基于二次函數擬合的太陽影子定位技術研究

馬玉雪，令狐林玉，楊東海，孫國偉，買阿麗

(運城學院 應用數學系，山西 運城 044000)

基于二次函數擬合的太陽影子定位技術研究

馬玉雪，令狐林玉，楊東海，孫國偉，買阿麗

(運城學院 應用數學系，山西 運城 044000)

利用影子長度和太陽高度角的關系研究太陽影子定位技術，得到太陽高度角為45度時影子和物體一樣長；并通過對太陽影子長度變化的數據進行分析，得出影子長度與時間的二次函數擬合方程，從而根據影長最短的時間點確定拍攝地點的經度；然后根據太陽方位角與時角，經緯度，高度角之間的關系，求出高度角，從而得到影子和緯度的關系；最終確定出視頻的拍攝地點和拍攝日期。

太陽高度角；太陽方位角；二次函數擬合；影子定位

0. 引言

太陽影子定位技術就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，通過測量影子方位及長度與桿的實際長度、經緯度、時間等參數，確定視頻的拍攝地點和拍攝日期的一種方法。

而物體影子的變化主要源于地球自轉和繞太陽的公轉，直桿位置及長度的測量是利用CCD相機線性成像的交比不變性原理和滅點產生原理，所以通過分析影響影子變化的參數，就可確定視頻拍攝的地點和日期。

對于太陽影子定位技術考慮以下問題：

第一，建立影子長度變化的數學模型，分析影子長度關于各個參數的變化規律。

第二，當日期已知，直桿高度未知時，根據水平地面上的太陽影子頂點坐標數據，建立數學模型確定直桿所處的地點。

第三，當日期與直桿高度都未知時，根據水平地面上的太陽影子頂點坐標數據，建立數學模型確定直桿所處的地點和日期。

第四，根據一根2米高的直桿在太陽下的影子變化的視頻，建立確定視頻拍攝地點的數學模型，同時給出可能的拍攝地點。當拍攝日期未知，根據數學模型確定可能的拍攝地點與日期。

1. 直桿影子長度變化曲線

1.1 問題分析

影響影子長度的主要因素是桿子高度和高度角。首先確立影響太陽高度角[1]變化的因素并確定高度角的計算公式，然后利用影子長度和太陽高度角的三角函數關系，得到影子長度變化規律。以天安門廣場北緯39度54分26秒,東經116度23分29秒位置(文中記為P點)，3米直桿在2015年10月22日北京時間9∶00-15∶00之間的太陽影子長度的變化曲線為例，說明這些量之間的變換關系。

1.2 確定影子長度與太陽高度角的關系

首先，我們確定太陽高度角[2]θ，收集資料可知太陽高度角θ的變化與太陽赤緯[3]δ、緯度φ和太陽時角[4]w三個因素有關：

(1)太陽赤緯δ與日期T有關，其關系式如下：

sinδ=0.39795cos[0.98563(T-173)]

(1)

其中T=1表示1月1日，T=365表示12月31日。

(2)緯度，其數值在0至90度之間。

(3)太陽時角w是指日面中心的時角，可以由北京時間得到，設北京時間為t,以24小時計，經度為φ，可以得到關系式[3]：

w=15°×[t+(120°-φ)÷15°-12]

(2)

根據圖1，確定出了這三個因素關系式為[2]：

sinθ=sinφsinδ+cosφcosδcosw

(3)

最后建立函數模型，確立影子長度與太陽高度角θ的函數關系，如圖2所示，設直桿高度為h米，影子長度為l米，可以得到函數模型為：

(4)

圖1 太陽高度角計算示意圖

圖2 影子長度與太陽高度角的關系圖

1.3 畫出變化曲線圖

應用建立的模型，確立了P點3米高的直桿在2015年10月22日北京時間9:00-15:00之間的太陽影子長度隨時間變化的二次函數關系，其中由計算可得φ=116.39,φ=39.9072,h=3,T=265，從而用Matlab畫出了北京時間9:00-15:00之間該地的太陽影子長度的變化曲線，如圖3所示。

分析可知，如果為東經120度時，北京時間12點時影子長度最短，又因為每晚4分鐘，經度偏西1度，而天安門廣場經度為東經116度23分29秒，比東經120度少3.61度，所以該地的時間要比標準北京時間要晚14.44分鐘，所以天安門廣場影子最短的時間為12點14分26秒。

