工程圖學斜軸測投影矩陣變換算法

閆 冠，王瑜蕾，侯 磊，楊文挺，鄒飛舟

（1.吉林大學機械科學與工程學院，吉林長春130022；2.吉林省農業機械研究院，吉林長春130022；3.長春奧普光電技術股份有限公司，吉林長春130033）

工程圖學斜軸測投影矩陣變換算法

閆 冠1，王瑜蕾1，侯 磊1，楊文挺2，鄒飛舟3

（1.吉林大學機械科學與工程學院，吉林長春130022；2.吉林省農業機械研究院，吉林長春130022；3.長春奧普光電技術股份有限公司，吉林長春130033）

用矩陣變換算法研究了軸測投影的圖形問題學，探討了錯切變換的有效性和多樣性，通過改變變換矩陣中的參數值和錯切變換的矩陣變換組合方式，生成不同軸間角和軸向伸縮系數的斜軸測投影圖.發現錯切變換結果是多種多樣的，可以生成滿足不同工程需要的斜軸測投影圖，為教學和編程提供了一種有效的制圖方法.

斜軸測投影；矩陣變換；錯切；算法

常用的工程圖樣有正投影圖、軸測投影圖2種.正投影圖是把物體置于三維投影體系中，用正投影方法向投影面投射得到多個二維平面圖形，用來表達空間形體的三維特征.優點是能準確、完整地反應物體的形狀、大小和相對位置關系，但是二維平面圖形的立體感不強，不具備讀圖基礎的人難以看懂.而軸測投影圖表達同一形體時則能彌補這一不足［1］.軸測投影圖與藝術圖畫有類似效果，如立體感強、比較直觀、容易看懂.但軸測投影圖又不是藝術圖畫，它是按照一定的投影規律得到的投影圖.軸測投影圖可作為輔助圖樣，用來幫助人們讀懂空間形體的結構，多用于結構設計、構思建模、產品說明書及廣告等.立體結構不同，可以選擇適合的軸測投影圖來表達，以滿足不同的工程需要.本文著重探討工程圖學斜軸測投影矩陣變換算法以及相關的問題.

1 軸測投影的基本概念

將空間形體連同其參考直角坐標系，沿不平行于任一坐標平面的方向，用平行投影法將其投射在單一投影面上，得到的圖形就是軸測投影圖［2］.在三視圖中，空間形體在投影體系中相對于投影面放正，使形體上盡量多的線、面相對于投影面處于特殊位置.因此，每一個視圖都反映形體的二維特征，體現形體上2個方向的坐標尺寸，但缺乏立體感.而在軸測投影圖中改變形體相對軸測投影面的方位，使X，Y和Z 3個坐標軸方向相對投影面都不積聚，做正投影（如圖1（a）所示）；或某一坐標面與軸測投影面平行，但改變投射方向，做斜投影（如圖1（b）所示）.此時空間形體的參考直角坐標軸與投射方向不再平行，形體上3個沿坐標軸方向結構都不積聚，所以投射在軸測投影面的投影圖具有很強的立體感.

2 圖形矩陣變換規則

無論三視圖還是軸測投影圖都是二維平面圖形，圖形主要是由線框構成，線由若干點組成，所以圖形是不同坐標值的點的集合.研究圖形變換就歸結為研究點的變換問題，在諸多變換方法中選擇矩陣變換法.

2.1齊次坐標

為了能用矩陣的形式統一地描述圖形變換，采用齊次坐標的形式來描述空間的點［3－4］.點、線、面的齊次坐標表示對于描述和操作圖示物體是相當有用的.在n維空間中存在一個問題，在n＋1維空間中同樣存在，而在n＋1維空間中卻常常比n維空間中較易獲得結果.在n＋1維空間中證明通過n＋1維空間向n維空間的投影就是關于n維空間的問題.

一般情況，把（x＊，y＊，H）稱作點（x，y）的齊次坐標.其中H為任意實數，且x＊＝xH，y＊＝yH.當H＝1時x＊＝x，y＊＝y，此時（x，y，1）為（x，y）的正?；凝R次坐標.這種用三維空間點來研究二維空間點的方法可以推廣為用n＋1維的點來研究n維點，統稱為齊次坐標法.

2.2三維圖形變換

應用齊次坐標法，對于三維空間幾何體中各點的位置坐標用4個分量來表示，且變換矩陣為4×4方陣［3－4］.則有

設變換前點的坐標為（x，y，z，1），變換后點的坐標為（x＊，y＊，z＊，H）.正?；幚砗簏c的坐標為（x′，y′，z′，1），則空間點的三維變換為

變換矩陣T可以分為4個子矩陣，即

4個子矩陣的作用如表1所示.

由表1可以看出，利用4個子矩陣可實現比例、反射、旋轉，還可實現平移和透視變換，這里僅討論錯切變換.

3 圖形矩陣變換結果

在表1中顯示4×4矩陣中的左上角3×3子矩陣可以實現錯切變換.其中4×4矩陣中主對角線上4個參數是影響比例變換的因子，不需要縮放時，主對角線各參數均賦值為1.不平移也不透視變換時1×3和3×1子矩陣賦值為0［3－4］.那么矩陣中剩余6個參數B，C，D，F，H和I中至少要有一個不為0.在表2中列出只有一個參數不為零時的變換結果.

