②邊跨加載點荷載;③中跨加載點中距;④邊跨加載點中距;⑤邊跨加載點連線中點位置;考慮相似荷載與理想補償恒載作用下的模型中跨跨中正彎矩相等和中支點負彎矩相等為約束條件;自變量取為上述設計參數③－⑤，因變量為設計參數①、②;優化設計的表征量為體外預應力筋應力和不考慮預應力效應的主梁撓度;優化設計的考慮范圍均為全梁長。

本縮尺模型相似荷載的設計屬于多自變量、多目標函數的優化問題，采用數值法，共建立17個有限元模型對三個自變量進行優化設計，得到最優化相似荷載設計參數的數值解為:①中跨加載點荷載28．8 kN;②邊跨加載點荷載22．2 kN;③中跨加載點中距125 cm;④邊跨加載點中距100 cm;⑤邊跨加載點連線中點位置居邊跨跨中。恒載補償加載立面如圖6所示。

圖6 試驗梁恒載補償加載立面示意圖(單位:kN)Fig．6 Elevation of dead load compensation(Unit:kN)

圖7 最優相似荷載和理想縮尺荷載作用下的表征量Fig．7 Characteristic parameters people’s under optimized similar load and ideal reduced scale load

最優設計的相似荷載和理想縮尺荷載作用下的兩個表征量沿全梁長的分布如圖7所示。從圖7(a)和圖7(b)均可以看出，兩個表征量沿全梁長的分布非常接近，相似度很好，所以該縮尺結構模型的試驗結果可以較真實地反映實際結構的受力性能。

7 結論

(1)本文針對縮尺結構模型的相似荷載優化設計，根據相似誤差的概念并結合優化理論，以表征量的相似誤差函數作為優化的目標函數，提出了相似荷載優化設計的基本思路、流程和求解方法。

(2)推導了簡支梁和連續梁的最優相似荷載設計的解析解，并驗證了簡支梁恒載補償最優解析解和數值解的一致性，基于經驗的簡支梁三分點恒載補償加載符合解析解。

(3)在基本優化設計思路的基礎上，針對多自變量、多目標函數等多維度難點問題，提出對應的初步解決方法，從而可將優化設計擴展到更為復雜的情況中，并對三跨曲線梁橋恒載的相似荷載進行了優化設計，該設計屬于多自變量、多目標函數的復雜優化問題，優化結果表明最優設計下縮尺模型的相似度很好。

［1］ 李德寅，王邦楣，林亞超．結構模型試驗［M］．北京:科學出版社，1996．Li Deyin，Wang Bangmei，Lin Yachao．Test of structural Moclel［M］．Beijing:Science Press，1996．(in Chinese)

［2］ 章關永．橋梁結構試驗［M］．北京:人民交通出版社，2002 Zhang Guanyong．Test of bridge structures［M］．Beijing:China Communication Press，2002．(in Chinese)

［3］ 鄢芳華，沈殷，李國平，等．體外預應力混凝土梁模型試驗初步研究［J］．結構工程師，2003(3):66-70．Yan Fanghua，Shen Yin，Li Guoping，et al．Preliminary study on model test of externally prestressed concrete beam［J］．Structural Engineers，2003(3):66-70．(in Chinese)

［4］ 中華人民共和國住房和城鄉建設部．GB 50152—2012混凝土結構試驗方法標準［S］．北京:中國建設工業出版社，2012．Ministry of Housing and Urban-Rural Development of the People's republic of China．GB 50152—2012 Standard methods for testing of concrete structures［S］．Beijing:China Architecture and Building Press，2012．(in Chinese)

［5］ 毛玉東．港珠澳大橋組合連續箱梁模型試驗研究［D］．武漢:武漢理工大學，2012．Mao Yudong．Model test of continuous composite box girder in Hong kong-Zhuhai-Macao Bridge［D］．Wuhan:Wuhan University of Technology，2012．(in Chinese)

［6］ 劉自明．橋梁結構模型試驗研究［J］．橋梁建設，1999，(4):1-7．Liu Ziming．Test study of bridge structure models［J］．Bridge Construction，1999，(4):1-7．(in Chinese)

［7］ 汪存書，鄭和暉，陳富強，等．龍河特大橋墩梁結合部模型試驗設計［J］．結構工程師，2013，29(5):119-125．Wang Cunshu，Zheng Hehui，Chen Fuqing，et al．Model design of the pier-beam joint in the Longhe super large bridge［J］．Structural Engineers，2013，29(5):119-125．(in Chinese)

［8］ 沈銳利，齊東春，唐茂林．杭州江東大橋靜力特性全橋模型試驗研究［J］．土木工程學報，2011，44(1):74-80．Shen Ruili，Qi Dongchun，Tang Maoling．Model test study of the static property of the Jiangdong bridge in Hangzhou［J］．China Civil Engineering Journal，2011，44(1):74-80．(in Chinese)

［9］ 余毅，余天慶，樂韓燕．吉林蘭旗松花江特大橋施工階段及成橋靜力模型制作［J］．世界橋梁，2008(1):73-75．Yu Yi，Yu Tianqing，Le Hanyan．Fabrication of static force model for Jilin Lanqi Songhua River bridge at construction and completion stages［J］．World Bridges，2008(1):73-75．(in Chinese)

［10］ 王天亮，程寶輝．沈陽市富民橋全橋模型試驗研究方法介紹［J］．橋梁建設，2006(B05):70-74．Wang Tianliang，Cheng Baohui．Method of overall bridge model test and study of Fumin bridge in Shenyang［J］．Bridge Construction，2006(B05):70-74．(in Chinese)

［11］ 馮劍．矮寨特大懸索橋縮尺模型設計研究［D］．長沙:長沙理工大學，2010．Feng Jian．The research on scale model design of Aizhai suspension bridge［D］．Changsha:Changsha U-niversity of Technologyk，2010．(in Chinese)

［12］ 高小妮．多塔斜拉—自錨式懸索組合體系橋梁結構理論分析與模型試驗研究［D］．西安:長安大學，2012．Gao Xiaoni．Theoretical analysis and model test study on cable-stayed and self-anchored suspension combination bridge with multi-tower［D］．Xi’an:Chang’an University，2012．(in Chinese)

［13］ 胡建華，沈銳利，張貴明，等．佛山平勝大橋全橋模型試驗研究［J］．土木工程學報，2007，40(5):17-25．Hu Jianhua，Shen Ruili，Zhang Guiming，et al．A total bridge model study of the Pingsheng bridge in Foshan［J］．China Civil Engineering Tournal，2007，40(5):17-25．(in Chinese)

［14］ 安群慧，劉自明．荊州長江公路橋整體模型試驗研究［J］．橋梁建設，2002(2):15-18．An Qunhui，Liu Ziming．The whole model test study for Jingzhou Changjiang River highway bridge［J］．Bridge Construction，2002(2):15-18．(in Chinese)

［15］ 李亞非，顏東煌．大型三塔斜拉橋鋁合金試驗模型的研制［J］．長沙交通學院學報，2000，16(3):37-41．Li Yafei，Yan Donghuang．Development and manufacture of a large aluminum test model of three tower cable-stayed bridge［J］．Journal of Changsha Communications University，2000，16(3):37-41．(in Chinese)

［16］ 項貽強，吳孫堯，段元鋒．基于剛度相似原理的斜拉橋模型設計方法［J］．實驗力學，2010(4):438-444．Xiang Yiqing，Wu Sunyao，Duan Yuanfeng．Design method of small-scale cable-stayed bridge based on stiffness similarity theory［J］．Journal of Experimental Mechanics，2010，(4):438-444．(in Chinese)