一天中影子變化的規律是早晚影子最長，中午最短，早上到中午影子慢慢變短，中午到晚上影子慢慢變長。從上面二次函數模型中可以得到：影子與太陽高度角的關系是，太陽高度角越小，影子越長。太陽高度角為45度時影子和物體一樣長。

2. 日期已知，直桿未知求地點

2.1 問題分析

已知日期時，獲得的某地桿子不同時間的頂點坐標，確定拍攝地點所在的經度和緯度，方法具體如下：

第一步，由已知數據得出影子長度，然后對這些數據進行二次函數擬合，得出影子長度與時間的關系，從而根據影子最短距離的時間點確定可能點的經度；

第二步，由獲得的經度，根據太陽方位角[4]與時角，經緯度，高度角之間的關系，求出高度角，然后根據影子和緯度的關系確定出可能的緯度，從而確定拍攝地點所在的經度和緯度。

2.2 給定日期和固定直桿確定位置

2.2.1 確定經度

對于該種情況，我們收集了2015年4月18日的一段時間的影子長度數據，得出影子長度與時間的關系如下表1所示。

表1 2015年4月18日某地影子長度與時間的關系

建立二次函數模型，利用Matlab對影子長度和時間t的數據進行擬合分析，得到系數a=0.1473,b=3.7519,c=24.1325的拋物線，從而確定出影子長度與時間的關系為(如圖4)：

l=0.1473t2-3.7519t+24.1325

(5)

圖3 3米高直桿的太陽影子長度與時間的關系

圖4 表1的影子長度與時間的關系

由方程(5)可知，該地的影子最短的時間為拋物線最低點12.736，所以時間為12點44分9秒。比東經120度的影子最短的時間晚44.16分鐘，又因為每晚4分鐘，經度偏西1度，所以該地比東經120度偏西11.04度，為東經108.96度。

2.2.2 確定緯度

首先，由文獻[5]獲得的太陽方位角α與高度角θ、太陽赤緯δ、太陽時角w之間的關系確定出太陽方位角α的計算公式[4]：

(6)

圖5 4月18日的正午時刻影長與緯度的關系

由拋物線得到正午時刻的最短影長為0.241米，然后由緯度和影長的關系可以得出該地緯度為18.3度，由于2015年4月18日太陽直射點在北緯10度，又因表1的數據為下午的影子軌跡，可以得到直桿是在太陽直射點以北，所以應該為北緯18.3度。

由以上分析可得到直桿所處的可能地點為東經108.96度，北緯18.3度。

3. 日期與桿長都未知求地點

3.1 問題分析

對數據進行二次函數擬合，根據影子最短距離的時間點比較分析確定兩組數據直桿所在地的經度；對于日期不確定，遍歷一年365天，確定每一個T之后，得出日期，然后可得到正午時刻同一經度下，緯度與影長的關系，從而確定緯度。

3.2 建立二次函數模型

利用Matlab對文獻[6]附件2和附件3中的兩組數據進行分析處理，得出影子長度與時間關系的二次函數方程分別為：

l1=0.0981t2-2.8809t+21.731

l2=0.2964t2-7.5007t+47.5619

如圖6，圖7所示。

圖6 第一組影子長度與時間的關系

圖7 第二組影子長度與時間的關系

當日期未知時，遍歷一年365天，即T∈[1,365]且T∈Z*,確定每一個T之后，用反演法確定出日期，第一組數據日期為7月20日，第二組數據日期為1月20日，可得積日T1=201,T2=20，然后可得到正午時刻同一經度下，影長與緯度的關系分別為圖8，圖9所示。

圖8 7月20日正午時刻影長與緯度的關系

圖9 1月20日正午時刻影長與緯度的關系

所以可得該地點為東徑79.75度，北緯39.22度，日期為7月20日，另一個地點為東徑10.25度，北緯29.39度，日期為1月20日。

4. 日期未知，桿長已知求地點

4.1 問題分析

先將視頻導入Matlab，然后每2分鐘取一幀，得到21張有序的圖片，然后對每張圖片進行灰度處理，得到每張圖片中影子頂點在矩陣中的位置，即像素點的坐標，然后通過像素點坐標及像素點間的距離和實際長度的比較，得到影子軌跡的實際坐標，計算出經、緯度，得出可能的拍攝地點。然后在日期未知的情況下，利用二次函數擬合模型求得可能的拍攝地點和日期。

