四元數射影空間中的全實偽臍子流形

周俊東，宋衛東，徐傳友

（1.阜陽師范學院數學與統計學院，安徽阜陽236037；2.中國科學技術大學數學科學學院，安徽合肥230026；3.安徽師范大學數學與計算機科學學院，安徽蕪湖241000）

四元數射影空間中的全實偽臍子流形

周俊東1，2，宋衛東3，徐傳友1

（1.阜陽師范學院數學與統計學院，安徽阜陽236037；2.中國科學技術大學數學科學學院，安徽合肥230026；3.安徽師范大學數學與計算機科學學院，安徽蕪湖241000）

研究了四元數射影空間中的全實偽臍子流形的剛性，運用活動標架法和S.T.Yau廣義極值原理，得到了關于第二基本形式模長平方、截面曲率的剛性定理，推廣了已有理論的相關結果.

四元數射影空間；偽臍子流形；截面曲率

0 引言

具有常四元數截面曲率c的四元數黎曼流形被稱為四元數空間形式.若c＞0，我們稱之為四元數射影空間，記為QP（c）.設Mn是等距浸入在四元數射影空間QP（c）中的子流形，若Mn上每個2－維切空間被映射成QP（c）中的全實平面，則稱Mn是全實子流形.四元數射影空間中全實子流形的研究是個熱門課題，一直被許多學者所關注.文獻［1］研究了QPm（c）中緊致全實極小子流形，獲得關于數量曲率和截面曲率的一些剛性定理.文獻［2］得到了一些剛性定理，并改進了文獻［1］中的一些結果.文獻［3］繼續研究了QPn（c）中緊致全實極小子流形，進一步改進了文獻［2］中的一些結果.文獻［4］研究了QPn（c）中完備全實極小子流形，得到一個剛性定理.偽臍子流形是極小子流形的推廣，文獻［5－6］研究了QPn（c）中緊致全實偽臍子流形，給出一些關于截面曲率和Ricci曲率的Pinching定理.文獻［7］獲得了QPm（c）中全實子流形Ricci曲率的上確界.

以上發表的論文主要研究了4n維四元數射影空間QPn（c）中的全實子流形，而本文研究了4（n＋p）維的四元數射影空間QPn＋p（c）中的全實偽臍子流形，外圍空間維數增加了，這對計算子流形第二基本形式模長平方的Laplacian算子增加了一定困難.我們通過使用活動標架法，利用文獻［8］的廣義極值原理以及文獻［9－10］不等式等，得到一些剛性定理，推廣了文獻［3－4］中相關的結果.

1 基本概念和公式

四元數射影空間QPn＋p（c）具有近四元數結構｛I，J，K｝，滿足IJ＝－JI＝K，JK＝－KJ＝I，KI＝－IK＝J，I2＝J2＝K2＝－Id.設Mn是QPn＋p（c）中的n維全實子流形，則對每一點p∈Mn處，切空間TpM垂直于I（TpM），J（TpM），K（TpM）.我們在QPn＋p（c）中選取標準正交標架場：

當標架場限制在Mn上時，e1，…，en是Mn上切向量場.本文采用下面的指標約定：設ωA和ωAB是QPn＋p（c）上的對偶標架場和聯絡形式，QPn＋p（c）的結構方程為：QPn＋p（c）的結構方程限制在Mn上，則有（參見文獻［1］）：

其中：Rijkl，Rαβkl是Mn的曲率張量和法曲率張量（c）的曲率張量.記Mn的第二基本形式h＝，平均曲率向量，平均曲率H＝‖ξ‖.Mn的第二基本形式的模長平方為.局部對稱流形中子流形關于S的Laplacian計算（參見文獻［1，6，11］），有以下公式成立：

設TMn，T⊥Mn分別為Mn的切空間和法空間，記V＝φ（TMn），顯然V是T⊥Mn中的3n維的子空間，可選取為V的基向量場.以V⊥表示T⊥Mn中V的正交補空間，選取為V⊥的基向量場.

引理1.1 設Mn是QPn＋p（c）中全實偽臍子流形，若Mn的平均曲率向量ξ是平行的，則ξ完全位于V⊥，即ξ∈C∞（V⊥）.

