一類二階非線性微分積分方程兩點邊值問題

李廣兵，唐先華

（中南大學數學與統計學院，湖南長沙410083）

一類二階非線性微分積分方程兩點邊值問題

李廣兵，唐先華

（中南大學數學與統計學院，湖南長沙410083）

研究了Banach空間中含一階導數項的二階非線性微分積分方程兩點邊值問題，通過建立一個新的比較定理，證明了該問題最大解和最小解的存在性.

微分積分方程；兩點邊值問題；單調迭代技巧

0 引言

本文考慮實Banach空間E中二階非線性微分積分方程兩點邊值問題：

其中：J＝［0，1］，f∈C（J×E×E，E），A0≥0為常數，α0＞0，α1＞0，β0≥0，β1≥0，b0≤0，b1≤0，k∈C（D1， R＋）.D1＝｛（t，s）∈J×J｜t≥s｝，R＋表示所有非負實數集合.令

最近，許多文獻利用單調迭代方法來研究微分或積分方程的邊值問題［1－13］.特別地，文獻［1］考慮了二階非線性微分積分方程（1）的周期邊值問題.但據我們所知，形如（1）和（2）的兩點邊值問題尚未發現相應的存在性定理.本文受文獻［1］的啟發，通過建立一個新的比較定理，研究了含有一階導數項的二階非線性微分積分方程兩點邊值問題（1）和（2）的最大最小解的存在性，拓寬了微分積分方程在實際中的應用.

1 比較定理

設P是E中的錐，E中的半序“≤”由錐P導出.稱P是正則的，如果E中的每個按序有上界的增序列必有極限.

引理1 設k（t，s）：［0，1］×［0，1］→R非負連續，p（t）∈C2（［0，1］，E）滿足

其中：M＞0；N為常數，且滿足

則

證明對任意φ∈P＊（P＊是P的對偶錐）.令m（t）＝φ（p（t）），則m（t）∈C2（J，R＋）且由（3），（4）式

可得：

下面用反證法.假設（7）式不成立，則存在t0∈［0，1］，使得

若t0∈（0，1），則m′（t0）＝0，m″（t0）≤0.以下分兩種情形：

情形（ⅰ）N≤0.由（8）式可知，當0≤s≤t0時，有m（s）≤m（t0）＝m0.注意到k（t，s）≥0，則

于是，由（3）式可得

注意到m0＞0，即上式可簡寫成

這與（5）式矛盾.

情形（ⅱ）N＞0.若?t∈［0，t0］，有m（t）≥0，則由（3）式可知

這與m″（t0）≤0矛盾.故存在t1∈［0，t0］，使得

由于m（t0）＞0，則t1≠t0，即t1∈［0，t0）.?t∈［0，t0］，有

另一方面，

注意到λ＜0，則上式化簡得

這與（6）式矛盾.

若t0＝0.由（8）式可知，m（0）＞0，則m′（0）≤0.于是，由α0＞0，β0≥0可得

這與b0≤0矛盾.

若t0＝1.由（8）式可知，m（1）＞0，則m′（1）≥0.于是，由α1＞0，β1≥0可得

這與b1≤0矛盾.

綜上所述，（8）式成立.

引理2［4］設E是半序Banach空間，x0，y0∈E，x0≤y0，D＝［x0，y0］，A：D→E是一個算子.若滿足下列條件：

（ⅰ）A是增算子；

（ⅱ）x0是A的下解，y0是A的上解；

（ⅲ）A是連續算子；

（ⅳ）A（D）是E中的相對列緊集.

則A在D中必有最小不動點x＊和最大不動點y＊，并且若分別以x0和y0為初始元素，作迭代序列：

則有

且

2 主要結果

令

對任意的h（t）∈C（J，E），考慮下列線性微分積分方程兩點邊值問題：

其中：M＞0；N為常數滿足（5），（6）式，且

直接驗證知，線性微分積分方程兩點邊值問題（11），（12）等價于下列積分方程：

其中：

利用常規方法（如壓縮映射原理）可知，線性積分方程（14）對任給h∈C（J，R）都有唯一解uh∈C（J，R）.定義

下面考慮非線性微分積分方程兩點邊值問題（1），（2）.