由表2可見，D≠0時變換矩陣形式，則新坐標和原始坐標的關系為（4）式，變換后新坐標值為（5）式.由（5）式可知，y′＝y和z′＝z變換前后一致，而x′＝x＋Dy說明x方向新舊坐標發生了變化，而且是和y坐標相關.當y＝0時，x方向坐標變換前后一致，即落在xoz面上的點不動；當y≠0時，隨著y坐標值越大x′偏離x距離越遠，呈線性關系.

同理，當F≠0，變換矩陣為（6）式，變換后新坐標值為（7）式，只有z方向坐標變化并與y坐標相關.當y＝0時，z方向坐標不變，即落在xoz面上的點不動；當y≠0時，隨著y坐標值越大z′偏離z距離越遠，呈線性關系.

表2顯示當D≠0和F≠0時空間形體上與xoz重合或平行的面向xoz面投射時反映實際形狀.這個結論符合斜二等測軸測圖的投射結果.

4 斜軸測投影圖的投影變換

斜軸測投影圖就是物體經過2次錯切變換，再做正投影變換而完成的［5－9］.2次錯切變換分別是當D≠0時進行一次錯切變換；當F≠0時再做一次錯切變換.軸測投影圖是空間形體向單一投影面投影，所以經過2次錯切變換后再向xoz面投射.此時所需的變換矩陣為（8）式.經過3次變換得到了斜軸測投影變換矩陣的一般形式（見（9）式）.

空間形體置于坐標系中如圖2（a）所示；取D＜0，沿x軸負向錯切，結果如圖2（b）所示；在此基礎上再進行第二次錯切變換，取F＜0，沿z軸負向錯切，結果如圖2（c）所示.變換結果是空間形體上平行于xoz坐標面的平面依然平行于xoz坐標面，空間形體向xoz坐標面投射會反映實形.當D＝F時，錯切量相同，投影后軸間角∠xoz＝90°，∠xoy＝∠yoz＝135°，通過計算，當D＝F＝－0.353 5時就是最常見的斜二等測軸測圖的參數值，變換矩陣為

5 結束語

軸測投影圖有正軸測投影圖和斜軸測投影圖，斜軸測投影圖又有多種形式.通過矩陣變換算法中的錯切變換和正投影變換，可以將組成立體的空間點坐標變換成軸測投影坐標.矩陣中的對應參數值不同，可以實現多種斜軸測投影的結果，即錯切變換可以是沿原坐標系3個軸向6個方位的變換.6個參數B，C，D，F，H和I值的不同決定方向及錯切量，即參數值的正負決定錯切的方向，參數值的大小決定錯切量的大小.因此經過2次錯切變換后，再進行正投影變換可以生成不同的斜軸測投影圖，以滿足多種多樣的工程圖樣的需要.其中B＝0，C＝0，D＝－0.353 5，F＝－0.353 5，H＝0和I＝0時，變換后就得到斜二等測軸測投影圖.

［1］ 侯洪生.機械工程圖學［M］.北京：科學出版社，2009：121－133.

［2］ 中華人民共和國國家質量監督檢驗檢疫總局.GB／T 13361－2012技術制圖通用術語［S］.北京：中國標準出版社，2012：3.

［3］ 焦永和.計算機圖形學教程［M］.北京：北京理工大學出版社，2004：109－120.

［4］ 孟大強.工程計算機圖形學［M］.北京：機械工業出版社，1989：40－58.

［5］ 閆冠.復合平面曲線形狀公差、方向公差變換算法［J］.東北師大學報：自然科學版，2013，45（1）：71－74.

［6］ 吳炎.局部環上n階矩陣的｛1｝－逆作成的群［J］.東北師大學報：自然科學版，2014，46（3）：28－33.

［7］ 李耀堂.分塊矩陣的2個新的特征值包含定理［J］.云南大學學報：自然科學版，2013，35（3）：275－283.

［8］ 羅敏雪.圓球及陰影水平斜軸測投影的算法［J］.機械科學與技術，2006，25（6）：680－683.

［9］ 何援軍.圖形變換的幾何化表示——論圖形變換和投影的若干問題之一［J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2005，17（4）：723－728.

Matrix transformation algorithm on cavalier projection in engineering graphics

YAN Guan1，WANG Yu－lei1，HOU Lei1，YANG Wen－ting2，ZOU Fei－zhou3
（1.College of Mechanical Science and Engineering，Jilin University，Changchun 130022，China；2.Jilin Provincial Academy of Agricultural Machinery，Changchun 130022，China；3.Changchun UP Optotech Co.Ltd.，Changchun 130033，China）

It makes use of the matrix transformation algorithm to research the graphics question on axonometric projection，and the service quality and validity of shear transformation is discussed in this paper.The result shows that：by means of changing the parameter value in transformation matrix and matrix transformation combination style of shear transformation，the different cavalier projection drawing which of different inter axial angle and different coefficient of axial deformation could be calculated.The different results of shear transformation could generate different axonometric projection for any engineering drawing need.It provides an effective method for the teaching and programming.

cavalier projection；matrix transformation；shear；algorithm

TG 801 ［學科代碼］ 460·2030 ［

］ A

（責任編輯：石紹慶）

1000－1832（2015）01－0059－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.012

2014－02－25

吉林省科技發展計劃項目（20090202）.

閆冠（1965—），女，副教授，主要從事畫法幾何、工程圖學、計算機圖形學及測量研究；通訊作者：侯磊（1965—），男，副教授，主要從事材料表面精加工及精密測量研究.