證明設ξ＝ξ1＋ξ2，其中ξ1∈C∞（V），ξ2∈C∞（V⊥），在QPn＋p（c）上選取規范正交標架場，使ξ1＝由于Mn是偽臍的，可得

此式等價為

由ξ是平行的，即

由此式可得

對（1.7）式外微分，并把（1.5）和（1.6）式代入可得：

引理1.2［12］設A1，A2，…，Am（m≥2）為對稱（n×n）矩陣.則

引理1.3［8］設M是一個完備黎曼流形，若M的Ricci曲率有下界，那么對于任何有上界的函數f∈C2（M），?ε＞0，總存在一點p∈M使得函數f滿足

supf＜f（p）＋ε，｜gradf（p）｜＜ε，▽f（p）＜ε.

引理1.4［9－10］設B1，…，Bm是對稱（n×n）矩陣，則

2 主要定理及證明

定理2.1 設Mn是QPn＋p（c）中緊致全實偽臍子流形，若平均曲率ξ∈C∞（V⊥），

則Mn是全臍的或者Mn具有常平均曲率和常數量曲率.

證明由于φ（ξ）總是法于Mn，不失一般性，可以選取en＋1＝ξ／H.又由于Mn是偽臍的，所以

由（1.1）和（2.1）式可以推出

由于Mn是偽臍的，從引理1.2可得

在（1.4）式中，令a＝－1，并將（2.2）—（2.8）式代入計算可得

定理2.2 設Mn是QPn＋p（c）中完備全實偽臍子流形，若Mn具有平行平均曲率向量，則Mn是全臍的或者Mn的數量曲率

證明由于Mn具有平行平均曲率向量，根據引理2.1可得χ∈C∞（V⊥）.令τ＝S－nH2，由（2.9）式可得

因為平均曲率向量ξ是平行的，所以平均曲率H是常數.根據（1.2）式和偽臍條件計算Ricci曲率

即Ricci曲率有下界.固定任一正常數a＞0，對于Mn上具有上界的光滑函數由引理1.3得出：?ε＞0，總存在一點p∈M使得函數F滿足▽

另一方面，我們有

即在以上所提到的p點處有

現在令ε→0，由（2.10）和（2.11）式得出

所以supτ＝0，Mn是全臍的.

注文獻［4］討論了QPn（c）中完備全實極小子流形，本文把外圍空間設為QPn＋p（c），討論了完備全實偽臍子流形，得到類似結論，在一定意義上推廣了文獻［4］的結果.

定理2.3 設Mn是QPn＋p（c）中緊致全實偽臍子流形，若ξ∈C∞（V⊥）且Mn的截面曲率

則Mn是全臍的.

證明由Mn是偽臍的條件和引理1.4得出

因為（tr（HαHβ））是對稱的（3n＋4p）×（3n＋4p）的矩陣，我們選擇合適的法向量場，使得tr（HαHβ）＝trH2αδαβ，所以有

設RM為Mn的截面曲率的下界，則

當0≤a＜1時，把（2.1）—（2.7），（2.12）—（2.14）式代入（1.4）式計算得出

［1］ CHEN B Y，HOUH C S.Totally real submanifolds in a quaternion projective space［J］.Annali di Matematica puraed Applicata，1979，120（1）：185－199.

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Totally real pseudo－umbilical submanifolds in a quaternion projective space

ZHOU Jun－dong1，2，SONG Wei－dong3，XU Chuan－you1

（1.School of Mathematics and Statistics，Fuyang Normal College，Fuyang 236037，China；2.School of Mathematical Sciences，University of Science and Technology of China，Hefei 230026，China；3.School of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China）

In this paper，the authors study totally real pseudo－umbilical submanifolds in a quaternion projective space.By using the moving－frame method and the Yau’s maximum principle，some rigidity theorems on the sectional curvature and the squared length of the second fundamental form are obtained，which generalize some results in the relevant literatures.

quaternion projective space；pseudo－umbilical submanifolds；sectional curvature

O 186.1 ［學科代碼］ 110·2745 ［

］ A

（責任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0031－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.007

2013－10－09

國家自然科學基金資助項目（11101352）；安徽省教育廳自然科學基金資助項目（KJ2013Z263；KJ2014A196）；國家特

色專業教研項目（TS11496）；阜陽師范學院科研項目（2014FSKJ12）.

周俊東（1983—），男，講師，主要從事微分幾何研究；宋衛東（1958—），男，教授，主要從事微分幾何研究.