定理1 設錐P是E中的正則錐，且對?r＞0，集f（J，Br，Br）有界，其中Br＝｛u∈E‖u‖≤r｝，又設存在v0（t）∈C2（J，E），w0（t）∈C2（J，E），使得v0（t）和w0（t）分別是二階非線性微分積分方程邊值問題（1），（2）的下解和上解，即：

并且

再設存在常數M和N，滿足（5）或（6）式，且滿足（13）式及

則非線性微分積分方程兩點邊值問題（1），（2）在

中存在最小解v＊（t）和最大解w＊（t），并且存在單調迭代序列｛vn（t）｝和｛wn（t）｝，在J上分別一致收斂于v＊（t）和w＊（t）.

證明對任給的u∈D，定義算子如下：

設K由（15）式定義，令A＝KF.下面證明A是增算子.設u1，u2∈D，u1≤u2，則由（16）式及F的定義可知Fu1≤Fu2.

令y1＝Au1，y2＝Au2，則由K的定義知：

令m（t）＝y1（t）－y2（t），由上述幾式可得

由引理1可知，m（t）≤0，即

這表明A是增算子.下面證明

令v1＝Av0，則由K的定義可知?t∈J，有

令n（t）＝v0（t）－v1（t），由于v0是問題（1），（2）的下解，則

由引理1可知，n（t）≤0，即v0≤Av0，同理可證Aw0≤w0.令

則由A是增算子及歸納法容易證明：

由A的定義可知，顯然A是連續算子.最后證明A（D）是C（J，E）中的相對列緊集.由于P是正則的，則.又P正規，由（19）式和f（J，Br，Br）的有界性及（14）式可知，｛vn（t）｝在J上是等度連續的，從而｛vn｜t＝0，1，2，…｝是C（J，E）中相對緊集.注意到P正規及（19）式，可得｛vn（t）｝在J上一致收斂于某個v＊（t）∈C2（J，E），根據A的連續性可知，v＊（t）是問題（1），（2）的解.同理可證，｛wn（t）｝在J上一致收斂于某個w＊（t）∈C2（J，E），且w＊（t）是問題（1），（2）的解.若u∈C2（J，E）是問題（1），（2）在［v0，w0］中的任意解，則根據引理1，容易驗證v＊（t）≤u（t）≤w＊（t）.

因此，根據引理2可知結論成立.

當A0＝0時，即（1）式不含導數項u′時，我們得到下面的結論.

定理2 令A0＝0.設錐P是E中的正則錐，且?r＞0，集f（J，Br，Br）有界，其中又設存在v0（t）∈C2（J，E），w0（t）∈C2（J，E），使得v0（t）和w0（t）分別是二階非線性微分積分方程邊值問題（1），（2）的下解和上解，并且

再設存在常數M和N，滿足（5）或（6）式，且滿足（13）式及

則非線性微分積分方程兩點邊值問題（1），（2）在

中存在最小解v＊（t）和最大解w＊（t），并且存在單調迭代序列｛vn（t）｝和｛wn（t）｝在J上分別一致收斂于v＊（t）和w＊（t）.

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Two－point boundary value problems to a class
of nonlinear second order integro－differential equations

LI Guang－bing，TANG Xian－hua
（School of Mathematics and Statistics，Central South University，Changsha 410083，China）

In this paper，by establishing a new comparison result，the existence of maximal and minimal solutions of two－point boundary value problems for nonlinear second order integro－differential equations in Banach spaces is obtained.

integro－differential equations；two－point boundary value problem；monotone iterative technique

O 175.6 ［學科代碼］ 110·34 ［

］ A

（責任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0026－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.006

2013－06－22

國家自然科學基金資助項目（11171351）.

李廣兵（1990—），男，碩士研究生，主要從事微分方程動力系統研究.