5.2 根據桿長與時間求地點

4.2.1 確定經度

先將視頻導入Matlab，并結合小孔成像原理，得到影子頂點軌跡的實際坐標和實際影子長度與時間的關系如下表2所示。利用Matlab分析影子長度l和時間t的數據進行二次函數擬合，得到系數：

a=0.0877,b=-2.4423,c=17.1244

從而得出影子長度與時間的關系拋物線方程為：

l=0.0877t2-2.4423t+17.1244

表2 2015年7月13日某地影子長度與時間的關系

用Matlab對數據做出影子長度與時間的關系符合拋物線，如圖10所示。

圖10 表2的影子長度與時間的關系

由方程可知，該地的影子最短的時間為拋物線最低點，時間為13點55分27秒。比東經120度的影子最短的時間晚1小時55分27秒，又因為每晚4分鐘，經度偏西1度，所以該地比東經120度偏西28度52分，為東經91.13度。

4.2.2 確定緯度

由上述二次函數確定出了最低點為13.9242，0.1209，可以得到在時間為13點55分27秒，經度為東經91度8分時，影子最短為0.1209米，而由題可知桿長h=2米，日期為2015年7月13日，可得積日T=194，然后由第一問影子長度與太陽高度角的關系，可得到正午時刻同一經度下，緯度與影長的關系，如圖11所示。

圖11 表2的影長與緯度的關系

由拋物線得到正午時刻的最短影長為0.1209米，然后由緯度和影長的關系可以得出緯度為北緯26度和北緯20度，由于2015年7月13日太陽直射點在北緯23度，由于視頻中的影子往北面移動，可以得到直桿是在太陽直射點以北，所以應該為北緯26度。

由模型可以得出該地點的經度為東經91.13度，北緯26度。

5.結束語

本文利用二次函數擬合方法研究太陽影子的定位技術，給出了確定視頻拍攝的地點和日期的一種方法。當視頻中沒有直桿時，如何確定拍攝地點和拍攝日期是后續需要研究的一個方向。

[1] 屈名,王征兵,王德麾.基于交比不變性的太陽定位算法的研究[J].硅谷,2013(19).

[2] 費云霞,王春順.對太陽高度角的了解及其計算方法[J].中小企業管理與科技,2008(1).

[3] 羅新宇.太陽赤緯的近似計算[J].鐵路航測,1993(2).

[4] 百度百科，太陽時角[EB/OL].[2015年9月12日]http://baike.baidu.com/link?url=h1Munt6Ctv0KtBIaY7-6HTmTf2w1uDOSQJ0bxzbBQnklF2ElnEQAQ8vC_0Z7raZVAUDhm5UyhPXHBdzhehmI-_

[5] 賀曉雷,于賀軍,李建英,等.太陽方位角的公式求解及其應用[J].太陽能學報,2008(1).

[6] 全國大學生數學建模網, 2015年高教社杯全國大學生數學建模競賽賽題[EB/OL].2015年9月12日，http://www.mcm.edu.cn/html_cn/block/c61dfec317d7a5bd9b2b8efed81c8af3.html

【責任編輯 荊 瑤】

Solar Shadow Positioning Technology Based on Quadratic Function Fitting

MA Yu-xue, LINGHU Lin-yu, YANG Dong-hai, SUN Guo-wei, MAI A-li

(DepartmentofAppliedMathematics,YunchengUniversity,Yuncheng044000,China)

In this paper, solar shadow positioning technology was studied. Using the relationship between shadow length and sun elevation angle, the shadow length was obtained as long as the object when solar elevation angle is 45 degrees. By analysising the solar shadow length varying data by fitting equation, a quadratic function of the length of the shadow was obtained. According to the shortest time, this is shadow shortest time, to determine longitude. Then according to the relationship between the sun angle and azimuth, longitude latitude, elevation angle, the elevation angle is calculated, and the relationship between shadow and latitude are determined. Finally, filming locations and recording date of the video were determined.

Solar elevation angle; Solar azimuth; Quadratic function fitting; Solar shadow positioning technology

2015-08-16

山西省高等學校科技項目(20121113)；運城學院科研基金項目(XK-2014030,XK-2014035)

馬玉雪(1994-)，女，山西潞城人，運城學院應用數學系1301班學生。

TP391.7

A

1008-8008(2015)06-0024-05