一類三維混沌系統的動力學行為研究

秦 進

（遵義師范學院數學與計算科學學院，貴州遵義563002）

一類三維混沌系統的動力學行為研究

秦 進

（遵義師范學院數學與計算科學學院，貴州遵義563002）

基于李雅普諾夫函數穩定性理論，研究了一類三維混沌系統的平衡點、全局指數吸引集等問題.并且給出了相應的計算機模擬，其結果與理論計算相吻合，從而驗證了理論計算的正確性與可行性.

混沌系統；李雅普諾夫穩定性；平衡點；有界性

0 引言

混沌系統有著對系統初值和參數的敏感依賴性.Lorenz混沌系統作為第一個混沌系統深刻地揭示了混沌現象.Lorenz混沌系統、R?ssler混沌系統、Chua’s電路混沌系統、Chen混沌系統、超混沌Lorenz系統、Lü混沌系統和統一混沌系統等是研究混沌系統的重要模型.混沌系統在非線性電路、混沌保密通信、圖像加密、控制科學和信息科學中有著非常重要的應用［1－4］.

混沌系統的最終有界性是研究混沌系統的一個重要方向，它在混沌系統的控制、同步、混沌吸引子的Hausdorff維數、混沌吸引子的Lyapunov維數等方面有著非常重要的應用.［5－6］從技術上講，求解一個混沌系統的最終界是一個非常困難的工作.由于Lorenz混沌系統有著重要的科學和工程應用背景，Leonov等人最先研究了Lorenz混沌系統的最終有界性.［7］隨后，H.Nijmeijer等人研究了Lorenz混沌系統的有界性，得到了一系列比較深入的結果.［8］郁培等人進一步研究了Lorenz系統的全局吸引集，不僅給出了Lorenz系統正半軌線的最終界表達式，而且給出了正半軌線進入吸引集的速率表達式.［9］張付臣等人推廣了廖曉昕等人的研究結果，進一步研究了一類金融混沌系統和一類三維混沌系統正半軌線的最終界.［10－12］呂金虎等人研究了一類高維混沌系統的最終有界性.［13］由于Lü混沌系統自身結構的特殊性，張付臣等人研究了經典Lü系統的最終有界性［14］，進一步研究了復Lorenz混沌系統和Lorenz系統不拓撲同胚的一個新三維混沌系統的最終有界性和全局吸引集［15－16］.

基于以上工作的啟發，本文將研究一類三維混沌系統（1）的全局吸引集，本文的創新之處在于研究了?a＞0，b＞0，c＞0時，系統（1）的全局吸引集，將不同參數時系統（1）的全局吸引集表達式統一到一個數學表達式之中，并且利用交集的思想得到了系統正半軌線最終界的一個較小估計.

1 動力學模型

一類新的三維混沌系統的數學模型為［17］：

2 主要動力學特性分析

2.1不變集

z軸為系統（1）的一個正向不變集，并且當把系統（1）限制在z上可以得到方程˙z＝－bz，由于這個方程的解為z（t）＝z（t0）e－b（t－t0），從而從z軸上任何點出發的軌線當t→＋∞時都趨于點（0，0，0）.

2.2耗散性和吸引子的存在性

2.3平衡點及穩定性

對于混沌系統（1），點S0＝（0，0，0）始終是系統（1）的一個平衡點.由于（1）的其他平衡點總是可以通過坐標平移，將此平衡點平移到坐標原點（0，0，0）.因此，我們只考慮系統（1）的平衡點S0＝（0，0，0）的穩定性.系統（1）在平衡點S0＝（0，0，0）的雅克比矩陣為

從而系統（1）在平衡點S0＝（0，0，0）的特征方程為

其中

根據Routh－Hurwitz準則，當m＞0，mh－s＞0，s＞0時系統（1）的平衡點S0＝（0，0，0）是漸近穩定的.系統（1）的其他平衡點的穩定性可以類似地考慮.

2.4全局吸引集

考慮一類自治動力系統

定理1 對任意的a＞0，b＞0，c＞0，λ＞0，令

則當V（X（t））≥L0，V（X0）＞L0（t≥t0）時，對于系統（1）的正半軌線有估計式

證明做廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數

當V（X（t））≥L0，V（X0）＞L0（t≥t0）時，計算V（x，y，z）對時間t的導數

注1 （1）取參數a＝35；由定理1知系統（1）的正半軌線包含內，如圖2所示.從圖2中可以看出系統的正半軌線最終進入Ω與定理1的理論結果相吻合，表明了計算結果的正確性.

兩組干預前SF-36各項評分無明顯差異，干預后，均為觀察組高于對照組，差異有統計學意義（P<0.05）。見表2。

（3）根據定理可以得到從吸引集Ωλ外的軌線進入吸引集的速率為指數速率.

定理2 對任意的a＞0，b＞0，c＞0，令

則當V2（X（t））≥L，V2（X0）＞L（t≥t0）時，對于系統（1）的軌線有指數估計式

證明做廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數

計算函數V2（x，y，z）對時間t的導數，我們有

當V2（X（t））≥L，V2（X0）＞L（t≥t0）時，

注2 取參數a＝35，b＝；由定理2系統（1）的正半軌線包含在下列所定義的集合.如圖3所示.從圖3中可以看出系統的正半軌線最終進入Ω1與定理2的理論結果相吻合，表明了計算結果的正確性.

3 結論

利用動力系統的基本理論研究了一類混沌系統的一些基本的動力學行為，并且給出了相應的計算機模擬，其結果證明了研究結果的正確性與有效性.

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Dynamical analysis of a class of chaotic systems

QIN Jin

（School of Mathematics and Computational Science，Zunyi Normal College，Zunyi 563002，China）

Equilibrium points and its stability，positively invariant sets，and global attractive sets are all important problems in dynamical systems.Based on Lyapunov functions theory，we have investigated the equilibrium points，global attractive sets of the new 3－D chaotic system.Base on the global attractive sets obtained in this paper，we can get the boundedness of all variables of the system.Finally，we give the simulations about our results in the paper.Numerical simulations is consistent with our computation.

chaotic system；Lyapunov stability；equilibrium point；boundedness solutions

O 241.84；O 29；O 242.1 ［學科代碼］ 110·61 ［

］ A

（責任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0048－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.010

2014－07－18

國家自然科學基金資助項目（71461027）；貴州省科技廳·遵義市科技局·遵義師范學院聯合基金資助項目（201209）.［作者簡介］ 秦進（1975—），男，碩士研究生，副教授，主要從事混沌系統的有界性及其數學應用研究.